Pb 1. Nombres de Catalan.

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Pb 1. Nombres de Catalan.

Pour tout le problème,aetbdésignent des entiers naturels tels quea < b. Dans un plan muni d'un repère orthonormé(O,(−→

i ,−→

j))dont les fonctions coordonnées sont notéesxet y, on xe certaines dénitions et notations.

Un pointM est sur la diagonale si et seulement six(M) =y(M).

Un pointM est au dessous de la diagonale si et seulement siy(M)≤x(M).

Un pointMest strictement au dessous de la diagonale si et seulement siy(M)< x(M). On appelle chemin une famille de points à coordonnées entières

(M₀, M₁,· · ·M_p)tq∀k∈J0, p−1K, −−−−−−→

M_kM_k+1∈ {−→ i ,−→

j}

On dit que lesMk sont les points du chemin, que ce chemin est de longueurpet qu'il va deM0 àMp (extrémités du chemin).

On désigne par Pa,b l'ensemble des chemins allant du point de coordonnées (a, a)au point de coordonnées(b, b).

On désigne parCa,b l'ensemble des chemins appartenant àPa,b et dont tous les points sont au dessous de la diagonale.

On désigne parC_a,b⁰ l'ensemble des chemins appartenant àPa,b et dont tous les points (sauf les extrémités) sont strictement au dessous de la diagonale.

SiΓ = (M₀, M₁,· · ·M_p)∈ C_a,b, on notem(Γ)le plus petit desx(M_k)>0tels queM_k soit sur la diagonale.

Pourn∈N^∗, on notecn le nombre d'éléments deC0,n. On convient quec0= 1. La gure 1 montre le dessin obtenu en reliant les points d'un chemin Γ ∈ C_0,5 par des segments. Que vautm(Γ)sur cet exemple ?

1. Soitn∈N^∗.

a. Quelle est la longueur d'un chemin appartenant àP0,n?

b. Calculer le nombre d'éléments deP0,nen le mettant en bijection avec un ensemble usuel.

2. a. Préciserc₁ etc₂.

b. Exprimer le nombre d'éléments deCa,bà l'aide d'unckpour un entierkà préciser.

c. Soit m ∈ N^∗, exprimer le nombre d'éléments de C_0,m⁰ à l'aide d'un c_k pour un entierkà préciser.

d. Montrer que

∀n∈N^∗, cn=

n

X

m=1

c_m−1c_n−m

Fig. 1: Chemin appartenant àC0,5

En déduire que

∀n∈N, c_n+1=

n

X

k=0

c_kc_n−k

3. Les nombres c_n sont appelés les nombres de Catalan, ils interviennent dans diverses questions de dénombrement. On se propose de démontrer par récurrence que

cn =

2n n

n+ 1

Dans cette question,nest un naturel quelconque, notons an=

2n n

n+ 1, Sn=

n

X

k=0

akan−k, Tn=

n

X

k=0

kakan−k

en convenant quea₀= 1.

a. Montrer2T_n=nS_n. En déduireT_n+1+S_n+1= ⁿ⁺³₂ S_n+1.

b. Montrer(k+ 2)ak+1= 2(2k+ 1)ak. En déduireTn+1+Sn+1=an+1+ 4Tn+ 2Sn. c. Montrer que Sn=an+1 entraineSn+1=an+2 et conclure.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S1204E

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Pb 2. Suites de Beatty.

La suite de Beatty¹ d'un nombre réel strictement positif x est la suite (bnxc)_n∈_N∗ des parties entières des multiples de ce nombre. On noteV(x)l'ensemble des valeurs de la suite de Beatty etM(x)l'ensemble des multiples

V(x) ={bnxc, n∈N^∗}, M(x) ={nx, n∈N^∗}

Partie I.

