A R K I V F O R M A T E M A T I K Band 7 n r 17 1.67 03 1 Communiqu6 le 8 F6vrier 1967
Sur quelques propri~t~s arithm6tiques des formes binaires h coefficients entiers
Par TRYGVE NAGELL
w 1. Remarques sur la repr6sentabilit6 d'un nombre entier donn~ par une forme b i n a i r e
1. Lemmes. D a n s ce travail p o l y n o m e (forme) signifie u n p o l y n o m e (forme) s coefficients entiers rationnels.
II est facile d'dtablir les r6suItats suivants :
Lemme 1. Soit /(x) u n polynome (non constant) dont t o u s l e s zdros sont simples, et soit p u n hombre premier tel que la congruence
/(x) = 0 (mod p)
soit rdsoluble. Alors, s i p ne divise pets le discriminant de /(x), on peut trouver une in/init6 de hombres entiers x o (positi/s et ndgati/s) tels que le nombre /(%) soit divisible par p e t non par p2.
Lemme 2. Soient /(x) et g(x) des polynomes tels que l'dquation /(x)g(x)=O n'ait aucune racine double, Soit x o u n nombre entier tel que chacun des nombres /(xo) et 9(xo) soit divisible par le nombre premier p. Alors, le rdsultant R(/(x), g(x) ) est divisible par p.
On t r o u v e r a une d d m o n s t r a t i o n du lemme 1 dans Nagell [1] 1, p. 346.
D6monstration du lemme 2. E n v c r t u des conditions on a l e s identitds /(x) = (x - ~o) /1 (x) + p/~ (x),
g(x) = (x - %) gl (x) § pg~(x), o h / l ( X ) , / 2 (x), gl (x) et g2 (x) sont des polynomes. On en conclut
R ( / ( x ) - p / ~ ( x ) , g(~) - pg~(x)) = O. (1) Vu que le rdsultant de d e u x p o l y n o m e s est une fonction (enti~re) symdtrique coefficients entiers des coefficients de ces polynomes, on aura, en considdrant l'dqua- tion (1) m o d u l o p,
R(/(x), g(x)) - - 0 (mod p), et le lemme 2 se t r o u v e ddmontrd.
A l'aide de ces lemmes on p e u t dtablir le
Les num6ros figurant entre crochets renvoient ~ la bibliographic plae~e ~ la fin de ce m6moire.
T. 1NAC.ELL, Quelques propri$t~s arithm~tiques des formes binaires
L e m m e 3. Soit F(x) un polynome ayant la propridtd suivante : P o u r route valeur enti~re de x le hombre entier F(x) est une m-i~me puissance, m dtant un nombre naturel
>~2. Alors, le polynome F(x) est la m-i~me puissance d'un polynome.
Ddmonstration. I1 est d v i d e n t que F(x) p e u t s'dcrire sous la f o r m e
F ( x ) = c[/1 (x)] nl [/2 (x)] n2 .,. [/r (X)] nr,
(2)
off c e s t u n n o m b r e e n t i e r diffdrent de zdro, off/1 (x),/2 (x), . . . , / r (x) s o n t des p o l y n o m e s i r r d d u c t i b l e s d i s t i n c t s , e t oh les e x p o s a n t s nl, n 2 .. . . , n r s o n t des n o m b r e s n a t u r e l s . A l o r s t o u s l e s rdsultantS
R~. j = R(/~ (x), /j (x)),
i # ?', s o n t diffdrents de zdro. Ddsignons p a r D~ le d i s c r i m i n a n t d u p o l y n o m e / ~ (x), l <~i <~r.
Soit p u n n o m b r e p r e m i e r qui ne divise a u c u n des n o m b r e s c, D i, R~.j, e t s u p p o s o n s que la congruence
/k (x) ~- 0 (rood p)
est rdsoluble p o u r une c e r t a i n e v a l e u r de k. Alors, d ' a p r b s le l e m m e 1, il e x i s t e u n e v a l e u r enti~re de x, soit x0, telle q u e / k (x0) soit d i v i s i b l e p a r p et n o n p a r p2. D ' a p r b s le l e m m e 2 il est clair que a u c u n des n o m b r e s / ~ (x0), p o u r i # k, n ' e s t d i v i s i b l e p a r p.
