A R K I V F O R M A T E M A T I K B a n d 8 n r 7 1.68 11 3 Communiqu6 le 11 septembre 1968
Remarques sur une cat6gorie d'6quations deux ind6termin6es
Par TRYGVE NAGELL
diophantiennes h
§ 1. Sur la r6solubilit~ de l'~quation y2__ 1 = zP
1. D a n s u n travail publi~ en 1921 j'ai ~tudi~ la possibilitd de r~soudre l'~quation d i o p h a n t i e n n e
y~ - 1 = z ~ (1)
e n n o m b r e s naturels y et z, lorsque p e s t u n n o m b r e premier >~ 5. P o u r certaines categories de n o m b r e s premiers 1o j'ai pu m o n t r e r dans le dit travail que cette dqua- tion n ' a pas de solutions. L a d~monstration s'appuie sur des propridtds du corps q u a d r a t i q u e engendrd p a r U~p, off ~ = + 1 o u = - 1 suivant q u e p = - I o u - - 1 (rood 4);
voir Nagell [1] 1. N o u s allons revenir sur une partie de ce travail plus loin d a n s le n u m d r o 3.
E n s u i t e en 1935, p a r u n e autre m 4 t h o d e tr~s simple, j ' a i pu dtablir le rdsultat s u i v a n t (voir Nagell [2]):
Th~or~me 1. S i p est u n nombre premier >1 5, qui n' est p a s =- 1 (rood 8), lYquation (1) n'admet aucune solution en hombres naturels y e t z.
V u que ce rdsultat semble 6tre restd i n c o n n u je me permets d ' e n recapituler la d d m o n s t r a t i o n .
On voit aisdment que le n o m b r e z dans (1) est ndcessairement pair, a b s t r a c t i o n faite de la solution y = O , z = - 1 . E n effet, si z est impair, cette dquation entraine
y - l = a v, y + l = b v, off a e t b sont des h o m b r e s naturels, tels que ab = z. D o n c
a ~ ' - b ~' = - 2 , d ' o h r~sulte a = - 1, b = 1. Si z e s t pair on a u r a
y ~ l = 2 a p, y+_l = 2V-lb p, off a et b sont des h o m b r e s naturels, tels que 2ab = z, donc
a p - 2 p - ~ b p = ~- 1. (2)
1 Les num~ros figurant entre crochets renvoient k la bibliographie plae6e ~ la fin de ee m6moire.
T. NAGELL, ~,quations d i o p h a n t l e n n e s d deux indgtermindes
Alors, v u que le q u o t i e n t ( a V ± 1 ) / ( a ± l ) est impair, il r~sulte de cette 6quation que a__ 1 est divisible p a r 2 v-2, donc a ~> 2 v - ~ - 1 et
z = 2ab >12 " - I - 2 > 2 "-2.
(3)
N o u s allons ensuite m o n t r e r que le n o m b r e y est n~cessairement divisible p a r p.
E n effet, s i y n ' e s t p a s divisible p a r p, l'~quation (1) entraine z ~ + 1
= v ~, z + l = d ~, (4)
z + l
off c et d sont des n o m b r e s naturels impairs, tels que y =cd.
Or, j'ai m o n t r ~ darts u n e n o t e ant~rieure que la premiere de ces ~quations est impossible p o u r [z I > 2~-s; voir Nagell [3]. Cela ~tant en contradiction avec l'indgalitd (3), o n en conclut que le n o m b r e y dolt ~tre divisible p a r p. On p e u t d'ailleurs aussi obtenir ce r~sultat en utilisant le th~or~me s u i v a n t dfi ~ C. StSrmer (voir [4]):
D~signons p a r u i, v 1 les solutions f o n d a m e n t a l e s de l'~quation u ~ -- Dv ~ = 1.
Alors, p a r m i routes les solutions v, il n ' y a u r a a u c u n e ou bien il y e n a u r a une seule, savoir vl, jouissant de la proprigtd que c h a c u n de ces diviseurs premiers divise D.
E n effet, d'apr~s (4), l'~quation (1) p e u t s'~crire
y ~ - (d 2 - 1 ) [(d e - 1)h] ~ = 1,
(5)
off h = ½(~ - 1 ) . Les solutions f o n d a m e n t a l e s de l'~quation u ~ - ( d ~ - l ) v 2 = 1
~tant u i = d et v i = 1, il r~sulte du th~or~me de StSrmer que l'~quation (5) est impos- sible.
Le n o m b r e y 6 t a n t ainsi divisible p a r p, il r~sulte de (1) z~+ 1
z+ I = p¢~, z +---~ = pd~' (6)
off c et d sont des n o m b r e s naturels impairs. E n $crivant (1) de la mani~re suivante y~ - 2 = z ~ - 1 = (z - 1) (z ~-I + ... + z + 1),
on voit que z - 1 est n~cessairement = + 1 (rood 8), ce qui entralne ou z---2 ou z---0 (rood 8). E n c o m b i n a n t ceci avee la premiere des ~quations (6) on aura ou T = 3 ou p --- 1 (rood 8). L ' ~ q u a t i o n (1) est p a r consequent impossible p o u r z > 0, lorsque p = 5
ou iV - 7 (rood 8).
