A541. Deux nombres miroirs On recherche les entiers

A541. Deux nombres miroirs

On recherche les entiers 𝑘, 𝑚 et 𝑛 avec 𝑘 > 1 et 𝑚 ≠ 𝑛 tels que les représentations décimales des deux nombres 𝑘^𝑚+ 1 et 𝑘^𝑛+ 1 se déduisent l’une de l’autre par inversion de l’ordre de lecture des chiffres.

Démontrer que 𝑘 prend une valeur unique et déterminer un triplet (𝑘, 𝑚, 𝑛) qui satisfait cette condition.

Solution

Préliminaires

Notons 𝑐𝑥 le nombre de chiffres de l’entier 𝑥 en base 10.

Notons respectivement 𝑝𝑥 et 𝑑𝑥 le premier et le dernier chiffre de l’écriture décimale de l’entier 𝑥.

Notons par la relation 𝑥 ⇌ 𝑦, la propriété que les représentations décimales des deux entiers 𝑥 et 𝑦 se déduisent l’une de l’autre par inversion de l’ordre de lecture des chiffres.

Lemmes :

• 𝑝𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 (car 0 est le seul entier dont l’écriture décimale commence par 0)

• (𝑥 ⇌ 𝑦) ⇒ 𝑐_𝑥= 𝑐_𝑦

• (𝑥 ⇌ 𝑦) ⇒ 𝑥 ≡ 𝑦 [9] (car 𝑥 et 𝑦 sont constitués des mêmes chiffres)

• (𝑥 ⇌ 𝑦) ⇒ 𝑝_𝑥= 𝑑𝑦 et 𝑑𝑥 = 𝑝𝑦

• (𝑥 ≠ 𝑦 et 𝑥 ⇌ 𝑦) ⇒ 𝑑_𝑥, 𝑑_𝑦> 0 (car 𝑥 ⇌ 𝑦 et 𝑑𝑥= 0 ⇒ 𝑝_𝑦= 𝑑_𝑥= 0 ⇒ 𝑥 = 𝑦 = 0, contradiction)

• (𝑥 ≠ 𝑦 𝑒𝑡 𝑥 ⇌ 𝑦) ⇒ 𝑝_𝑥−1= 𝑝𝑥> 0, 𝑝𝑦−1= 𝑝𝑦> 0 (d’après ce qui précède)

Démonstration

Supposons, sans perte de généralité, que 𝑚 < 𝑛.

On pose 𝑥 = 𝑘^𝑚+ 1 et 𝑦 = 𝑘^𝑛+ 1, avec 𝑥 ⇌ 𝑦 et 𝑥 < 𝑦.

On élimine immédiatement le cas 𝑚 = 0 ⇒ 𝑥 = 𝑦 = 2, une contradiction.

Grâce aux lemmes, on pose 𝑐 = 𝑐𝑥 = 𝑐_𝑦, 𝑎 = 𝑑𝑦= 𝑝_𝑥= 𝑝_𝑥−1 et 𝑏 = 𝑑𝑥= 𝑝_𝑦= 𝑝_𝑦−1.

Autrement dit, 𝑥 a pour écriture décimale 𝑎 ⋯ 𝑏, et 𝑦 a pour écriture décimale 𝑏 ⋯ 𝑎, avec 0 < 𝑎, 𝑏 ≤ 9.

𝑎. 10^𝑐−1≤ 𝑘^𝑚= 𝑥 − 1 < (𝑎 + 1). 10^𝑐−1

𝑏. 10^𝑐−1≤ 𝑘^𝑛= 𝑦 − 1 < (𝑏 + 1). 10^𝑐−1 } ⇒ 𝑏

𝑎 + 1< 𝑘^𝑛−𝑚 <𝑏 + 1 𝑎

Les valeurs possibles de 𝑘^𝑛−𝑚 en fonction de 𝑎, 𝑏 sont données par le tableau suivant (avec 𝑘 > 1).

𝑘^𝑛−𝑚

𝑏 = 1 𝑏 = 2 𝑏 = 3 𝑏 = 4 𝑏 = 5 𝑏 = 6 𝑏 = 7 𝑏 = 8 𝑏 = 9 𝑎 = 1 2 2 3 3 4 3 4 5 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 5 6 7 8 9

𝑎 = 2

𝑎 = 3

𝑎 = 4

𝑎 ≥ 5

En utilisant des congruences, on obtient les contraintes suivantes :

{

𝑎 = 1 ⇒ 𝑘^𝑛+ 1 ≡ 𝑦 ≡ 𝑎 ≡ 1[10] ⇒ 10 | 𝑘^𝑛⇒ 10 | 𝑘 𝑥 ≡ 𝑦 [9] ⇒ 𝑘^𝑚(𝑘^𝑛−𝑚− 1) ≡ 0 [3] ⇒ 𝑘^𝑛−𝑚≡ 0 ou 1 [3]

𝑥 ≡ 𝑦 ≡ 𝑘 + 1[2] ⇒ 𝑎 ≡ 𝑏 ≢ 𝑘[2]

𝑘 = 3 ⇒ 𝑏 ≡ 𝑥 ≡ 3^𝑚+ 1 ≡ 0,2,4 ou 8 [10]

(élimine •) (élimine •) (élimine •) (élimine •) Après ces éliminations, 𝑘 = 3, 𝑎 = 2, 𝑏 = 8, 𝑛 = 𝑚 + 1 est le seul cas possible. (•)

En particulier 𝑘 ne peut prendre que l’unique valeur 3.

Le triplet (𝑘, 𝑚, 𝑛) = (3, 3, 4) convient. En effet 3³+ 1 = 28 ⇌ 3⁴+ 1 = 82.