Done, il rdsulte de la r e l a t i o n (2) que F(x) est divisible p a r pn~ et n o n p a r pn~+l.
On en c o n c l u t que n~ est d i v i s i b l e p a r m. P a r consdquent, t o u s l e s e x p o s a n t s n~, p o u r 1 ~< i ~ r, s o n t divisibles p a r m. Cela e n t r a l n e que le n o m b r e c e s t une m-ibme puissance, et le l e m m e 3 se t r o u v e ainsi d d m o n t r d .
Remarque. D a n s l'dnoncd d u l e m m e 3 on p e u t d v i d e m m e n t r e m p l a c e r la c o n d i t i o n (( P o u r t o u t e v a l e u r enti~re de x )>, p a r la c o n d i t i o n (~ P o u r r o u t e v a l e u r enti~re de x s u r p a s s a n t une l i m i t e donnde )).
N o u s a v o n s aussi b e s o i n d u r d s u l t a t s u i v a n t :
L e m m e 4. Soit p u n nombre premier et soit A u n hombre naturel qui n'est pets la p-i~me puissance d'un nombre naturel. Alors, il existe une in/initd de hombres premiers q tels que la congruence
x ~ ~ A ( m o d q)
ne soit pas rdsoluble. L a densitd de ces nombres premiers est positive.
Cette p r o p o s i t i o n est u n corollaire d ' u n r d s u l t a t d t a b l i p a r H i l b e r t : v o i r H i l b e r t [2], S a t z 152.
D ' a i l l e u r s , le l e m m e 4 est c o n t e n u d a n s la p r o p o s i t i o n p l u s gdndrale que voici:
L e m m e 5. Soit /(x) u n polynome irrdductible d ' u n degrd >~ 2. Alors, il y a une in/initd de nombres premiers q tels que la congruence
/(x) =~ 0 ( m o d q)
ne soit pas rdsoluble. L a densitd de ces nombres premiers est positive.
ARKIV FOR MATEMATIK. B d 7 nr 17 Ce r d s u l t a t est une c o n s e q u e n c e des lois de d e n s i t d de F r o b e n i u s - T c h e b o t a r e f f . E n cffct, ces lois p e r m e t t e n t de conclure q u ' i l y a une infinitd d e n o m b r e s p r e m i e r s , de densit~ p o s i t i v e , qui ne s o n t divisibles p a r a u c u n iddal p r e m i e r d u p r e m i e r degr6 d a n s les corps a l g d b r i q u e s e n g e n d r d s p a r l ' d q u a t i o n / ( x ) = 0. Voir H a s s e [3], w167 23-24.
2. F o r m e s binaires qui n e r e p r ~ s e n t e n t pas u n n o m b r e entier donn& N o n s dSsi- g n e r o n s p a r le s y m b o l e ((a0, a I . . . . , an) ) la f o r m e b i n a i r e de degr$ n(~>2)
F ( x , y) - aox n § a l x n-1 y + ... + a n y n,
off les coefficients a0, al, ..., a n s o n t enticrs. Si la f o r m e est ddfinite a 0 e t a n s o n t s u p p o s e s positifs. S u p p o s o n s que la f o r m e est i r r d d u c t i b l e d a n s le d o m a i n e r a t i o n n e l , e t soit K u n corps d u n-i~me degrd e n g e n d r d p a r l ' d q u a t i o n
ao xn § n-1 § ... § n = O . N o u s d i r o n s alors que l a f o r m e F ( x , y) est c o n s t r u i t e sur K.
D a n s u n t r a v a i l qui v i e n t de p a r a i t r e nous a v o n s e t u d i $ les r c p r d s e n t a t i o n s de l ' u n i t ~ p a r une f o r m e b i q u a d r a t i q u e d u p r e m i e r r a n g . N o u s a v o n s , e n t r e a u t r e s , m o n t r d q u ' i l e x i s t e a u p l u s 8 r e p r S s e n t a t i o n s de l ' u n i t d si les corps c n g e n d r d s p a r la f o r m e a d m e t u n souscorps q u a d r a t i q u e ; v o i r N a g e l l [4].