S u p p o s o n s ensuite que p = 3 (rood 8). C o m m e b est indivisible p a r p , l'~quation (2) entralne
a v - i T - a ~-2 + ... + a 2 T a + 1 =]P (7)
ARKIV FOR MATEMATIK. B d 8 nr 7
et a _ + l = 2 ~ - ~ g v , (8)
/ et g d t a n t des h o m b r e s naturels tels que b =]g. De la derni~re de ces dquations on aura a - T 1 (rood 8). L a premibre dquation d o n n e p a r suite
1 9 - ] v = - ] - 3 (rood 8).
Le h o m b r e / est positif et =- 1 (mod 19). Avec le symbole de J a c o b i nous a u r o n s done
Or, n o u s a v o n s d'apr~s (6) ce qui e n t r a l n e d v i d e m m e n t
z = 2ab = 2a]g =19c 2 - 1,
en c o n t r a d i c t i o n avee (9). Le Thdorbme 1 se t r o u v e done ddmontrd. D'ailleurs, nous a v o n s aussi o b t e n u le rdsultat s u i v a n t :
Thfiorbme 2. S i 19 est u n hombre p r e m i e r >~ 5, qui n'est p a s - 1 (mod 8), lYquation (2) n'admet aucune solution en nombres entiers rationnels a e t b 19our b # 0 .
Remarque. I1 est bien eonnu que l'dquation x a - 2y a = 1
n ' a d m e t pas d ' a u t r e s solutions en n o m b r e s entiers rationnels que x = l , y = 0 et x = - 1 , y = - 1 ; voir Legendre [18], t. 2, p. 8.
9.. I1 rdsulte de ce qui pr$c~de : Si l'dquation (1) a d m e t u n e solution avee z # 0 , le n o m b r e premier 19, supposd > 3, doit ~tre - 1 (rood 8). D a n s ee cas il rdsulte de (6) que z - 0 (rood 8). Vu que z =2ab on en eonelut que b e s t divisible p a r 4. I1 en rdsulte que g est divisible p a r 4, v u que b =]g. De l'dquation (8) on o b t i e n d r a d o n c
a/> 2 ap-~ - 1. (10)
Encore, l'6quation (7) d o n n e r a
P
b = / g >1 4/~> 4 V(a~+ 1)/(a + 1).
Vu que la fonction ( x V + l ) / ( x + l ) crolt de fa9on m o n o t o n e p o u r x > l , on aura, en p r o f i t a n t de l'in~galitd (10),
b > 4(2 av-~ - 1). 2 -s+2Iv > ½ (2 av-2 - 1).
Done, s'il existe une solution de (1) on a
z = 2ab > (2 av-~ - 1) 3. (11)
3. D a n s le travail [1], citd plus h a u t , nous avons 6tabli le rdsultat que voici :
T. NAGELL,
l~quations diophantiennes ~t deux ind~erminges
Th6or~me 3.
Soit 19 un hombre premier =- 1 (rood 8), et d~ignons par e = u + v ~ p l'unitd ]ondamentale,
e > 1,du corps quadratique K ( ~ ) . Alors, si la congruence u + v =- 1
(rood 8) n'est paz satis[aite, l'd~uation (1) n'admet aucune solution en hombres naturels y
et z.
N o u s aUons en reproduire la d6monstration. D'apr~s les conditions donn~es et les r6sultets o b t e n u s d a n s le n u m 6 r o 1, il suffit de m o n t r e r que l'dquation
x ~ - - I
x - 1 --- yy~' (13)
o b t e n u e de (6) en y i n e r r a n t x = - - z et
y = d ,
est impossible lorsque x est pair etu + v
~ 1 (rood 8). U n e cons6quence de cette 6quation est alors quex = 0 (rood 8). (14)
E n p r e n a n t la n o r m e de l'unit6 e on a u r a
u ~ - p v ~ = - 1,
d'ofi il r6sulte que u - 0 (rood 4) et v = n o m b r e impair; u et v sont t o u s l e s d e u x positifs, v u que e > 1.
D ' a p r 6 s la th6orie de la division d u cercle nous a v o n s l'identit6 suivante :
4 a: - i- = [Y(x)]2 - p [Z(x)]~'
(15)
oh
Y(x)
etZ(x)
sont des p o l y n o m e s en x ~ coefficients entiers rationnels, tels queY(x)=2+x+~;(p+3)x2+
... + X~-I + 2X~,}Z (X) = Z-~- ~-~- ,..-~-X "-1, (16)
off v = ½ (p - 1). P o u r la d ~ m o n s t r a t i o n de ces fairs voir p. ex. D e d e k i n d - D i r i c h l e t [5], p. 369-375.
Supposons que les n o m b r e s
Y(xo)
etZ(Xo), x o
entier rationnel quelconque, aient le c o m m u n f a c t e u r premier q > 2. D a n s ce cas on o b t i e n t les d e u x congruencesY(x) =- (X-Xo)/t(x)
(mod q),et donc, v u que q > 2,
Z(x) =- (X-Xo) /~(x) (mod
q),x - 1 = ( x - xo) 2 [ ( x ) ( r o o d q ) .
