Quadriques 1. Surfaces du second degré. 2. Ellipsoïdes. 3. Hyperboloïdes. 4. Paraboloïdes. 5. Cônes et cylindres du second degré. 6. Intersection de deux quadriques.

Quadriques

1. Surfaces du second degré.

2. Ellipsoïdes.

3. Hyperboloïdes.

4. Paraboloïdes.

5. Cônes et cylindres du second degré.

6. Intersection de deux quadriques.

Pierre-Jean Hormière _____________

Introduction

De même que les coniques sont les courbes du second degré, les quadriques sont les surfaces du second degré. Nous nous intéressons ici à leur classification affine, dans l’espace euclidien ; elle relève de méthodes algébriques : la diagonalisation orthonormée des matrices symétriques réelles. Mais on pourrait aussi classer ces surfaces dans les espaces affines réel et complexe, et dans les espaces projectifs réel et complexe.

En même temps, les quadriques constituent une excellente introduction aux surfaces générales, donc à la géométrie différentielle, car elles offrent une grande variété de formes et de situations : les unes restent d’un même côté de leurs plans tangents, les autres traversent leurs plans tangents. Et, en général, une surface a, au voisinage de chacun de ses points, la forme d’une quadrique.

1. Surfaces du second degré.

Soient EEEE₃ un espace affine euclidien rapporté à un repère orthonormé Oxyz,

A = (a_ij) une matrice symétrique réelle d’ordre 3, non nulle, b₁, b₂, b₃ et c quatre réels.

Considérons la fonction polynomiale de trois variables x, y et z :

F(x, y, z) = (x y z).A. 









 z xy

+ 2 b₁ x + 2 b₂ y + 2 b₃ z + c = 0 . et cherchons à décrire l’ensemble QQQQ des points M(x, y, z) tels que F(x, y, z) = 0.

Si l’on change de repère orthonormé, passant de (O, i , j,k) à (O’, 'i,

'j

, k'), QQQQ aura une équation du même type, la matrice A’ étant orthogonalement semblable à A. Les formules donnant les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles s’écrivent en effet :











 z xy

= 











γ β

α

+ P. 









 ' '' z xy

, soit X = T + P.X’.

où OO' = α. i + β. j + γ.k et P est la matrice de passage de ( i , j,k) à ( 'i,

'j

, k').

On sait qu’il existe une base orthonormée ( I ,J,K) de E formée de vecteurs propres de A : Si P est la matrice de passage de ( i , j,k) à ( I ,J,K) , P⁻¹.A.P = ^tP.A.P =













3 2 1

0 0

0 0

0 0

λ λ λ

.

Posant alors 









 z yx

= P 







 ZY

X , la quadrique a pour équation

λ1 X² + λ2 Y² + λ3 Z² + 2 b’₁ X + 2 b’₂ Y + 2 b’₃ Z + c = 0 . 1^er cas : λλλλ1.λλλλ2.λλλλ3 = det A ≠≠≠≠ 0, autrement dit rang A = 3.

Une mise sous forme canonique donne : λ1 ( X +

1

'1

bλ

)² + λ2 ( Y +

2

'2

bλ

)² + λ3 ( Z +

3

'3

bλ

)² + d = 0 . Dans le repère (Ω, I ,J,K), où Ω(₋

1

'1

bλ , −

2

'2

bλ , −

3

'3

bλ

), l’équation s’écrit : λ1 X’² + λ2 Y’² + λ3 Z’² + d = 0 .

Si d ≠ 0, il vient ε1

a² X'²

_{+ ε}

2

b² Y'²

_{+ ε}

3

c² Z'²

_{+ ε}

4 = 0 , où εk = ±1.

Si d = 0, il vient ε1

a² X'²

_{+ ε}

2

b² Y'²

_{+ ε}

3

c²

Z'²

= 0 , où εk = ±1.

Quitte à échanger les axes et à multiplier l’équation par −1, on peut supposer ε1 = ε2 = 1.

Type Equation réduite Nom I

a² X²

₊

b² Y²

₊

c²

Z²

_{+ 1 = 0} Ellipsoïde imaginaire II

a² X²

₊

b² Y²

₊

c²

Z²

_{− 1 = 0} Ellipsoïde réel III

a² X²

₊

b² Y²

₋

c²

Z²

_{+ 1 = 0} Hyperboloïde à deux nappes IV

a² X²

₊

b² Y²

₋

c²

Z²

_{− 1 = 0} Hyperboloïde à une nappe V

a² X²

₊

b² Y²

₊

c²

Z²

_{= 0} Cône imaginaire

L’image réelle est un point VI

a² X²

₊

b² Y²

₋

c²

Z²

_{= 0} Cône réel

2^ème cas : λλλλ1.λλλλ2≠≠≠≠ 0 , λλλλ3 = 0 , rang A = 2.

Une mise sous forme canonique donne : λ1 ( X +

1

'1

bλ

)² + λ2 ( Y +

2

'2

bλ

)² + 2 b’₃ Z + c = 0 . Dans le repère (Ω, I ,J,K), où Ω(−

1

'1

bλ , −

2

'2

bλ

, 0), l’équation s’écrit : λ1 X’² + λ2 Y’² + 2 b’₃ Z + c = 0 .

Si b’₃≠ 0 , en posant S(0, 0, −

'

3

2b

d ), dans le repère (S, I ,J,K), l’équation s’écrit : • Si λ1.λ2 > 0,

a² X'²

₊

b²

Y'²

₋ 2.Z’ = 0 • Si λ1.λ2 < 0,

a² X'²

₋

b²

Y'²

₋ 2.Z’ = 0.

Type Equation réduite Nom VII

a² X²

₊

b²

Y²

_{− 2Z = 0} Paraboloïde elliptique VIII

a² X²

₋

b²

Y²

_{− 2Z = 0} Paraboloïde hyperbolique

Si b’₃ = 0, on obtient un cylindre à génératrices parallèles à K, ou deux plans parallèles à K. Type Equation réduite Nom

IX

a² X²

₊

b²

Y²

_{+ 1 = 0} Cylindre elliptique imaginaire X

a² X²

₊

b²

Y²

_{− 1 = 0} Cylindre elliptique réel XI

a² X²

₋

b²

Y²

_{− 1 = 0} Cylindre hyperbolique XII

a² X²

₊

b²

Y²

_{= 0} Plans imaginaires conjugués non parallèles L’image réelle est une droite

XIII

a² X²

₋

b²

Y²

_{= 0} Deux plans réels sécants

3^ème cas : λλλλ1 = λλλλ2 = 0 , λλλλ3≠≠≠≠ 0 , rang(A) = 1.