D a n s d ' a u t r e s t r a v a u x nous a v o n s t r a i t s la q u e s t i o n a n a l o g u e p o u r les f o r m e s c u b i q u e s b i n a i r e s de d i s c r i m i n a n t ndgatif. Ces f o r m c s a d m e t t e n t a u p l u s 3 r e p r &
s e n t a t i o n s de tZunit~, - exception-~i~-des--Cmois--elasses-.de-,-fc~rmes~-reIrr~sent~es-~par ((1, 1, 0, - 1 ) ) , ((1, 0, 1, - 1 ) ) et ((1, l , 1, - 1 ) ) qui a d m e t t e n t e x a c t e m e n t 5, 4 e t 4 r e p r d s e n t a t i o n s r e s p c c t i v e m e n t : v o i r N a g e l l [5], [6] et [7].
D ' a u t r c p a r t on p e u t m o n t r e r l ' e x i s t c n c e de f o r m e s b i n ~ k e s qui ne p e u v e n t p a s r e p r d s e n t e r l'unit4. E n effet, nous allons d t a b l i r le
Th~or~me 1. Soit K u n corps algdbrique du n-i~me degr~, n > 3, et soit c u n nombre entier rationnel quelconque :4= O. Alors, il existe u n e in/initd de classes d e / o r m e s binaires d u n-i~me degrd construites s u r le corps K , qui ne peuvent p a s repr&enter le hombre c.
Dgmonstration. Soit
F ( x , y) = x n + al xn l y + ... + anyn
une f o r m e c o n s t r u i t c sur K. S u p p o s o n s d ' a b o r d que c n ' e s t p a s de la f o r m e d v, d n o m b r e e n t i e r et p n o m b r e p r e m i e r d i v i s a n t n. D ' a p r ~ s le l e m m e 4 il e x i s t e u n e infinitd d e n o m b r e s p r e m i e r s q tels que c n e soit p a s u n r c s t e p-i~me m o d u l o q. Alors, il est ~ v i d e n t que la f o r m e F ( x , qz) ne p e u t p a s r e p r e s e n t e r le n o m b r e c.
S u p p o s o n s e n s u i t e que c = d p, d n o m b r e e n t i e r et p n o m b r e p r e m i e r d i v i s a n t n. P a r la t r a n s f o r m a t i o n
x = eu + / q v , y = gu + hqv,
oh e , / , g, h e t q s o n t des h o m b r e s e n t i e r s tcls que e h - / g 4 0 , la f o r m e F ( x , y) sera t r a n s f o r m d e d a n s la f o r m c
G(u, v) = F(e, g) u n + b l q U n - l v + ... + bnqnv n,
oh les coefficients b 1 .. . . , b n s o n t entiers. D ' a p r ~ s le l e m m e 3 il est ~ v i d e n t q u ' o n p e u t choisir les n o m b r e s e et g tels que F(e, g) ne soit p a s une p-i~me puissance. Alors,
T. NAGELL, Quelques propri~t$s arithmdtiques des formes binaires
d ' a p r ~ s le l e m m e 4 il e x i s t e une infinitd de n o m b r e s p r e m i e r s q tels que F(e, g) ne s o i t p a s u n r e s t e p-i~me m o d u l o q. Donc, la f o r m e G(u, v) ne p e u t p a s r e p r d s e n t e r le n o m b r e c = d v, et le thdor~me 1 se t r o u v e d~montr~.
L e r d s u l t a t s u i v a n t est une consdquence i m m d d i a t e d u l e m m e 5.
Th~orbme 2. Soit F(x, y) une /orme binaire irrdductible, ayant le diviseur /ixe m a x i m a l
~. Alors, il existe une in/initg de nombres entiers, premiers entre eux deux dt deux, qui ne peuvent pas dtre reprgsentds par la /orme F(x, y)/(~.
Ce t h d o r 6 m e est, b i e n e n t e n d u , aussi v r a i p o u r une f o r m e r d d u c t i b l e qui n ' e s t p a s le p r o d u i t de f o r m e s lin6aires ~ coefficients r a t i o n n e l s .
w 2. Remarques sur les formes b i n a i r e s b i q u a d r a t i q u e s du premier rang 3. Sur le nombre de representations d'un nombre entier dans quelques cas parti- culiers. D a n s u n m d m o i r e p u b l i d r d c e m m e n t n o u s a v o n s d t u d i d les r e p r d s e n t a t i o n s de l ' u n i t d p a r des f o r m e s d u t y p e en question; v o i r [4]. D a n s ce qui s u i v r a n o u s allons c o n t i n u e r les r e c h e r c h e s c o m m e n c d e s d a n s ce mdmoire; les n o t i o n s s e r o n t les m~mes.