E n v e r t u d ' u n th~or~me de la th~orie des congruences de degr6 sup&ieur il en r6sulte que q divise le d i s c r i m i n a n t itr ~-~ d u p o l y n o m e
F ~ ( x ) = ( x ~ - l ) / ( x - 1 ) ;
voir p. ex.Nagell [6], T h e o r e m 48. I1 f a u t d o n c que
q =p;
il en r4sulterait, en v e r t u de (15), queF~(zo)
serait divisible p a r p~; or il est bien c o n n u que cela est impossible ([6], T h e o r e m 95). Donc, les h o m b r e sY(x)
etZ(x)
s o n t premiers entre eux, s'ils sont t o u s l e s d e u x~tRK_W F6R MXT~MATIK. B d 8 a r 7
impairs. S'ils sont tous les deux pairs, les nombres ½Y(x) et ½Z(x) sont premiers entre eux, vu que Fv(x) est toujours impair. Dans ce qui suivra nous dcrirons, pour raecourcir, Y e t Z en o m e t t a n t x.
Let coefficients des polynomes
u=½r+½V z et v=½r-½v z
sont gvidemment des entiers dans le corps K(Vpp). On en conclut que le polynome
½ ( Y + Z ) = U - ½ (lf-~p- 1) Z a les coefficients entiers rationnels.
Les polynomes U et V sont positifs pour route vateur r6elle de x. E n effet, les racines de U = 0 et V = 0 sont imaginaires, et les coefficients de x~ sont = 1.
I1 rdsulte de l'~quation (13) que le plus grand commun diviseur des iddaux (U) et (V) est ggal ~ (Vp), vu que le plus grand commun diviseur de Y et Z divise 2. Par consdquent, l'~quation (13) entraine
(v)=
off i e s t un ideal dans K(Vp). Vu que le nombre h des classes d'id~aux dans K(Vp) est impair, il est ~vident que i e s t un ideal principal; voir p. ex. Sommer [7], p. 110.
On aura par suite une ~quation de la forme
½r+½ z=v ( a+½ b) (17)
off ~ est une uuit4 dans K(Vpp), et off a et b sont des nombres entiers rationnels, premiers entre eux, tels que +_y = ¼(a s -pb2).
I1 faut dans (17) que l'unitd ~ soit positive, v u que U est toujours positif. Alors il suffit de considgrer le cas off ~ est l'unitd fondamentale e = u + v ~p. D'aiUeurs, on peut remplacer e par une puissance quelconque e m, o2 m est positi/ et impair. Par consequent, en prenant dans (17) ~ =e, on obtient le syst~me
2 Y = pv (a 2 + pb 2) + 2 abpu,~
(
1 8) 2 Z = u (a s + pb 2) + 2 abpv. J¢
Vu que x-=0 (mod 8), il r~sulte de (16) que les hombres Y e t Z doivent satisfaire aux congruences
Y - - 2 ( m o d 8), Z = 0 (mod 8),~
(19)
½ (Y+Z)----1 (mod 8). J f
Supposons d'abord que a et b soient t o u s l e s deux impairs. Alors, il r~sulte de (18), u 4tant = 0 (mod 4),
2 Y =- 2pv (mod 8),
ce qui est impossible, le nombre ~ gauche dtant divisible par 4. Soient ensuite a et b pairs, a = 2 a 1 et b =2b r Alors, on obtient de (18)
u. r~AGE~, I~quations diophantiennes d deux inddterminges
½ ( Y + Z ) = (u + pv) (a~ + pb~) ÷ 2 (u + v) e h b i ?,
½ Y = p v (a~ + pb~) + 2 a~ b~ pu.
I1 en r6sulte m o d u l o 8
½ Y - - v ( a ~ + bY) (rood 8),
½ ( Y + Z) ~- 1 - - (u + v) (a~ + bi) 2 (rood 8).
a i + b i est impair. On o b t i e n t done, v u que Puisque ½ Y est i m p a i r , il s ' e n s u i t que 9
( a l + b l ) 2 - 1 (rood 8),
u + v - 1 (rood 8).
Cela d 6 m o n t r e le Th6or~me 3.
L e r~sultat peug aussi ~tre formul~ de la mani~re s u i v a n t e :
Th6or~me 3 bis. S i p est u n hombre premier -- 1 (rood 8) tel que le nombre 2 ne soit pas u n reste biquadratique modulo la, l'dquation (1) n'adme~ aucune solution en hombres naturels y e t z.
Ddmonstration. D a n s la d 6 m o n s t r a t i o n du Th6or~me 3 nous a v o n s v u clue l'unitd f o n d a m e n t a l e e ( > 1) p e u t gtre 6chang~e contre la puissance e m, off m est u n n o m b r e naturel impair quelconque. P o u r le b u t actuel nous choisissons m = h = a u n o m b r e des classes d ' i d 6 a u x clans le corps K(~/pp). Alors, si nous posons eh=ui+vi~/i~, la condition u + v ~ 1 (rood p ) d a n s le Th6or~me 3 doit ~tre dchang6e contre la condition u i + v l ~ l (rood p). I c i v i e s t i m p a i r eg u l = 0 (rood 4). V u que p - 1 (rood 8) on a T = A ~ + 1 6 B ~, oli A e t B song des engiers rationnels; A p e u t gtre choisi = 1 (rood 4).
