CPBX MPC Alg`ebre II 2020-2021
TD2 - Rappel d’alg` ebre lin´ eaire bis, d´ eterminant en dimensions 2 et 3
Exercice 1. Soit ϕ:Rn[X]→R d´efini par ϕ(P) =
Z 1 0
P(x)dx.
1. Montrer que ϕest une application lin´eaire.
2. Donner la matrice de ϕ lorsque l’espace de d´epart Rn[X] est muni de la base (1, X, . . . , Xn) et l’espace d’arriv´eeR muni de la base (1).
3. Faire de mˆeme lorsque l’espace de d´epartRn[X] est muni de la base (Xn, Xn−1, . . . ,1) et l’espace d’arriv´eeR muni de la base (3).
4. Donner la dimension de kerϕ.
Exercice 2. Soit n ∈N∗ et soit l’application π de Rn dans R d´efinie par π(x1, . . . , xn) =
n
Y
i=1
xi.
Montrer que π est une forme n-lin´eaire. Est-elle altern´ee?
Exercice 3. Soient les deux vecteurs de R2 suivants : v1 =
1 2
et v2 = −3
1
1. Calculer le d´eterminant des vecteurs v1 et v2 dans la base canonique (e1, e2) de R2. En d´eduire qu’ils forment une base de R2.
2. Calculer le d´eterminant de (e1, e2) dans la base (v1, v2).
3. Donner la matrice de changement de base depuis (e1, e2) vers (v1, v2).
4. Soit u l’endomorphisme de R2 d´efini par u:
x y
7→
x+y 3x−y
Donner la matrice deu dans la base (e1, e2) puis dans la base (v1, v2).
5. Calculer le d´eterminant de u et en d´eduire que u est inversible.
1
Exercice 4. Soit E un K-ev de dimension finie, ψ et ϕ deux formes lin´eaires telles que kerψ = kerϕ. Montrer que ces deux formes sont proportionnelles.
Exercice 5. Pour tout nombre complexe a ∈ C, on consid`ere l’application f : z 7→ az deC dans C. On identifie C`a R2 grˆace l’applicationz 7→(Re(z),Im(z)). Montrer que f s’identifie alors avec une application lin´eaire de R2 que l’on explicitera. Donner la trace et le d´eterminant de cette application.
Exercice 6. On consid`ere la matrice suivante :
A=
1 1 1 1 2 a 0 0 b
Calculer le d´eterminant deA. En d´eduire une condition n´ecessaire et suffisante sur (a, b) pour que A soit inversible.
Exercice 7. Etant donn´´ e un param`etre a∈R, on consid`ere les trois vecteurs f1 = (1,1,1) f2 = (1,0,0) f3 = (2, a, a2)
a) Trouver une condition n´ecessaire et suffisante pour que les trois vecteurs f1, f2 et f3 forment une famille libre de R3 ?
b) Trouver une condition n´ecessaire et suffisante pour que les trois vecteurs f1, f2 et f3 forment une famille g´en´eratrice de R3 ?
c) Trouver une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’il existe au moins deux vecteurs colin´eaires parmi f1,f2 et f3?
Exercice 8. On fixe des triplets (c0, c1, c2) ∈ R3 et (λ1, λ2, λ3) ∈ R3 On consid`ere les trois matrices suivantes :
C=
0 1 0
0 0 1
−c0 −c1 −c2
, ∆ =
λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3
, V :=
1 λ1 λ21 1 λ2 λ22 1 λ3 λ23
On suppose que le polynˆome P = X3 + c2X2 +c1X +c0 se factorise sous la forme P = (X−λ1)(X−λ2)(X−λ3).
1) Montrer la formule CtV =tV∆.
2) Calculer det(V) et en d´eduire que det(V) ne s’annule que siλ1 =λ2 ouλ1 =λ3 ou λ2 =λ3
3) Sans utiliser la r`egle de Sarrus, en d´eduire la valeur de det(C) dans le cas o`u les trois nombres λ1, λ2 etλ3 sont distincts deux `a deux. Obtenir une formule de det(C) en fonction de (c0, c1, c2).
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