N o u s allons d t u d i e r l ' d q u a t i o n b i q u a d r a t i q u e
N ( x - Oy) = a, (3)
oh 0 est u n n o m b r e e n t i e r d u q u a t r i ~ m e degrd qui e n g e n d r e le corps K(0) imprimiti/
e t d u p r e m i e r r a n g ; ici N signifie la n o r m e d a n s K(0); a est u n n o m b r e n a t u r e l > 1.
N o u s ddsignons p a r T(a) le n o m b r e d ' i d d a u x p r i n c i p a u x de n o r m e a. N o u s allons m o n t r e r c o m m e n t on p e u t , d a n s t e r r a i n s cas, t r o u v e r une l i m i t e supdrieure, r e l a t i v e - m e n t basse d u n o m b r e d e s o l u t i o n s d e l ' d q u a t i o n (3) en n o m b r e s e n t i e r s r a t i o n n e l s x e t y, p r e m i e r s e n t r e eux, y # 0 . N o u s d i r o n s que x - O y , (x, y) = 1 , est u n e s o l u t i o n d e (3) l o r s q u e x et y s a t i s f o n t ~ c e t t e d q u a t i o n . D e u x s o l u t i o n s x - Oy et x 1 - O y 1 d o n t le q u o t i e n t est u n e unitd, s e r o n t appeldes solutions associges. S i x - Oy est u n e solution,
- x + Oy l ' e s t aussi.
I1 f a u t d i s t i n g u e r les cas d ' a p r b s la classe d u corps K(0); p o u r la d d f i n i t i o n des classes, des u n i t d s f o n d a m e n t a l e s etc. v o i r [4], p. 483.
L e s classes 5 e t 7
D a n s les corps d e ees classes on a ~ =~. S u p p o s o n s q u ' i l e x i s t e d e u x s o l u t i o n s assocides de (3). D o n e
x - Oy = • e~(xl - Oyl),
off n est u n n o m b r e e n t i e r r a t i o n n e l . Vu que e est rdel et que 0 est i m a g i n a i r e on en e o n c l u t
x = +_~nx 1 e t y = + e ~ y r Or cela e n t r a i n e n = 0 , x = • 1 e t y = •
Conclusion: Le nombre de solutions de (3) eat au plus dgal dt 2T(a).
ARKIV FOR MATEMATIK. B d 7 n r 17
L a classe 8
D a n s les corps de cette classe o n a ~ = ~ / ~ . N o u s consid~rons s e u l e m e n t le cas p a r t i e u l i e r de 0 = ~---~.
S u p p o s o n s q u ' i l existe d e u x solutions assocides de l ' ~ q u a t i o n
N ( x - V ~ e y ) = a. (4)
Alors n o u s a u r o n s la r e l a t i o n
x - l / ~ y = +_ (V ~ ~),. ( x l - V~-~y,),
oh n e s t u n n o m b r e e n t i e r r a t i o n n e l . I1 suffit de p r e n d r e le signe supdrieur. S i n est p a i r on a u r a c o m m e d a n s le cas prdcddent x = • y = •
S i n est i m p a i r = 2m § 1 o n a u r a
x = ( - e ) ' ~ + ~ . y 1 et - y = ( - ~ ) " x l , ce q u i est d v i d e m m e n t impossible si Yl :~ 0.
Conclusion: L e hombre de solutions de (4) est a u p l u s dgal ~ 2~(a).
L a classe 9
D a n s les corps de cette classe o n a ~ = el. N o u s n o u s l i m i t o n s a u cas p a r t i c u l i e r de 0 = el. S u p p o s o n s q u ' i l existe d e u x solutions associ~es de l ' d q u a t i o n
N ( x - ely) = a. (5)
Alors n o u s a u r o n s la r e l a t i o n
x - ely = +_ (ei)~(xl - ~iyl),
oh n e s t u n h o m b r e e n t i e r r a t i o n n e l . I1 suffit de p r e n d r e le signe supdrieur. S i n est p a i r o n a u r a c o m m e t o u t ~ l ' h e u r e x -- Xl, y = Yl.