D ' a p r ~ s u n r6sulgat de H a s s e (voir [8], p. 407-408) on a alors les relations u~ = ½ A ( A ~ - B~) - 4 B A ~ Bx,]
vl = ½ (A~ + B~),
l (20)
oil A i e t B i song des entiers rationnels. Puisque v i e s t impair, A i e t B i sont aussi impairs.
Supposons m a i n t e n a n t que u i + v i = 1 (rood 8). Alors on o b t i e n t de (20)
et p a r suite
ui + vl = ½ (A + 1) A ~ - ½ (A - 1) B~ - 4 B A ~ B~
u i + v l --- 1 - 1 - 4 B (rood 8).
I1 en r~sulte que B doit ~tre pair. I n v e r s e m e n t , si B est p a i r on a u r a u i + v i ~ l (rood 8). P a r cons6quent, si B e s t i m p a i r l'~quation (1) n ' a p a s de solutions. P o u r qu'il existe une solution il f a u t d o n e que B soit =2C. D a n s ce cas on a alors
p = A 2 + 6 4 C 2. (21)
D ' a p r 6 s u n r6sultat de G a u s s ( c o m p a r e z H a s s e [9], § 14, p. 69) la condition ndeessaire e t suffisante p o u r que le h o m b r e 2 soit u n reste b i q u a d r a t i q u e m o d u l o le n o m b r e p r e m i e r p = 1 (rood 4), est que p soit de la forme (21). Le Th~or~me 3bis se t r o u v e ainsi dgmontr6.
Al{Krv F6R MATEMATIK. Bd 8 nr 7 D'apr~s E. Lehmer (voir [10]) la densit4 des hombres premiers de la forme (21) est ~gale ~ ~. Alors, le Thdor~me 3bis m o n t r e que l'~quation (1) n ' a pas de solutions pour au moins la moiti4 des valeurs de/9 - 1 (rood 8),
4. Dans un travail publi~ en 1940 R. Obl£th (voir [11]) a montr~ que l'dquation (1) a d m e t au plus une seule solution en nombres naturels y e t z, lorsque p est un h o m b r e p r e m i e r p >/5. Sa d4monstration repose principalement sur l'application d ' u n th~or~me de Siegel (voir [12]) sur l'in~galitd diophantienne
l a x " - b y " ] <~ c, (22) off a, b, c et n sont des nombres naturels, n~>3. Le th~or~me en question dit que l'in~galitd (22) a d m e t au plus une seule solution en nombres naturels x et y, premiers entre eux, lorsque
>188
Obl£th applique ce r4sultat k l'dquation (2). I1 a connu m o n premier travail [1];
cependant, il semble qu'fl n ' a pas observd m o n travail [2] publid en 1935. Donc, le r4sultat de Obl£th regarde seulement une classe particuli~re de hombres premiers --1 (rood 8). Celui-ci p e u t ~tre formuld ainsi qu'il suit (en a y a n t ~gard a u x r~sultats ant~rieurs) :
Th~or~me 4. Soit p u n nombre p r e m i e r -- 1 (rood 8) tel que le hombre 2 soit u n reste biquadratique modulo p. Alors l'dquation (1) admet au p l u s une seule solution en hombres naturels y et z.
Jusqu'ici on ne connait aucun cas dans lequel l'~quation (1) est r~soluble. Une solution eventuelle z doit satisfaire £ l'indgalitd (11).
Les nombres premiers = 1 (rood 8) inf4rieurs £ 600 pour lesquels le nombre 2 est un reste biquadratique sont : 73, 89, 113, 233, 257, 281,337, 353, 577, 593. P a r m i les 66 hombres premiers ~ 1 (mod 8) infdrieurs ~ 2000 il y e n a 32 pour lesquels le h o m b r e 2 est un reste biquadratique; on a g(2000) =303. L~ densit~ des nombres premiers p pour lesquels nous avons d6montr~ l'impossibilit4 de l'~quation (1) est ~gale ~ 7/8.
I1 reste encore ~ traiter le cas off l'exposant p dans (1) sera remplacg par un h o m b r e compos~ N. Dans le § 5 nous allons m o n t r e r que dans ce cas l'~quation
y2--1 = z N
est impossible en hombres naturels y e t z.