Il vient 2 b’₁.X + 2 b’₂.Y + λ3 ( Z +

3

'3

bλ

)² + d = 0 . Dans le repère (Ω, I ,J,K), où Ω(0, 0, −

3

'3

λ

b ), l’équation s’écrit : 2 b’₁ X + 2 b’₂ Y + λ3 Z’² + d = 0 .

• Si (b’1, b’₂) ≠ (0, 0), à changement de repère près, en prenant pour 'I et J' des vecteurs unitaires de Z’ = 0 , b’₁.X + b’₂.Y = 0 et Z’ = 0 , b’₁.X − b’2.Y = 0, on se ramène à une équation de la forme λ3.Z’² + 2b’.Y + d = 0 , et à nouveau par translation au type XIV ci-dessous.

• Si (b’₁, b’₂) = (0, 0), on a l’une des formes XV, XVI, XVII, où a ≠ 0.

Type Equation réduite Nom

XIV Z²− 2pY = 0 Cylindre parabolique

XV Z² + a² = 0 Plans parallèles imaginaires conjugués XVI Z² − a² = 0 Plans parallèles réels et distincts

XVII Z² = 0 Plans confondus

Remarque : Sur les 17 classes de quadriques obtenues, les types I, IX, XV donnent naissance à une quadrique vide. Mais elles ne sont pas vides pour la même raison, et il serait maladroit de les confondre. En effet, si l’on se plaçait dans le plan affine C³, les types I, II, III et IV correspondent à la même quadrique, ainsi que les types V et VI, les types VII et VIII, les types IX, X, XI, les types II et XIII, et les types XV et XVI. On obtient alors 8 classes de quadriques complexes. La classi- fication projective des quadriques est indiquée dans le chapitre de géométrie projective.

2. Ellipsoïdes.

« Cette couronne était un petit ellipsoïde en matière galaxique, que la grand-mère avait découvert Dieu sait où dans les premiers cataclysmes de l’univers, et qu’elle avait toujours emporté avec elle, pour s’y asseoir. »

Italo Calvino, Au point du jour L’ellipsoïde réel E a pour équation réduite

a² x²

₊

b² y² +

c²

z²

_{= 1 ( a ≥ b ≥} c > 0 ).

Cas particuliers : Si a = b ou b = c, on a un ellipsoïde de révolution ou sphéroïde.

• a = b > c : ellipsoïde de révolution aplati (forme de galet ou de soucoupe volante) ; • a > b = c : ellipsoïde de révolution allongé (forme de ballon de rugby ou de cigare) ; • a = b = c : sphère.

Propriétés.

1) Forme. L’ellipsoïde se déduit de la sphère unité x² + y² + z² = 1 par l‘application linéaire (x, y, z) → (ax , by, cz), qui est diagonalisable et composée d’affinités.

2) Paramétrisation.

x = a.sin θ.cos ϕ , y = b.sin θ.sin ϕ , z = c.cos θ ( 0 ≤θ≤π, 0 ≤ϕ < 2π ).

3) Le groupe affine GA(EEEE) agit de manière transitive sur l’ensemble des ellipsoïdes de EEEE _. 4) L’ellipsoïde plein K :

a² x²

₊

b² y² +

c²

z²

_≤ 1 est compact, convexe, a pour points extrémaux tous les points de sa frontière E.

5) Il a pour volume

∫∫∫

_K^dx

^.

^dy

^.

^{dz =}

⁴ ₃ ^π

^abc.

6) Soit A une matrice symétrique définie positive d’ordre 3.

La forme quadratique associée q(X) = ^tX.A.X est définie positive, i.e. est un carré scalaire.

La boule unité B = { X ; ^tX.A.X ≤ 1 } est un ellipsoïde plein de volume

. det 3

4

A

π

7) Le plan tangent en M(x, y, z) à E a pour équation

a² x.X

₊

b² y.Y +

c²

z.Z

_{= 1.}

En effet, le vecteur normal en M à E est le gradient de la fonction F(x, y, z) =

a² x²

₊

b² y² +

c² z²

_. On en déduit que le plan u.X + v.Y + w.Z + t = 0 est tangent à E si et seulement si :

a².u² + b².v² + c².w² = t² . C’est ce qu’on appelle l’équation tangentielle de l’ellipsoïde.

> with(plots):

> E:=(a,b,c)->plot3d([a*sin(t)*cos(u),b*sin(t)*sin(u),c*cos(t)], t=0..Pi,u=0..2*Pi);E(1,2,3);

Exercice 1 : Soient E l’ellipsoïde d’équation

a² x²

₊

b² y² +

c²

z²

_{= 1 (a ≥ b ≥} c > 0), P un plan vectoriel.

1) Montrer que la section P ∩ E est une ellipse d’équation réduite :

²

α x²

⁺

β

^y²² = 1 , où a ≥ α ≥ b ≥ β ≥ c.

2) ¶ Réciproquement, montrer qu’étant donnés deux réels α et β vérifiant a ≥ α ≥ b ≥ β ≥ c , il existe un plan vectoriel dont la section avec E admet α et β comme demi-axes.

3) Montrer que si a > b > c, il existe deux plans vectoriels tels que P∩E soit un cercle. Examiner les cas où a = b > c, a > b = c, a = b = c.

Exercice 2 : Soient E l’ellipsoïde d’équation

a² x²

₊

b² y² +

c²

z²

_{= 1 ( a ≥ b ≥} c > 0 ), et PPPP le plan affine d’équation α.x + β.y + γ.z = p, où K = (α, β, γ) est un vecteur unitaire normal.

1) Montrer que l’intersection PP PP∩ E est une ellipse vraie ssi α².a² + β².b² + γ².c² > p² . Cas où α².a² + β².b² + γ².c² = p² ?

2) Si α².a² + β².b² + γ².c² = σ > p², montrer que PP PP_∩ E a pour centre Ω

(

^p_σ^αa² , ^pσβ^b² _, σγ^c² p

)

, pour équation réduite

² X²

A ⁺

² Y²

B ^{= 1 , où}

² 1

A ⁺

²

1

B ⁼ σσ−p²₍

²

² 1

a

α

− ₊

²

² 1

b β

− +

²

² 1

c γ

− ) et

²

².

1

B

A ⁼ ² ² ²( ² )²

3

σ σ

− p c b

a ^.

3) Lorsque PPPP se déplace en restant parallèle à lui-même, i. e. si p varie de − σ ^à σ , le centre Ω décrit un segment d’une droite fixe de vecteur directeur ( α.a², β.b², γ.c²).

4) Quels sont les plans cycliques, c’est-à-dire tels que PPPP ∩ E soit un cercle ?

Exercice 3 : À toute matrice A∈S₃⁺⁺(R) on associe l’ellipsoïde plein K(A) = {X∈R³ ; t_{X.A.X ≤ 1}.}

1) Montrer que A ≤ B ⇔ K(B) ⊂ K(A). En déduire que le grand axe de K(B) est inférieur au grand axe de K(A), idem pour le moyen axe et le plus petit axe.