S i n est i m p a i r = 2 m § 1 il f a u t q u ' o n air
x = - ( - e 2 ) m + l y l , - y = ( - ~ ) m x 1.
Or, cela e n t r a i n e que m = 0 et Yl = 0.
Conclusion: L e nombre de solutions de (5) est a u p l u s dgal ~ 2~(a).
L a classe 5
D a n s ce eas il n ' y a q u ' u n seul corps d a n s la classe. Ce corps est engendrd p a r le n o m b r e ~ = e 2m15. O n a ~ = e = 89 § ]/5) et ~2 = e -1 ~ - 1. Nous eonsiddrons s e u l e m e n t le cas 0 = ~ . S u p p o s o n s q u ' i l existe d e u x solutions associ~es de l ' ~ q u a t i o n
N ( x - ~y) = a. (6)
Alors n o u s o b t e n o n s la r e l a t i o n
x - ~ y = _+ ~ % ~ ( x ~ - ~ y ~ ) ,
T. I~AGELL, Quelques proprigt~s a r i t h m ~ t i q u e s des f o r m e s b i n a i r e s
o h n e s t u n n o m b r e e n t i e r r a t i o n n e l , et oh h a u n e des v a l e u r s 0, _+ 1, _+ 2. l l s u f f i t d e p r e n d r e le s i g n e s u p d r i e u r . Si h - - 0 o n a u r u c o m m e p l u s h a u t x = x l , y - y r
1) D u n s le cus h = 1 n o u s o b t e n o n s
x - ~ y = x l ~ s ~ -- y l ~ S ~ = Xl~S n - y l ~ s ~ ~ -: y l ~ '~.
O n e n c o n c l u t x = y l en e t -- y = X l F . n - y l ~n-1, ce q u i e s t d v i d e m m e n t i m p o s s i b l e si Yl =V 0.
Si h - - 1 o n r e t o m b e r a s u r le m S m e cus e n d c h a n g e a n t x e t x~, y c t y~ e t n e t n.
2) D u n s le cas h = 2 n o u s o b t e n o n s
x -- ~y = ( ~ s 1 .. 1) (x l - ~Yl) s'~
= ~ e n - l x l _ SnXl - ~2 s" ly I -!- ~e=yl
. _ ~ . - l x l . s'~xl __ ~ - 2 y I + s n l y 1 + ~s~yl.
Celu e n t r a i n e x -- - s'~xl + e n - l y l , _ y _ sn ~Xl t:n 2 y 1 A- ~ny 1,
e t p a r s u i t e x - sy = yle~ ~ L
D ' u n e m a n i b r e u n a l o g u c on o b t i e n t
x + y = - XlSrt-l~
ce q u i e n t r a i n e n - - - - 1 , et p a r c o n s d q u e n t x - e y = Yl.
I1 f a u t d o n c q u e y - - 0 , valeur-q-ue--nous uvorts-.exr
Si h - - 2 o n r e t o m b e s u r le m 6 m e eus e n 6 e h a n g e a n t x e t xl, y e t Yl, e t n e t - n . C o n c l u s i o n : L e n o m b r e de s o l u t i o n s de (6) est a u plu,~ ~gal & 2T(a).
N o u s a l l o n s r e v e n i r p r o c h a i n e m e n t s u r l ' d q u a t i o n p l u s gdndra.le N ( x - - O y ) = a , off 0 e s t u n e n t i e r q u e l c o n q u e g d n d r a t e u r d u corps.
N o u s p r o f i t o n s d e l ' o c c a s i o n p o u r a v i s e r les f a u t e s d ' i m p r e s s i o n s u i v a n t e s a u t r a v a i l [8]: D a n s la l i g n e 9, p. 161, il f a u t l i r e b 1 a u l i e u d e b 1 - - a 2. D a n s la l i g n e 18, p. 165, il f u u t u j o u t e r : e t # 0. D u n s la ligne 11, p. 168, il f a u t lire tO, tO 2 uu lieu d e rO, rO". D a n s la l i g n e 2, p. 177, il f u u t lire est a u lieu d e et.