§ 2. Sur les ~ q u a t i o n s du t y p e y~ - - 1 = t z "
5. Apr~s nos recherches sur l'~quation y ~ - I = z ~ il est naturel que l'int~r~t se portera sur l'~quation plus g~n~rale
y~ - 1 = tz n, (23)
oh t et n sont des hombres naturels, t > 1 et n/> 5; y e t z sont des nombres naturels
T. NA.GELL, ./~quat/on$ diophantiennes h deux inddterminges
variables. I1 est dvident que cette ~quation pr~sentera des difficult~s beaucoup plus grandes que dans le c a s t ~ 1. On peut se demander s'il y a des possibilitds potu. obtenir des bornes bien basses pour le nombre des solutions. On voit ais~ment que le th~or~me de Siegel cit4 plus h a u t (voir [12]) pout servir ~ ee but. I1 y a surtout les deux supple- ments suivants dfis ~ Domar (voir [13]) qui peuvent faire bon service pour trouver de telles bornes :
1 ° L'~quation diphantienne
] A x " - B y " I = 1 ,
oh A, B et n sont des nombres naturels, n>~5, admet au plus deux solutions en nombres naturels x et y.
2 ° L'~quation diophantienne
Ix"-Mu"l =1,
oh M e t n sont des nombres naturels, n>~5, admet au plus une seule solution en nombres naturels x et y, saul peut-~tre pour M = 2 et si n = 5 ou = 6 pour M = 2"_+ 1.
E n effet, si y est pair (ee qui entralne que t et z sont impairs) on obtient de (23) un nombre fini de syst~mes
y+_l = t x u ' , y ~ l =t2v",
off tt, ta, u et v sont des nombres naturels tels que tlt 2 =t et uv =z. I1 en r6sulte _+2 -- ~1 u" -t$~)n.
D'apr~s le th~or~me de Siegel cette dquation admet au plus une seule solution en nombres naturels u et v, lorsque
t >/(3008n) 2.
Si y est impair on obtiendra de (23) un nombre fini de syst~mes y ± l = 2 t l u " , y ~ - l =2t2v n,
oh tl, t2, u et v sont des nombres naturels tels qu'on air ou 4tlt~ =t, uv =z, ou 2"-~t =t~t 2 et 2uv = z. I1 en r~sulte
± 1 = f l u ~-t~v".
D'apr~s le premier th~or~me de D o m a r cette ~quation admet au plus deux solutions.
On aura ainsi une borne sup~rieure du nombre des solutions de (23) qui d~pend du nombre des diviseurs de t, une borne qui n'est pas tr~s satisfaisante. Cependant, dans des cas particuliers on peut obtenir des bornes tr~s basses. Consid~rons p. ex.
l'~quation
y~ - 1 = 2qz", (24)
oh q est u n hombre premier impair. Ici z e s t n~cessairement pair. Une possibilit~ est donn~e p a r le syst~me
y +_l = 2qu ~, y-T l = 2~v ~, off 2uv =~.~ I1 en r~sulte l'~quation
ARKIV FOR M A T E H A T I K . Bd 8 nr 7 _+ 1 = qu ~ -2=-xv ~,
qui admet, d'apr~s Domar, au plus deux solutions. L ' a u t r e possibilitd est donnde par le systbme
y _ + l = 2 u =, y T - l = q 2 ~ v ~, off 2 u v = z . I1 en r4suRe la relation
-4-1 = u n - q 2 n - l v n,
qui admet, d'apr~s Domar, au plus une seule solution. Donc, l'dquation (24) a d m e t au plus trois solutions; cela se rdduira £ une seule solution si le nombre 2 n ' e s t pas le reste d'une puissance n-i~me modulo q.
P o u r q = 2 et q = 1 le raisonnement sera encore plus simple; lorsque q = 2 l'dquation (24) n ' a pas de solution; lorsque q = 1 il y a au plus une seule solution.
D ' u n e mani~re analogue on m o n t r e r a aussi que le hombre des solutions de chacune des dquations
y ~ - l = 4 q z '~ et y 2 _ i = 8 q z ~
est au plus 6gal £ trois.
I1 serait facile de gdndraliser ces rdsultats, mais nous nous bornons ~ ces exemples.
§ 3. Sur les ~quations du type y ~ - - q2 = zP
6. Consid4rons une autre gdndralisation de l'6quation y ~ - 1 = z v, donnde p a r
y2 _q2 = z ,, (25)
off p et q dgsignent des nombres premiers impairs, p ~>5; y e t z sont des nombres naturels variables.
Supposons d ' a b o r d que y ne soit pas divisible "par q. Si y est pair l'dquation (25) entraine le systbme
y + q = u ~', y - q = v v , o f f u v = z , et par suite
11 en rgsulte ou le systbme
2q = u p - v v.
U P - - V~
2 q = u - v , 1,
u P - W
ou le systbme 2 = u - v , - - = q . (26)
U - - V
L a seeonde gquation du premier systgme entraine dvidemment u v = O , done z=O.
Le systgme (26) donnera
2q = (v + 2 ) v - v v, (27)
oh le m e m b r e £ d~oite est une fonction de v qui croit d'une fa~on monotone pour
T.
NAGELL, .~quaf/olr/,s
diophantiennes ~t deux ind6termindesv > 0 . I1 en r~sulte que l'~quation (27) poss~de au plus u n e settle solution v; une condition n4cessaire p o u r l'existence d ' u n e solution est 4 v i d e m m e n t que q - 1 (rood p).
Soit m a i n t e n a n t y impair. Alors, on o b t i e n t de (25) le syst~me
off 2 u v = z. I1 s'ensuit
y+_q = 2u ~, y - ~ q = T,-h,~, +_ q = u I, _ 2~'-~z'.