2) Montrer que deux matrices A et B ∈ S₃⁺⁺(R) ont une borne supérieure dans S₃⁺⁺(R) ssi et seulement si A ≤ B ou B ≤ A (théorème de Kadison, 1952).

Exercice 4 : Soient EEEE un ellipsoïde de centre O, A, B, C trois points de EEEE _{tels que} OA, OB, OC soient orthogonaux deux à deux. Montrer que

² 1

OA ⁺ 1²

OB ⁺ 1 ²

OC ne dépend que de EEEE _(Newton) Exercice 5 : Généralisation à l’ellipsoïde de la bande de papier de La Hire.

Trois points fixes A, B et C d’une droite D sont astreints à se mouvoir chacun dans trois plans deux à deux sécants. Montrer que tout point M de D décrit un ellipsoïde.

Par exemple, si D coupe yOz en A, zOx en B et xOy en C, et si le point M(x, y, z) de D est tel que MA = a, MB = b et MC = c, alors M décrit l’ellipsoïde

a² x²

₊

b² y² +

c² z²

_{= 1.}

Exercice 6 : Soit E l’ellipsoïde de révolution d’équation

a² x²

₊

a² y² +

c² z²

_{= 1.}

1) Exprimer son aire A sous forme d’intégrale.

2) Si l’ellipsoïde est aplati (a > c), montrer que A = 2π( a² + b ac² _ln

c

a+b_{) , où b = a²−c².} 3) S’il est allongé (a < c), montrer que A = 2π( a² +

b

ac² _Arcsin c

b _{) , où b = c²−a² .} Remarque : Autres paramétrisations de l’ellipsoïde :

• x =

²

² 1

2

v u

au+

+ ^{, y =}

1 ² ² 2

v u

bv+

+ ^{, z = c}

1 ² ²

²

² 1

v u

v u + + −

− ( coordonnées stéréographiques de pôle sud )

• x = ± a

²)

²

²)(

² (

²)

²

²)(

² (

c a b a

v a u a

−

− −

− _{, y = ± b}

²)

²

²)(

² (

²)

²

²)(

² (

a b c b

v b u b

−

− −

− _{, z = ± c}

²)

²

²)(

² (

²)

²

²)(

² (

b c a c

v c u c

−

−− − où c ≤ v ≤ b ≤ u ≤ a. Les lignes coordonnées sont les lignes de courbure.

La Terre, ellipsoïde aplati et géoïde…

Robert Hooke est le premier à supposer, en 1675, que la Terre est un ellipsoïde aplati. Newton se penche sur cette question en 1687, et cherche à calculer l’aplatissement de la terre (rapport de la différence entre le rayon équatorial et le rayon polaire sur le rayon équatorial), en supposant qu’elle était fluide et homogène et en utilisant sa théorie de l’attraction universelle : il trouve 1/230. En 1828, Gauss distingua trois surfaces : la surface réelle du globe, l’ellipsoïde aplati de Newton, enfin la surface équipotentielle du champ de pesanteur, dénommée géoïde.

3. Hyperboloïdes.

3.1. L’hyperboloïde à deux nappes.

Il a pour équation réduite

a² x²

₊

b² y² −

c²

z²

_{= −}1 ( a, b, c > 0 ).

Cas particulier : si a = b, on a un hyperboloïde de révolution à deux nappes, surface engendrée par la rotation d’une hyperbole autour de son axe transverse.

Sections planes.

• Les sections planes horizontales par z = λ sont des ellipses réelles si |λ| > c, un point si |λ| = c, l’ensemble vide si |λ| < c (des ellipses imaginaires).

En particulier le plan z = 0 sépare la quadrique en deux, donc elle n’est pas connexe.

• Les sections verticales par les plans pivotants y = µ.x. Il vient (

a²

1

₊ b²

µ² _).x² ₋

c²

z²

_{= −1. On} trouve des hyperboles d’axe Oz.

Paramétrisations.

c² z²

_{− (}

a² x²

₊

b²

y² ) = 1 suggère de poser z = ± c.ch u et

a² x²

₊

b²

y² = sh² u . x = a.sh u .cos v , y = b.sh u .sin v , z = ± c.ch u ( u ∈ R, 0 ≤ v ≤ 2π ).

Ceci montre que l’H2 a deux composantes connexes par arcs, comme son nom l’indique.

Plan tangent, équation tangentielle.

Le plan tangent en M(x, y, z) à l’H2 a pour équation

a² x.X

₊

b² y.Y −

c²

z.Z

_{= −1.}

On en déduit que le plan u.X + v.Y + w.Z + t = 0 est tangent à H2 si et seulement si : a².u² + b².v²− c².w² + t² = 0.

Cône asymptote.

C’est l’ensemble des asymptotes des hyperboles sections par y = µ.x.

On trouve le cône d’équation

a² x²

₊

b² y² −

c² z²

_{= 0.}

> with(plots):

> H2:=(a,b,c)->display({plot3d([a*sinh(t)*cos(u),b*sinh(t)*sin(u)

,c*cosh(t)],t=-3..3,u=0..2*Pi),plot3d([a*sinh(t)*cos(u),b*sinh(t)*sin(u),- c*cosh(t)],t=-3..3,u=0..2*Pi)},numpoints=5000,axes=normal);

> H2(1,2,3);

3.2. L’hyperboloïde à une nappe.

Il a pour équation réduite

a² x²

₊

b² y² ₋

c²

z²

= 1 ( a, b, c > 0 ).

Cas particulier : si a = b, on a un hyperboloïde de révolution à une nappe, surface engendrée par la rotation d’une hyperbole autour de son axe non transverse.

Sections planes.

• Les sections planes horizontales par z = λ sont toutes des ellipses réelles.

• Les sections verticales par les plans pivotants y = µ.x donnent (

a²

1

₊ b²

µ² _{) x}² ₋

c²

z²

_{= 1. On} trouve des hyperboles d’axes Oz.

Paramétrisations.

•

a² x²

₊

b² y² ₋

c²

z²

= 1 suggère de poser

a² x²

₊

b²

y² = ch² u , z = c.sh u, d’où : x = a.ch u .cos v , y = b.ch u .sin v , z = c.sh u ( u ∈ R, 0 ≤ v ≤ 2π ) .

• x = a 1 u+ ².cos v , y = a 1 u+ ².sin v , z = cu . • x = a

u v

cos

cos

_{, y = b} u v

cos

sin

, z = c tan u .

Ceci montre que l’H1 est connexe, comme son nom l’indique.

Plan tangent, équation tangentielle.

Le plan tangent en M(x, y, z) à l’H1 a pour équation

a² x.X

₊

b² y.Y −

c² z.Z

_{= 1.}

On en déduit que le plan u.X + v.Y + w.Z + t = 0 est tangent à H1 si et seulement si : a².u² + b².v² − c².w² − t² = 0.