On se donne deux nombres réels strictement positifs et irrationnels²set rtels que 1

s+1 r = 1

On se propose de démontrer queV(s)etV(r)forment une partition deN^∗. 1. Première démonstration.

a. Montrer que sij,k,msont des naturels non nuls tels quej =bkrc=bmsc, alors j < k+m < j+ 1. En déduire queV(s)∩V(r) =∅.

b. Soitj ∈N^∗, montrer quej /∈V(r)entraine qu'il existe k∈Ntel que kr < j et j+ 1≤(k+ 1)r

c. On suppose qu'il existe des entiers naturelsj,k,mtels que

kr < j etj+ 1≤(k+ 1)retms < j et j+ 1≤(m+ 1)s Montrer que

k+m < j < k+m+ 1 d. Conclure.

2. Deuxième démonstration (indépendante de la précédente) a. Montrer queM(¹_r)etM(¹_s)sont disjoints.

b. Soitj ∈N^∗, préciser les nombres d'éléments des ensembles suivants

x∈M(1

r)tqx≤ j r

,

x∈M(1

s)tqx≤ j r

1cette suite est aussi appelée spectre d'un nombre réel dans l'ouvrage Concrete Maths de Knuth

2c'est à dire n'appartenant pas àQ

c. Montrer que

]

x∈M(1

r)∪M(1

s)tqx≤ j r

=bjsc

d. Conclure en numérotant par ordre croissant les éléments deM(¹_r)∪M(¹_s).

Partie II.

On considère une suite de nombres entiers strictement positifs(an)_n∈

N^∗. À partir de cette suite, on dénit deux autres suites(xn)_n∈

N^∗ et(yn)_n∈

N^∗ en posant

∀n∈N^∗,







xn= maxnak

k, k∈J1, nK o

yn= min

a_k+ 1

k , k∈J1, nK

1. Montrer que(x_n)_n∈

N^∗ est croissante et (y_n)_n∈

N^∗ décroissante.

2. On suppose dans cette question seulement que(an)_n∈N∗ est une suite de Beatty c'est à dire qu'il existe unα >0irrationnel tel quea_n=bnαcpour tous lesn∈N^∗. Montrer quex_n < y_n pour tous lesn∈N^∗.

3. On suppose ici quexn< yn pour tous lesn∈N^∗. a. Montrer que (xn)_n∈

N^∗ et (yn)_n∈

N^∗ convergent vers la même limite strictement positive notéeα.

b. On supposeαirrationnel, montrer quean =bnαcpour tous les n∈N^∗.

c. On considère le cas de la suitea_k = 2k−1pour tous lesk∈N^∗. Que peut-on en conclure ?

Pb 3. Plans projectifs nis.

On appelle plan projectif ni un ensemble niΠ(de cardinalp) muni d'une partie∆de P(Π)vériant un certain nombre de propriétés. Les éléments deΠsont appelés des points, les éléments de∆sont appelés des droites. Les droites sont des ensembles de points.

Les conditions imposées sont les suivantes.

Si a et b sont deux points distincts de Π, il existe une unique droite les contenant.

Cette droite sera notéeD(a, b).

L'intersection de deux droites distinctes est toujours un singleton.

Il existe quatre points distinctsa1,a2, a3, a4tels qu'aucune droite ne contienne trois de ces points.

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Fig. 2: Une représentation d'un plan projectif ni

1. Combien de parties à deux éléments peut-on former dans un ensemble à4 éléments ? En déduire qu'il existe au moins6 droites distinctes.

2. Montrer queΠn'est pas l'union de deux droites.

3. Soitδetδ⁰deux droites distinctes etOun point n'appartenant à aucune des deux. On dénit une application

f :

(δ→δ⁰

a7→ l'unique point deD(O, a)∩δ⁰

Montrer que cette application est bijective. On en déduit que toutes les droites ont le même nombre d'éléments notéd.

4. Soit O un point du plan et nO le nombre de droites passant par O. En classant les points deΠ\ {O} suivant la droite passant parO à laquelle ils appartiennent, former une relation entre divers nombres d'éléments. Que peut-on en déduire pour les nO

lorsqueO varie dans le plan ?

5. Montrer que le nombre de droites passant par un point est égal au nombre de points sur une droite.

6. Montrer qu'il existe un entierntel que

Le nombre de points sur une droite est égal au nombre de droites passant par un point et que ce nombre estn+ 1.

Le nombre de points est égal au nombre de droites et que ce nombre estn²+n+ 1.