Si nous supposons que le h o m b r e 2 no soit pas le reste d ' u n e puissance p-i~me m o d u l o q, cette 4quation n ' a p a s de solutions.
S u p p o s o n s ensuite que y soit divisible p a r q. Si y est pair nous a u r o n s le syst~me s u i v a n t
y + _ q = q u ~', y ~ - q = q ~ - h , ~, off quv = z. I1 s'ensuit que
2 = u ~ - q~-~v~.
Cette ~quation est impossible si le n o m b r e 2 n ' e s t pas le reste d ' u n e puissance p-i~me m o d u l o q.
S i y est impair o n o b t i e n t l ' u n ou l ' a u t r e des d e u x syst~mes y+_q = 2qu 2', y ~ q = (2q)~-h~;
y +_ q = 2z'-Xqu p, y-Y- q = 2q~-~v~, o~ z = 2quv. Le p r e m i e r syst~me d o n n e r a
+ 1 = u ~ - (2q)P-Zv p,
~quation qui a d m e t a u plus u n e seule solution d'apr~s I ) o m a r . I ) u s e c o n d syst~me on a u r a
_+ 1 = 2P-~u ~ - q~-~v ~,
dquation qui est impossible si le n o m b r e 2 n ' e s t pas le reste d ' u n e puissance p-i~me m o d u l o q.
Donc, clans ce numfiro nous a v o n s o b t e n u le rfisultat s u i v a n t : L ' d q u a t i o n (25) a d m e t au plus d e u x solutions, si le h o m b r e 2 n ' e s t pas le reste d ' u n e puissance p-i~me m o d u l o q.
§ 4. Sur les ~quations du t y p e x s - - 1 = t y n
7. D a n s u n travail ant~rieur, publi~ en 1921, j'ai d~montr~ que les ~quations x a T - 1 = y n ,
n ~ 2 , sont impossibles en n o m b r e s naturels x et y, saul p o u r n = 2 , x = 2 , y = 3 avec le signe infdrieur; voir blagell [13], p. 12-14.
Blous allons e x a m i n e r eertains cas de l ' 4 q u a t i o n plus g~ndrale
ARKIV FOR MATEMATIK. B d 8 n r 7
x 3 - 1 = t y ~, (28)
oh t e s t u n n o m b r e n a t u r e l > 1, qui n ' e s t divisible p a r a u e u n n o m b r e p r e m i e r - 1 (mod 6). L ' e x p o s a n t n sera suppos~ i m p a i r .
N o u s aUons d ~ t e r m i n e r t o u t e s les s o l u t i o n s de cette d q u a t i o n e n h o m b r e s e n t i e r s r a t i o n n e l s x e t y, avee y 4 0 , ~ 1'aide des thdor~mes s u i v a n t s :
Si n n ' e s t pas u n e p u i s s a n c e de 3, l ' d q u a t i o n d i o p h a n t i e n n e
x ~ + x + 1 = y~ (29)
est impossible e n n o m b r e s e n t i e r s r a t i o n n e l s x e t y, sauf p o u r y = 1 e t x = 0 ou = - 1.
L ' ~ q u a t i o n d i o p h a n t i e n n e
x ~ + x + 1 = 3y ~, (30)
off n > 2, est impossible e n n o m b r e s e n t i e r s r a t i o n n e l s x et y, sauf p o u r y = 1 e t x = 1 OU = - - 2 .
O n t r o u v e r a la d 4 m o n s t r a ~ i o n de ees thdor~mes d a n s Nagell [15], p. 1-12.
L j u n g g r e n a dtabli le r 4 s u l t a t s u i v a n t , s u p p l 4 m e n t a u p r e m i e r de ces thdor~mes : Soit n u n e p u i s s a n c e de 3. Alors l ' d q u a t i o n (29) a d m e t p o u r y > 1 s e u l e m e n t les s o l u t i o n s s u i v a n t e s : n = 3 , y = 7 e t x = 1 8 ou = - 1 9 .
P o u r la d ~ m o n s t r a t i o n voir L j u n g g r e n [16].
Si x - 1 n ' e s t p a s divisible p a r 3 on o b t i e n t de (28) le syst~me x ~ + x + l = u n, x - l = t v '~,
off u v = y . D ' a p r 6 s les thdorbmes que n o u s v e n o n s de citer, il rdsulte de ce s y s t b m e q u ' o n a les trois possibilitds s u i v a n t e s :
1 ° u = l , x = - l , t = 2 , v = - I e t y = - l ; 2 ° u = 7 , x = 1 8 , n = 3 , t = 1 7 , v = l et y = 7 ;
3 ° u = 7 , x = - 1 9 , n = 3 , t = 2 0 , v = - I et y = - 7 .
Le cas u = 1, x ~ 0 d o n n e r a p o u r t la v a l e u r 1 clue n o u s a v o n s exclue.
Si x - 1 est divisible p a r 3 o n a u r a le syst~me
x~ + x + l = 3 u '~, x - l = ½ tv'L
I1 f a u t doric que u = 1. O n a u r a p a r suite x = - 2, v = - 1, t = 9 e t y = - 1. I1 f a u t exclure le cas x = I q u i d o n n e r a v = 0 et y = 0.