Cône asymptote. Comme ci-dessus, on trouve cône d’équation

a² x²

₊

b² y² −

c² z²

_{= 0.}

> with(plots):

> H1:=(a,b,c)->plot3d([a*cosh(t)*cos(u),b*cosh(t)*sin(u), c*sinh(t)],t=-2..2,u=0..2*Pi,numpoints=5000,axes=normal);

> H1(1,2,3);

L’hyperboloïde à une nappe est une surface réglée.

L’H1 possède une propriété remarquable : c’est une surface réglée, c’est-à-dire formée de droites.

Plus précisément, c’est une surface engendrée par une (et même deux) familles de droites à un paramètre. En effet, l’équation de l’H₁ s’écrit

a² x²

₋

c² z²

_{= 1 −}

b²

y² , c’est-à-dire : (

a x

₋

c z

_{) (}

a x

₊

c

z

_{) = ( 1 −} b

y ).( 1 + b y ) . Pour tout λ ∈ R, les deux plans affines d’équations :

a x

₋

c

z

_{= λ ( 1 −} b

y ) et 1 + b y _{= λ (}

a x

₊

c z

₎

sont non parallèles, donc se coupent selon une droite affine D_λ incluse dans l’H₁. Notons D_∞ la droite d’équations 1 −

b y = 0 ,

a x

₊

c

z

= 0 ; elle est aussi incluse dans l’H₁. Pour tout µ ∈ R, les deux plans affines d’équations :

a x

₋

c

z

_{= µ ( 1 +} b

y ) et 1 − b y _{= µ}

(

a x

₊

c

z

₎

sont non parallèles, donc se coupent selon une droite affine D’_µ incluse dans l’H₁. Notons D’_∞ la droite d’équations 1 +

b y = 0,

a x

₊

c

z

= 0 ; elle est aussi incluse dans l’H₁. Proposition : a) Pour tout couple (λ, µ) ∈ R^{∼∼∼∼2}, les droites D_λ et D’_µ sont coplanaires.

b) Si λ et µ sont distincts, D_λ et D_µ sont non coplanaires, ainsi que D’_λ et D’_µ . c) Par chaque point de l’H₁ passent une génératrice de chaque classe et une seule.

d) La symétrie de centre O échange les deux systèmes de génératrices. Les symétries par rapport aux trois axes principaux conservent chaque système. Les symétries par rapport aux trois plans principaux échangent les deux systèmes.

e) Les D_λ et D’_µ sont les seules droites incluses dans l’H₁.

Preuve partielle : Cherchons les droites incluses dans un H₁. Le problème étant affine, on ne restreint pas la généralité en supposant l’H₁ d’équation x² + y²− z² = 1.

Lemme : Une droite a une équation de l’un des types suivants :

(I) x = a.z + p , y = b.z + q (II) z = a , x = b (III) z = a , y = p.x + q.

Preuve : Les types (II) et (III) correspondent au cas où la droite est horizontale. Elle est alors, soit parallèle au plan xOz (II), soit tracée dans un plan vertical non parallèle à xOz (III).

Le type (I) correspond au cas où la droite n’est pas horizontale. Elle perce le plan xOy en un point unique A(p, q, 0), et a un vecteur directeur non horizontal, de la forme (a, b, 1).

Revenons au problème posé. L’intersection de l’ H₁ avec un plan horizontal est une ellipse, et ne saurait être une droite. Cherchons les droites du type (I) incluses dans l’ H₁.

On veut ( a.z + p )² + ( b.z + q )² − z² = 1 (∀z).

On obtient a² + b² = 1 , a.p + b.q = 0 , p² + q² = 1.

Cela signifie que la matrice 

 q b

p

a est orthogonale.

(a, b) et (p, q) sont deux vecteurs unitaires et orthogonaux, d’où 2 familles de droites à 1 paramètre : (D_θ) x = z.cos θ− sin θ , y = z.sin θ + cos θ

(D’_θ) x = z.cos θ + sin θ , y = z.sin θ− cos θ Cette méthode n’est pas la seule.

3.3. Les hyperboloïdes en architecture.

Selon Wikipedia, la première structure hyperboloïde au monde fut la tour de treillage de claire-voie d’acier de Polibino ; construite pour l’exposition de Nijni Novgorod de 1896, elle était l’œuvre de l’ingénieur Vladimir Choukhov.

Par la suite, les structures hyperboloïdes ont été utilisées par des architectes réputés : Antoni Gaudi, Le Corbusier, Oscar Niemeyer. Ainsi, les voûtes de la Sagrada familia de Gaudi, à Barcelone, possèdent des clefs de voûte perforées de forme hyperboloïde pour permettre l’arrivée de la lumière et de la chaleur (mais attention, les voûtes elles-mêmes ont la forme de chaînettes inversées).

Enfin, des châteaux d’eau et des tours de refroidissement de centrales nucléaires ont des formes d’hyperboloïdes, pour des raisons qu’il serait intéressant d’élucider.

Je ne saurais trop conseiller au lecteur de taper « hyperboloïdes, images » sur Internet.

3.4. Exercices.

Exercice 1 : Montrer que le H₁ admet aussi comme paramétrisations : • x = a ( cos u − v.sin u ) , y = b ( sin u + v.cos u ) , z = c.v .

• x = a ( cos u + v.sin u ) , y = b ( sin u − v.cos u ) , z = c.v .

• x = a.

v u

uv++1 _{, y = b} v u

v

u+− _{, z = c.}

v u uv+−

1

_. Natures des lignes de coordonnées ?

Exercice 2 : Soient L₁, L₂ et L₃trois droites données, dont deux quelconques ne sont pas parallèles à un même plan, et qui ne sont pas parallèles à un même plan. Une droite assujettie à rencontrer ces trois droites décrit un hyperboloïde à une nappe.

Exercice 3 : Montrer qu’une droite D qui tourne autour d’une droite non coplanaire engendre un H₁. Exercice 4 : Etudier les sections de l’hyperboloïde à une nappe

a² x²

₊

b² y² −

c²

z²

_{= 1 (a ≥} b > 0, c >

0), par un plan vectoriel, puis par un plan affine PPPP d’équation α.x + β.y + γ.z = p.

Montrer que tout H₁ contient en général deux familles de cercles.

> display({H1(1,1,1),H2(1,1,1),C(1,1,1)},style = PATCH);

Représentation d’un H1, d’un H2 et de leur cône asymptote. 4. Paraboloïdes.

4.1. Le paraboloïde elliptique.

Il a pour équation réduite

a² x²

₊

b²

y² = z ( a ≥ b > 0 ).

Cas particulier : a = b. On obtient un paraboloïde de révolution, surface engendrée par la rotation d’une parabole autour de son axe.

