Problème proposé par Pierre Leteurtre
Le carré parfait 36 = 62 peut s'écrire de cinq façons comme la différence de deux nombres de deux chiffres qui sont miroirs l'un de l'autre : 36 = 51 − 15 = 62 − 26 = 73 − 37 = 84 − 48 = 95 − 59 Démontrer qu'il existe en base 10 une infinité de carrés parfaits N² qui peuvent s'écrire de cinq façons comme la différence de deux nombres miroirs ayant le même nombre de chiffres que N².
Si Rk =11...1 désigne le nombre s’écrivant avec k fois le chiffre 1 Rk2=R2k-1+10R2k-3+...+10k-2R3+10k-1.
La différence de deux nombres miroirs a2ka2k-1....a2a1 et a1a2....a2k-1a2k est égale à 9R2k-1(a2k-a1)+90R2k-3(a2k-1-a2)+... Ainsi pour a2k-a1=a2k-1-a2=....=1(ce qui peut être réalisé de 9k façons différentes), cette différence sera égale à 9Rk2, soit un carré parfait ayant le même nombre de chiffres que les nombres miroirs.
Il en est de même si a2k-a1=a2k-1-a2=....=4 (ce qui peut être réalisé de 5k façons différentes), la différence étant alors égale à 36Rk2 (ce qui correspond à l’exemple de l’énoncé pour k=1)