Les s o l u t i o n s de (28) s o n t done d o n n 4 e s p a r les r e l a t i o n s
( - 1 ) a - 1 = 2 . ( - 1 ) ~,
1 8 3 - 1 = 17.73, ( - 1 9 ) a - 1 = 2 0 . ( - 7 ) a,
( - 2 ) a - 1 = 9 . ( - 1 ) L
T. N~kGELL,
~qIlag{on8
diophantiennes h deux inddtermir~es§ 5. Sin" l ' b l u a f i o n y ~ - - 1 = z N
8. I~ous allons f i n a l e m e n t a j o u t e r a u x r6sultats o b t e n u s dans le § 1 le th6or~me s u i v a n t :
Th~or~me 5. S i N est u n hombre naturel composg, l'gquation
y2 _ 1 = z "v (29)
n'admet aucune solution en hombres naturels y e t z.
Ddmonstration. Ce th6or~me est b a n a l lorsque N e s t pair. I1 est ~vident lorsque N est divisible p a r 3; en effet, Euler a m o n t r d que, p o u r N---3, l ' 6 q u a t i o n (29) n ' a d m e t pas d ' a u t r e s solutions en n o m b r e s naturels clue y = 3, x = 2; voir Euler [17], T h e o r e m a 10, p. 56.
Alors, on volt ais~ment qu'fl suffit de considgrer les d e u x cas suivants : 1 ° N = p ~ et 2 ° N =iDq, off p et q sont des n o m b r e s premiers diff~rents /> 5.
V u que N e s t impair, on p e u t en gdn~ral raisonner sur l%quation (29) de la m~me mani~re q u ' a u p a r a v a n t sur l'~quation (1) dans le num~ro 1. Ainsi il se m o n t r e que z est n~cessairement pair. Alors l ' d q u a t i o n (2) restera vraie si l ' o n y remplace p p a r N.
L ' ~ q u a t i o n (29) p e u t s'6crire
y 2 - 1 = z~,
o/1 z 1 = z N/v. On en d ~ l u i t , c o m m e au n u m d r o 1, que y est divisible p a r p; et dans le second cas on a u r a d ' u n e fagon analogue clue y est aussi divisible p a r q. D o n c z n ' e s t jamais divisible ni p a r p e t ni p a r q.
Premier cas : N = p~.
P a r la m~me m ~ t h o d e clue nous a v o n s employde plus h a u t au n u m d r o 1 dans le cas de N = p , nous m o n t r o n s que y dolt ~tre divisible p a r p. Donc, on o b t i e n t de (29), en p o s a n t z 1 =z p, le syst~me
z[ + l = pc~ ' z~+ l = z 1 + l = d p 2, Z l + 1
off c et d sont des n o m b r e s naturels, tels que y =peel. De la derni~re de ces 4quations on a u r a le syst~me
z V + l
=pc~, z + 1 = p ~ = p 2 d ~ = e 2 , z + l
cl, d 1 e t e d t a n t des n o m b r e s naturels. Alors, l'dquation (29) p e u t s'dcrire y2 _ (e ~ _ 1)[(e ~ _ 1)~]2 = 1,
off h = ½ ( p ~ - l ) . Done, on p e u t appliquer le m~me thgor~me de StSrmer que plus h a u t dans le n u m ~ r o 1. On en conclut que l'dquation (29) est impossible p o u r ~ =p2.
ARKIV FOR MiTEMATIKo B d 8 n r 7 Second cas : N = pq.
I1 est d v i d e n t que d a n s ce cas l ' d q u a t i o n (2) s e r a r e m p l a c d e p a r
a N - 2N-~b N = T- 1,
(30)
off a e t b s o n t des h o m b r e s n a t u r e l s t e l s que z =2ab. z n ' e s t d i v i s i b l e ni p a r p n i p a r q.
E n y p o s a n t a 1 = a q e t b 1 = b Y n o u s a u r o n s le s y s t ~ m e a ~ + 1
"- = c q, a i ~ 1 = 2N-~dq, a ~ ± 1
o h c e t d s o n t d e s h o m b r e s n a t u r e l s , t e l s que cd = b i. Iqous a u r o n s d o n c u n e s o l u t i o n u = a et v = d d e l ' $ q u a t i o n
Uq--2N--2V q = ~- 1. (31)
D ' a p r b s le s e c o n d t h d o r ~ m e d e D o m a r , citd d a n s le n u m d r o 5, l ' d q u a t i o n (31) a d m e t a u p l u s u n e seule s o l u t i o n e n h o m b r e s n a t u r e l s u e t v. Or, l ' d q u a t i o n (30) f o u r n i t ddj~ l a s o l u t i o n u = a ~ e t v = b ~ de l ' d q u a t i o n (31). E n v e r t u d e c e t t e c o n t r a d i c t i o n n o u s c o n e l u o n s que l ' d q u a t i o n (30) e s t i m p o s s i b l e . D o n c l ' d q u a t i o n (29) l ' e s t aussi.