Les antennes paraboliques, le four solaire d’Odeillo dans les Pyrénées sont des morceaux de paraboloïdes de révolution. Physiquement, on obtient un paraboloïde de révolution en faisant tourner un liquide à vitesse constante autour de son axe.

Sections planes.

• Les sections planes horizontales par z = λ > 0 sont des ellipses réelles.

Le plan z = 0 est tangent en O au PE.

• Les sections verticales par les plans pivotants y = µ.x. Il vient (

a²

1

₊ b²

µ² _{) x}² _{= z.}

On trouve des paraboles d’axe Oz.

> with(plots):

> PE:=(a,b)->plot3d([r*cos(t),r*sin(t),r^2*cos(t)^2/a^2+r^2*sin(t)^2/b^2], r=0..1,t=0..2*Pi,axes=normal);PE(1,1.1);

Paramétrisations cartésienne z =

a² x²

₊

b² y² ,

et trigonométrique x = a.u.cos v , y = b.u.sin v , z = u² ( u ∈ R, 0 ≤ v ≤ 2π ).

Plan tangent.

Le plan tangent en M(x, y, z) au PE a pour équation :

² 2

a

x_{.X +}

² 2

b

y .Y − Z =

²

²

a x ₊

²

² b

y . Généralisations.

i) Si A =



 c b

b

a est symétrique définie positive, la surface d’équation z = ax² + 2bxy + cy² est un paraboloïde elliptique.

ii) La fonction q(x, y) = ax² + 2bxy + cy² est strictement convexe et coercive sur R². Par suite, le PE est toujours au-dessus de ses plans tangents.

Exercice 1 : On coupe le paraboloïde elliptique QQQQ _:

a² x²

₊

b²

y² = z ( a ≥ b > 0 ) par un plan PPPP_. 1) Cas où PPPP est vertical ?

2) Si PPPP est non vertical, soit z = α.x + β.y + δ son équation. Montrer que QQQQ_∩PPPP est une ellipse de centre Ω(αa², βb², α²a² + β²b² + δ) et d’équation réduite

² X²

A ⁺

² Y²

B ^{= 1 , où σ = α}

2a² + β²b² ,

² 1

A ⁺

²

1

B ⁼ ² ²(2 )( ² ² 1)

²

² + +

++ + β α σ

δ σ

b a

b

a _{et A}² _B² _{= a}² _b² _{( α}² _{+ β}² _{+ 1 )( 2δ + σ )}² _. Cas d’un paraboloïde de révolution ?

3) Etudier les sections planes circulaires.

Paraboloïde elliptique et espace des cercles.

A tout cercle C du plan, d’équation x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, associons le point M(a, b, c) de R³. Nous dirons que R³ est l’espace des cercles. Mais en fait, le cercle C est réel ssi et seulement si a² + b²≥ c, autrement dit ssi le point M est situé au-dessous du paraboloïde PPPP d’équation c = a² + b². Les points du paraboloïde PPPP représentent les cercles de rayon nul, les points situés au-dessus de PPPP représentent les cercles imaginaires.

Si C et C’ sont deux cercles distincts d’équations respectives :

x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 et x² + y² – 2a’x – 2b’y + c’ = 0 ,

on appelle faisceau de cercles engendré par C et C’ l’ensemble F F F F des cercles d’équation : x² + y² – 2 ( λa + λ’a’ ).x – 2 ( λb + λ^{’b’ ).y +} λc + λ’c’ = 0 .

Dans l’espace des cercles, si C(M) et C’(M’), FFFF est la droite MM’.

Les droites qui ne rencontrent pas PPPP sont les faisceaux à points de base. Les droites qui traversent PPPP sont les faisceaux à points limite. Les droites tangentes à PPPP sont les faisceaux de cercles tangents.

Cela revient à dire que les cercles C(M) et C’(M’) sont sécants ssi la droite MM’ est extérieure à PPPP_, tangents ssi elle est tangente à P P P P, et d’intersection vide ssi elle traverse PPPP_.

Soit A(a, b) un point du plan, C(A) le cercle-point (a, b, a² + b²). L’ensemble des cercles passant par P est le plan tangent à PPPP au point (a, b, a² + b²). Du coup, les cercles passant par A et B (faisceau à points de bases A et B) forment une droite, qui est l’intersection des plans tangents à PPPP en C(A) et C(B). Et le cercle circonscrit à un triangle ABC est l’intersection des trois plans tangents à PPPP _aux points correspondants.

Figure tirée du hors série de Tangente, consacré au Cercle.

4.2. Le paraboloïde hyperbolique.

« C’était petit, court, mince, long, (…), trapu, rond, carré, ovoïde, paraboloïdal, tronconique, convexe, concave, bossu, raide, bandant, bandant pas, bandouillant, flasque, très dur. »

Romain Gary, Le Vin des morts.

Il a pour équation réduite

a² x²

₋

b²

y² = z ( a ≥ b > 0 ).

Sections planes.

• Les sections planes horizontales par z = λ≠ 0 sont des hyperboles.

La section par le plan z = 0 est formée de deux droites

• Les sections verticales par les plans pivotants y = µ.x. Il vient (

a²

1

₋ b²

µ² _).x² _{= z.}

On trouve des paraboles d’axe Oz, sauf si µ = ± a b_.

Forme : Le PH a la forme d’une « selle de cheval ». Il est dit équilatère si a = b.

Paramétrisations.

• Cartésienne : z =

a² x²

₋

b²

y² . • x = a.

2

v

u+ _{, y = b.}

2

v

u− _{, z = uv} • x = a.u.ch v , y = b.u.sh v , z = u2

• x = v u a

cos

.

, y = b.u.tan v , z = u² Plan tangent. Le plan tangent en M(x, y, z) au PH a pour équation :

² 2

a

x _{X −}

² 2 b

y Y − Z =

²

²

a x ₋

²

² b

y . Généralisation.

Si A = 

 c b

b

a vérifie ac – b² < 0, autrement dit si la forme quadratique q(x, y) = ax² + 2bxy + cy² est de signature (1, 1), la surface d’équation z = ax² + 2bxy + cy² est un paraboloïde hyperbolique.

C’est le cas, en particulier, de la surface z = xy, qui est un PH équilatère.

Proposition 1 : Le PH traverse tous ses plans tangents. Autrement dit, tous ses points sont hyper- boliques ou cols.

> with(plots):

> PH:=(a,b)->plot3d(x^2/a^2-y^2/b^2,x=-2..2,y=-2..2,axes=normal, numpoints=5000);PH(1,1);

Le paraboloïde hyperbolique est une surface réglée.

Comme le H1, le PH est réglée, c’est-à-dire formée de droites. Plus précisément, c’est une surface engendrée par une (et même deux) familles de droites à un paramètre.