I1 n e s e r a i t p u s diffieile d e g d n d r u l i s e r les r d s u l t a t s o b t e n u s d a n s ce c h u p i t r e ; m a i s n o u s n o u s u r r 6 t o n s ici.
4. S u r les f o r m e s a y a n t e x a c t e m e n t q u a t r e r e p r e s e n t a t i o n s de l ' u n i t ~ . ] ) a n s lc m d m o i r e [4] n o u s a v o n s d t a b l i le rd, s u l t a t s u i v a n t (Thdorb~me 11, p. 5 0 9 - 5 1 I ) :
S o i t K u n corps q u e l c o n q u e a p p a r t e n a n t h u n e classe q u i est d i / / d r e n t e des d e u x classes 5 et 7. A lots, i l y a u n e i n / i n i t d de cla,~ses d e / o r m e s c o n s t r u i t e s s u r K p o u r lesqueUes o n a M = 4 .
ARKIV FOR MATEMATIK. B d 7 n r 17 I c i M signifie le n o m b r e de r e p r 6 s e n t a t i o n s de l ' u n i t 6 p a r la f o r m e b i q u a d r a t i q u e . P o u r la d 6 m o n s t r a t i o n de ce th6or6me il est n a t u r e l d e consid6rer la f o r m e
N ( x - y E ) ,
oh E est s u p p o s d e d ' e t r e u n e u n i t d d u q u a t r i 6 m e degrd d a n s le corps K. I1 f a u t cepen- d a n t o b s e r v e r q u ' i l y a d a n s c e r t a i n s corps des a n n e a u x e n t i e r s d ~ n s lesquels t o u t e s les u n i t d s (irrationnelles) s o n t d u s e c o n d degrd. D e la m a n i 6 r e s u i v a n t e n o u s allons s i m p l i f i e r la d d m o n s t r a t i o n de l ' e x i s t e n c e d a n s t o u s tes corps en q u e s t i o n d ' u n e infinit6 d ' a n n e a u x e n t i e r s d a n s lesquels il y a des u n i t d s d u q u a t r i 6 m e degrd. I1 suffit d e considdrer les classes de corps 8, 9, 10, 11, 12, 13 et 14.
D a n s la classe 8 on p e u t p r e n d r e
E = ( V - ~)2~ +1.
D a n s la classe 9 on p e u t p r e n d r e D a n s la classe 10 on p e u t p r e n d r e D a n s la classe 11 on p e u t p r e n d r e
E = i~ n.
E = ( 1 / ~ ) ~n +~.
E = Qs n, off ~ est u n e r a c i n e de l ' 6 q u a t i o n ~2 § ~ + 1 = 0.
D a n s la classe 12 on p e u t p r e n d r e
E : ( } / ~ ~)2~ +1.
D a n s la classe 13 on p e u t p r e n d r e
E = ~e ~, off ~ est une r a c i n e de l ' 6 q u a t i o n ~4+ 1 = 0 .
D a n s la classe 14 enfin on p e u t p r e n d r e E = (V~) 2~+1.
I c i n signifie u n n o m b r e n a t u r e l ; s signifie l ' u n i t 6 f o n d a m e n t a l e d a n s le sous-corps q u a d r a t i q u e r6el. I1 est 6 v i d e n t que E sera t o u j o u r s d u q u a t r i 6 m e degr6. E n f a i s a n t a c c r o l t r e le h o m b r e n on a u r a des unit6s E d o n t les d i s c r i m i n a n t s D ( E ) ne p e u v e n t p r e n d r e une v a l e u r d o n n d e q u ' u n h o m b r e fini de lois. Ce!a est une cons6quence d u Th6or6me 21 de n o t r e m 6 m o i r e [8]. On a u r a ainsi, d a n s t o u s l e s corps, u n e infinit6 d ' a n n e a u x R ( E ) et de f o r m e s I V ( x - y E ) j o u i s s a n t de la p r o p r i 6 t d d e m a n d 6 e .
Institut de mathdmatiques, Universltd, Uppsala, Suede
I N D E X B I B L I O G R A P H I Q U E
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Uppsala 1967. Almqvist & Wiksells Boktryckeri AB