L e T h d o r ~ m e 5 se t r o u v e a i n s i d d m o n t r d .
E n r d s u m a n t t o u s Ies r d s u l t a t s o b t e n u s sur l ' d q u a t i o n
y~ - 1 = z n, (32)
n o u s p o u v o n s d n o n c e r le
Th$or~me 6. Soit n u n nombre naturel > 3, et supposons que l'dquation (32) air la solution en hombres naturels y =Yi, z = z i . Alors, n e s t ndcessairement u n nombre pre- mier - 1 (mod 8) tel que le nombre 2 soit u n reste biquadratique modulo n. De plus, la solution z i eat divisible p a r 8 et doit satis/aire ~ l'inggalitg (11). Outre Yi, zi il n' y a p a s d' autres solutions.
U n e c o n s e q u e n c e i m m d d i a t e de ce r d s u l t a t est la g 4 n d r a l i s a t i o n s u i v a n t e d u Th~or~me 2 d a n s le n u m ~ r o 1 :
Th~or~me 7. Soit n u n nombre naturel > 3, et supposons que l'6quation a n - 2 n - 2 b n = ~ 1
ait let solution en nombres naturels a =al, b =b i. Alors, n e s t ndcessairement u n nombre premier = 1 (rood 8) tel que le nombre 2 soit u n reste biquadratique modulo n. De plus, la solution b i est divisible p a r 4. Outre al, b i i l n ' y a pas d' autres solutions.
L'I~stitut de mathdmatique8 de l'Universitd Uppsala.
I N D E X B I B L I O G R A P H I Q U E
1. NAGELL, T., Sur l'impossibilit~ de l'6quation ind6termin~e z ~ ÷ 1 =y2, Norsk Matematisk Forenings Skri#er, Set. 1, Nr. 4, Kristiania 1921.
2. ]NAOET.L, T., Sur une 6quation diophantienne ~ deux ind6t~ermin~es, Det kgl. Norske V~den- skabers Selskab, Forhandl. Bd. VII, Nr. 38, T r o n d h j e m 1935.
T .
NAGELL, ~tult/on$ diophantiennes ~ deux indgterminges
3. NAGEIm, T., Sur l'dquation ind6terminde (x n - 1 ) / ( z - 1 ) = y S , Norsk Matematisk Forenings Skr/#er, Ser. 1, Nr. 3, Kristiania 1921.
4. ST6RM~R, C., Solution d ' u n problAme eurieux qu'on rencontre dans la thdorie dldmentaire des logarithmes, N y t Tidsskri# ]or Matematik, Bd. X I X B , K S b e n h a v n 1908.
5. DED~.Knc~-DI~cwr.~.T, Zahlentheorio, 4 dd., Braunschweig 1894.
6. NAOELL, T., Introduction to number theory, New York 1951.
7. SOMbeR, J., Vorlesun~jen ~tber Zah~ntheorie, Leipzig 1907.
8. HASSE, H., Vorlesungen fiber Zahlentheorie, G~'undlehren d. mathem. Wissen~cha]tcn, Bd. 59, Berlin 1950.
9. ]B[ASSE, H., Bericht fiber neuere Untersuehungen u n d Probleme aus der Theorie der alge- braischen Zahlk6rper, Tell II: ReziprozifAtsgesetze, Jahresber. el. Deutschen Mathem.
Vereini~ung, Bd. 36, Berlin 1930.
10. L~.H~R, E., Criteria for cubic a n d quartic residuacity, Mathemstika, Vol. 5, L o n d o n 1958.
11. OBL£T~, R., ~ b e r die ZalM x 2 - 1, Mathematica, Zutphen, Bd. 8, 1939-1940.
12. Sr~G~.T., C. L., Die Gleichung ax n - b y n •c, Mathem. Annalen, Bd. 114, 1937.
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14. AF EKEI~STAM, A., Cantribution~ to the theory o] the Diophantinc equation A x n - B y n= C, Dis- sertation, Uppsala 1959.
15. NAGELL, T., Des ~quations ind~termin~es x 2 + x + 1 =yn et x 2 + x + 1 ffi 3y ~, Norsk MatematiMc Forenings Sk'ri#er, Ser. 1, Nr. 2, Kristiania 1921.
16. LJU~GGI~.I~, W., Einige Bemerkungen fiber die DarsteUung ganzer Zahlen d u t c h bin~re kubisehe F o r m e n m i t positiver I)iskriminante, Acta mathematica, t. 75, Stockholm I942.
17. EuL~.tt, L., Opera omnia, Commentationes Arithmatica I, Basel 1912.
18. LEOE~rvP~, A. M., Thdorie des hombres, Paris 1798.
Addition pendant lea dpreuves
L. J. Mordell vient de me communiquer que le mathematicien chinois Chao K o a ~tabli l'im- possibilit6 de l'6:luation (1) pour p = 1 (rood 8); le I ~ m l t a t a 6t6 publi6 dans Seientia Sinica 14 (1965), 457-460.
T r y c k t den 20 maj 1969
Uppsala 1969, Almqvist & Wiksel]s Boktryckeri AB