En effet, l’équation du PH s’écrit : (

a x

₋

b y ).(

a x

₊

b y ) = z Pour tout λ ∈ R, les deux plans affines d’équations :

a x

₊

b

y = λ et z = λ.(

a x

₋

b y )

sont non parallèles ; leur intersection est une droite affine D_λ incluse dans le PH.

Pour tout µ ∈ R, les deux plans affines d’équations :

a x

₋

b

y = µ et z = µ.(

a x

₊

b y )

sont non parallèles ; leur intersection est une droite affine D’_µ incluse dans le PH.

Proposition 2 : a) Les droites D_λ sont parallèles au plan

a x

₊

b

y = 0, les droites D’_µ sont parallèles au plan

a x

₋

b

y = 0. Le PH est donc de deux manières un conoïde.

b) Toute génératrice d’un type rencontre toute génératrice de l’autre ; elles sont donc coplanaires.

c) Deux génératrices distinctes d’un même système sont toujours coplanaires.

d) Par chaque point du PH passent une génératrice et une seule de chaque système ; celles-ci sont donc les seules droites incluses dans le PH.

Preuve : d) On peut noter qu’une droite est, soit tracée dans un plan d’équation y = k, soit a pour équations x = αy + p , z = βy + q. La section par y = k est une parabole, et non une droite.

Sinon, on veut que (∀y)

(

a y+p α

)

²−

²

² b

y = βy + q.

Posant p = aλ, il vient α = ε b

a_{, β = 2ελb et q = λ}² _{, où ε = ±1.}

Finalement, on trouve a x _−ε

b

y = λ , z = λ.(

a x _{+ ε}

b

y ). Cqfd.

On trouve donc les deux familles de droites précédentes.

Remarque : Comme l’hyperboloïde à une nappe, le paraboloïde hyperbolique se rencontre en architecture : église de Becerril de la Sierra (Espagne), palais du CNIT à Paris… On peut voir une sculpture formée de morceaux de PH à Lausanne, au bord du lac Léman. Le dôme de la Sagrada Familia, cathédrale inachevée de l’architecte catalan Antoni Gaudi (1852-1926), serait formée de morceaux de paraboloïdes hyperboliques, qui se raccordent. Il est en voie d’achèvement. L’architecte mexicain d’origine espagnole Félix Candela Outeriño (1910-1997), qui a notamment dessiné le Palais des sports des Jeux olympiques d’été de Mexico de 1968 et l’Oceanographic de Valence, était spécialisé dans les structures paraboloïdes.

Exercice 2 : Montrer que le PH admet aussi pour paramétrisations : • x = au.ch v , y = bu.sh v , z = u² et x = au.sh v , y = bu.ch v , z = − u². • x =

v au

cos

, y = bu.tan v , z = u² et x = bu.tan v , y = v au

cos

^{, z = − u}

2. Natures des lignes de coordonnées ?

Exercice 3 : Soient L₁, L₂ et L₃ trois droites données parallèles à un même plan, deux quelconques de ces droites n’étant pas coplanaires. Une droite assujettie à s’appuyer sur ces trois droites engendre un PH. Réciproquement, tout PH peut être décrit de cette façon.

Exercice 4 : Soient L₁ et L₂ deux droites fixes non coplanaires, P un plan fixe auquel les deux droites ne sont pas parallèles. Une droite assujettie à rencontrer L₁ et L₂ et à rester parallèle au plan P engendre un PH. Réciproquement, tout PH peut être décrit de cette façon.

5. Cônes et cylindres du second degré.

« Imaginez un procédé pour ne pas déchirer vos vêtements à la pointe des troncs de cône. »

Jean Tardieu

5.1. Cônes du second degré.

Un cône réel ¹ du second degré a pour équation réduite :

a² x²

₊

b² y² ₋

c²

z²

= 0 ( a, b, c > 0 ).

Cas particulier : si a = b, on obtient un cône de révolution, surface engendrée par la rotation d’une droite autour d’un axe qu’elle rencontre.

1 En mathématiques, la notion de cône a plusieurs sens. En analyse (espaces vectoriels topologiques ou ordonnés, topologie algébrique), un cône de sommet O est une partie C d’un espace vectoriel telle que x ∈ C et λ > 0 ⇒ λ.x ∈ C ; autrement dit, c’est un ensemble de demi-droites. En géométrie, il désigne plutôt un ensemble de droites.

Sections planes : Les sections horizontales par z ≠ 0 sont des ellipses, les sections verticales sont des hyperboles sauf les sections par les plans contenant z’Oz.

Paramétrisation :

x = a.u.cos v , y = b.u.sin v , z = c.u ( u ∈ R, 0 ≤ v ≤ 2π ).

Plan tangent : Le plan tangent en M(x, y, z) à C a pour équation :

a² x.X

₊

b² y.Y −

c²

z.Z

= 0. Il contient la génératrice OM.

> with(plots):

> C:=(a,b,c)->plot3d([a*u*cos(v),b*u*sin(v),c*u],u=-4..4,v=0..2*Pi);

> C(1,2,3);

5.2. Cylindres du second degré.

Un cylindre réel du second degré a pour équations réduites :

a² x²

₊

b²

y² = 1 ,

a² x²

₋

b²

y² = 1 , x² = 2py selon qu’il s’agit d’un cylindre elliptique, hyperbolique ou parabolique.

En un sens plus général, il a pour équation réduite a.x² + 2b.xy + c.y² + 2d.x + 2e.y + f = 0.

mais ce cas inclut les coniques vides, les plans doubles ou sécants, etc.

5.3. Exemples de cônes et de cylindres du second degré.

Les matrices symétriques réelles d’ordre 2 A =



 c b

b

a forment un espace vectoriel S de dimension 3.

Le déterminant det A = ac – b² est une forme quadratique de signature (1, 2) sur S.

Elle s’écrit en effet x²− y²− z² , en posant x = (a + c)/2 , y = (a − c)/2 et z = b.

Son cône isotrope C = { A ; det A = 0 } est donc un cône du second degré.

Les matrices symétriques définies positives correspondent à a + c > 0, det A > 0 : c’est l’un des demi-cônes convexes ouverts délimités par C.

Les matrices symétriques positives sont l’un des demi-cônes convexes fermés délimités pas C.

5.4. Exercices.

Exercice 1 : On considère le cône C d’équation

a² x²

₊

b² y² ₋

c²

z²

= 0 (a, b, c > 0) et le plan P d’équation px + qy + rz = 0, (p, q, r) ≠ (0, 0, 0). Montrer que P est

• extérieur au cône C ssi c² r² > a² p² + b² q²

• tangent à C ssi c² r² = a² p² + b² q²

• coupe C selon deux droites ssi c² r² < a² p² + b² q² .

Exercice 2 : Dans un repère orthonormé, on considère la quadrique d’équation ax² + a’y² + a’’z² + 2byz + 2b’zx + 2b’’xy = 0.

Discuter la nature de cette quadrique. Quand est-ce un cône de révolution ? Trouver alors son axe.

Exercice 3 : Cônes et cylindres circonscrits à une quadrique à centre.

Soit

A x²

₊

B y² +

C

z²

_{= ε , ε = ±}1 , une quadrique Σ du type II, III, ou IV.

1) Soit S(x₀, y₀, z₀) un point de l’espace. Montrer que le cône de sommet S circonscrit à Σ a pour équation :

(

A x x

.

0

+ B y y. ₀

+ C z

z

.

0 _−ε

)

²−

(

A x²

₊

B y² +

C z²

_−ε

)

.

(

A x²0 +

B y²₀

+ C

z²0 −ε

)

= 0.

Discuter la réalité de cône selon que la quadrique est un ellipsoïde réel, un hyperboloïde à deux nappes, à une nappe. Quelle est la courbe de contact ?

2) Soit ∆ une direction (α, β, γ). Montrer que le cylindre circonscrit à Σ de génératrices parallèles ∆ a pour équation :

(

A x

α .

₊

B y β. ₊

C z γ.

)

² −

(

A x²

₊

B y² +

C z²

_{− ε}

)

.

(

A

α

2

+ B

β

2

+ C

γ

2

)

= 0.

Discuter la réalité de ce cylindre. Quelle est la courbe de contact ? Exercice 4 : Cônes équilatères, sphère de Monge.

1) Le cône C d’équation

a² x²

₊

b² y² −

c²

z²

= 0 est dit équilatère s’il contient trois génératrices orthogonales. Montrer qu’il en est ainsi si et seulement si

a² 1

₊

b² 1

₋

c² 1

_{= 0.}

Montrer que C contient alors une infinité de trièdres rectangles.

2) Soit

A x²

₊

B y² +

C

z²

_{= ε , ε = ±}1 , une quadrique Σ du type II, III, ou IV. Montrer que le lieu géométrique des points de l’espace d’où l’on peut mener à Σ trois plans tangents deux à deux perpendiculaires est la sphère d’équation x² + y² + z² = A + B + C (sphère de Monge).

Exercice 5 : Cônes et cylindres circonscrits à un paraboloïde.

Soit Σ un paraboloïde elliptique ou hyperbolique d’équation réduite :

P x²

₊

Q

y² = 2z

1) Soit S(x₀, y₀, z₀) un point de l’espace. Montrer que le cône de sommet S circonscrit à Σ a pour équation :

(

P x x

.

0

+ Q y

y. 0 _{− z − z}

0

)

² −

(

P x²

₊

Q y² _{− 2z}

)

.

(

P x²₀

+ Q

y0² − 2z0

)

= 0.

Discuter la réalité de ce cône. Quelle est la courbe de contact ?

2) Soit ∆ une direction (α, β, γ). Montrer que le cylindre circonscrit à Σ de génératrices parallèles ∆ a pour équation :

(

P x

α .

₊

Q y

β

. _−γ

)

²−

(

P x²

₊

Q

y² − 2z

)

.

(

P

α

2

+ Q β2

)

= 0.

Discuter la réalité de ce cylindre. Quelle est la courbe de contact ? Exercice 6 : Plan de Monge d’un paraboloïde.

Soit Σ un paraboloïde elliptique ou hyperbolique d’équation réduite :

P x²

₊

Q

y² = 2z

Montrer que le lieu géométrique des points M de l’espace par lesquels on peut mener à Σ trois plans tangents deux à deux perpendiculaires est le plan d’équation z = −

2 P+Q

. Il est perpendiculaire à l’axe du paraboloïde.

Exercice 7 : Soient D₁, D₂ et D₃ trois droites passant par un point O, et non coplanaires. Montrer qu’il y a en général quatre cônes de révolution contenant ces trois droites, et former leurs équations dans un repère (O, i, j,k) formé de vecteurs directeurs unitaires de ces droites.

6. Intersection de deux quadriques.

Pas question ici d’étudier intersection et faisceaux de quadriques en toute généralité. Donnons quelques exemples.

Exercice 1 : On intersecte un cône de révolution et une sphère. On projette la courbe obtenue dans le plan contenant l’axe du cône et le centre de la sphère. Quelle est la courbe obtenue ?

Exercice 2 : Dans l’espace euclidien usuel R³, soit D la droite passant par Ω(1, 0, 1) de vecteur directeur u = (1, 1, 1). On note S₁ (resp. S₂) la surface engendrée par la rotation de D autour de l’axe (Ox) (resp. autour de l’axe (Oy)).

1) Déterminer une équation cartésienne de S₁ et S₂, puis indiquer leur nature.

2) Soit P le plan (yOz). Donner l’équation et la nature de P ∩ S₁ et P ∩ S₂. 3) Comparer D et S₁∩ S₂. Etudier S₁∩ S₂ .

Problème 3 : un faisceau de quadriques.

On se place dans l’espace R³ euclidien usuel.

1) a) Nature de la quadrique C d’équation xy + yz + zx = 0 ?

b) Pour tout λ, soit Q_λ la quadrique d’équation x² + y² + z² + 2λ ( xy + yz + zx ) = 1, et l’on convient que Q_∞ = C. Discuter la nature de cette quadrique selon les valeurs de λ.

c) Quelle est l’intersection de cette famille de quadriques ? 2) Caractériser les matrices A =











 a c b

b a c

c b

a ∈ M₃(R) qui sont orthogonales.

a) Montrer qu’elles forment deux cercles dans un espace de dimension 3.

b) Montrer que A ∈ O₃⁺(R) si et seulement si a, b et c sont les zéros d’un polynôme de la forme x³ – x² – p = 0 , où p ∈ [0, 4/27].

Problème 4

Soit EEEE un espace affine euclidien de dimension 3 rapporté à un repère orthonormé (O, i , j,k).

Tout point M a des coordonnées notées x, y et z.

On se propose d’étudier l’intersection Γ des surfaces S et C d’équations respectives : (S) x² + y² + z²− 1 = 0 et (C) x² + y²− x = 0 .

1) Décrire sommairement S et C.

2) Projections orthogonales de Γ sur les plans xOy, yOz et zOx.

a) Montrer que la projection de Γ sur le plan xOy est une courbe simple.

b) Montrer que la projection de Γ sur le plan xOz est contenue dans une courbe simple Π que l’on déterminera. Préciser cette projection.

c) Montrer que la projection de Γ sur le plan yOz a pour équation x = 0, y² − z² + z⁴ = 0.

Représentation graphique.

3) Représenter en perspective C, S et Γ.

4) On note Q_λ la surface d’équation x² + y² + z²− 1 + λ.( x² + y²− x ) = 0.

Ainsi Q₀ = S et on convient que Q_∞ = C. Vérifier que (∀λ) Γ⊂ Q_λ.

Discuter selon les valeurs de λ la nature de Q_λ. On trouvera, hormis pour une valeur de λ, une quadrique de révolution dont on précisera le centre et l’axe.

5) On repère M ∈ EEEE−{O} au moyen de coordonnées sphériques :

x = ρ.sin θ.cos ϕ , y = ρ.sin θ.sin ϕ , z = ρ.cos θ ( 0 ≤θ≤π, 0 ≤ϕ≤ 2π, ρ > 0 ).

a) Caractériser les points de Γ.

b) La tangente en M à Γ recoupe le plan xOy en P. Equation polaire du lieu de P en prenant A(1, 0, 0) pour pôle. Tracé.

6) Calculer :

a) Le volume du compact K = { (x, y, z) ; x² + y² + z²≤ 1 , x² + y²− x ≤ 0 }.

b) L’aire de la portion de S limitée par Γ, de la portion de C limitée par Γ. c) La longueur de Γ (sous forme d’intégrale).

_________

Exercices

Dans tous ces exercices, on se place dans l’espace EEEE₃ euclidien rapporté à un ron Oxyz.

Exercice 1 : Natures des surfaces d’équations :

7 x² + 4 y² + 4 z² + 4 xy − 2 yz − 4 zx − 2 x + 8 y − 14 z + 16 = 0.

x² + 3 y²− 3 z²− 8 yz + 2 zx − 4 xy − 1 = 0 13 x² + 10 y² + 5 z² − 4 xy − 12 yz − 6 zx − 14 = 0 3 x² + 3 z² − 4 yz + 2 zx + 4 xy − 1 = 0

2 xy + 2 yz + 2 zx + 2 x − 1 = 0 ( x + y )² + ( y + z )² + ( z + x )² = 1 ( x − 2y )² + ( 2y − 3z )² + ( 3z − x )² = 1

Exercice 2 : quadriques cartésiennes. Discuter la nature des quadriques d’équation : z = ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f

Exercice 3 : Nature de la quadrique Q : ( x + y + z )² − 2x + 2y + 4z – 1 = 0.

Plan de symétrie P ? Plan tangent à Q le long de Q ∩ P ?

Exercice 4 : Discuter selon la valeur du paramètre la nature des quadriques d’équation : xy + yz + zx = λ.

Exercice 5 : Nature de la quadrique d’équation a ( x² + 2yz ) + b ( y² + 2zx ) + c ( z² + 2xy ) = 1.

CNS pour qu’elle soit de révolution ?

Exercice 6 : Nature de la surface d’équation ( bz − cy )² + ( cx − az )² + ( ay − bx )² = R². Exercice 7 : Soient D et D’ deux droites. Lieu des points équidistants de D et D’ ?

Exercice 8 : Soient D et D’ deux droites. Lieu des points M tels que d(M, D)² + d(M, D’)² = 2 c². Exercice 9 : Soient D une droite, F un point. Lieu des points M tels que MF = e.d(M, D).

Exercice 10 : Soient P un plan, F un point. Lieu des points M tels que MF = e.d(M, P).

Exercice 11 : Soient P un plan, D une droite. Lieu des points M tels que d(M, D) = e.d(M, P).

Exercice 12 : Soient D et D’ deux droites d’intersection vide. Les points M(t) et M’(t) parcourent D et D’ resp. avec des vitesses constantes. Quelle est la surface décrite par la droite M(t)M’(t) ? Application en architecture ?

Exercice 13 : Montrer que l’intersection de x + y + z = 4 et de y² + yz + z² = 4( y + z ) est un cercle. Centre et rayon ?

Exercice 14 : Equation du cône de sommet S(1, 1, −1) et de directrice Γ : 2x² + 3y² = 1, z = 0.

Exercice 15 : On se place dans R³ euclidien usuel. Soient A(1, 0, 0), B(−1, 0, 0), C(1, 1, 0).

Déterminer la surface engendrée par la réunion des droites passant par C et équidistantes de A et B.

Exercice 16 : Lieu des sommets des cônes circonscrits à : x² + 4y² = 2z et dont l’intersection avec le plan xOy est un cercle.

Exercice 17 : Soit E l’ellipse d’équations

²

²

a x ₊

²

² b

y = 1 , z = 0.

Lieu des sommets des cônes s’appuyant sur E et dont la trace sur le plan yOz soit un cercle.

Exercice 18 : Soit C un cône de révolution. Lieu des points par lesquels passent deux plans tangents au cône et perpendiculaires entre eux.

Exercice 19 : Soit C un cône de révolution de demi-angle au sommet θ. Caractériser les plans coupant C selon une hyperbole équilatère.

Exercice 20 : Nature de la surface Σ d’équation 2xy − xz + 2yz = 0. Déterminer son intersection avec le plan d’équation x + y + z = 0. La surface Σ contient-elle des cercles ?

Exercice 21 : Soit Σ la surface d’équation x² + y²− z² = −1. Lieu des projections de O sur les plans tangents à Σ. Même question en remplaçant Σ par une quadrique de révolution.

Exercice 22 : 1) Montrer que la courbe C ayant pour équations 2y – 2z + 3 = 0, x² + y² – 2y – 3 = 0 est une ellipse. 2) Equation de la surface de révolution obtenue par rotation de C autour de l’axe Oz.

Exercice 23 : Déterminer l’ensemble des sommets de cônes de révolution contenant la parabole z = 0 , y² = 2px , resp. l’ellipse z = 0 ,

²

²

a x ₊

²

² b

y = 1.

Problème : quadriques affines en dimension n On appelle quadrique affine dans Rⁿ une surface Q d’équation :

F(x₁, …, x_n) = ( x₁, …, x_n ).A.

















xn

x ...

1

+ 2b₁ x₁ + … + 2b_n x_n + c = 0 où A est symétrique réelle et non nulle.

Montrer que, dans un repère affine convenable, Q a pour équation : I(s, t) :

∑

= s

i

xi 1

)²

( ₋

∑

⁺

+

= t s

s i

xi 1

)²

( = 0 ( s ≥ t ; 1 ≤ s + t ≤ n ) II(s, t) :

∑

= s

i

xi 1

)²

( ₋

∑

⁺

+

= t s

s i

xi 1

)²

( = 1 ( 1 ≤ s + t ≤ n ) III(s, t) :

∑

= s

i

xi 1

)²

( ₋

∑

⁺

+

= t s

s i

xi 1

)²

( + 2.x_n = 0 ( s ≥ t ; 1 ≤ s + t ≤ n − 1 ) Retrouver les 9 coniques et 17 quadriques.

Combien y a-t-il de classes de quadriques affines en dimensions 4, 5, 6, 7 ?