Lois du frottement lisse et du frottement rugueux en régime turbulent. Coefficient intrinsèque de frottement rugueux

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Lois du frottement lisse et du frottement rugueux en

régime turbulent. Coefficient intrinsèque de frottement

rugueux

Ch. Sadron

To cite this version:

I. LOIS DU FROTTEMENT LISSE ET DU FROTTEMENT RUGUEUX EN

RÉGIME

TURBULENT. COEFFICIENT

_INTRINSÈQUE

DE FROTTEMENT RUGUEUX

Par CH. SADRON.

Chargé

de recherches au Laboratoire de

Mécanique

des fluides de l’Université de

_Strasbourg.

Sommaire. - Dans ce _premier article on examine les lois du frottement lisse du point de vue de la théorie de Karman. On simplifie légèrement la manière de les établir à partir de la loi de distribution des vitesses et l’on arrive à formuler d’une _{façon plus aprochée} les lois numériques dans le cas des conduites de sections circulaire ou _{rectangulaire. Inversement,} connaissant la loi expérimentale du frottement sur une _{plaque lisse,} on établit la loi _numérique donnant la distribution des vitesses dans une section droite de la couche limite.

1. On sait

_qu’un

solide en translation uniforme dans un fluide réel subit de la

_part

de celui-ci des

actions

_{dynamiques qui}

se réduisent à une

_simple

ré-sistance à l’avancement dans le cas où le solide

pré-sente un axe de

_{symétrie parallèle}

à la direction de la translation.

Cette résistance est due à deux causes :

La

_première

est corrélative de l’existence d’un

sil-lage.

Sa

_{grandeur dépend}

essentiellement de l’allure de celui-ci

et,

par

conséquent,

de la forme du corps. La deuxième tient à la viscosité du fluide et aux

forces de frottement

_qu’il

exerce sur le solide.

Il est extrêmement

délicat,

dans le cas

_général,

de faire le

_départ

entre cette résistance de forme et cette résistance de frottement dont

_{l’expérience}

ne fournit que la somme. Aussi est-il

_logique

de

_s’attaquer

tout d’abord aux cas les

_plus

_simples,

c’est-à-dire aux cas dans

_lesquels

_{n’intervient que l’un des deux} termes que nous venons de définir. C’est

_pourquoi

l’étude de l’écoulement dans les conduites

_rectilignes

ou le

long

des

_plaques

indéfinies où seules les forces de frottement entrent en

_{jeu, présente}

un intérêt

d’ordre

_général.

Elle

_présente

_également

un intérêt

_plus

immédiat

puisqu’elle

a trait à un

_chapitre

très étendu de

l’hy-draulique

s’il

_s’agit

de

conduites,

et à

_{d’importants}

problèmes

relatifs aux ailes d’avion et aux carènes de navires s’il

_s’agit

de

_plaques.

Aussi cette étude a-t elle suscité

_depuis

_longtemps

de nombreux travaux tant

_théoriques

qu’expérimen-taux, mais ce _{n’est que récemment.}

_grâce

aux travaux de

_Reynolds,

de

_Boussinesq

de Prandtl et surtout de Karman que l’on a établi une théorie assez _{sûre pour}

classer et

_prévoir

les

_phénomènes

réels et _{pour servir} de basse à de nouvelles

_{investigations.}

Celles-ci s’exercent

surtout,

à l’heure

actuelle,

sur

le frottement des

_parois

_rugueuses et dont on est encore loin de saisir le mécanisme. Les travaux

expé-rimentaux fournissent d’ailleurs des résultats d’une

assez

_{grande complexité}

car on s’est

_préoccupé

beau-coup

plus

de

l’aspect technique

du

problème (étude

de surfaces mal

définies,

mais

_pratiquement

t utilisées

comme celles de la fonte

_brute,

de la fonte

_polie,

de

l’acier

_brut,

de l’acier

_peint,

du

bois,

etc...)

que de son

aspect

vraiment

_{scientifique.}

Depuis

ces dernières années toute une école alle-mande s’est lancée dans une voie

_déjà

ouverte par Bazin en étudiant

les

lois du frottement sur des

parois primitivement

lisses et _que l’on avait rendues rugueuses en les

_parsemant

régulièrement d’aspérités

de dimensions connues, constantes et de forme dé-finie. Les résultats obtenus

_jusqu’ici

ne

_paraissent

_pas

encore

_parfaitement

_sûrs,

_{et il semble bien que l’on}

aurait pu étudier d’une

façon

plus systématique

l’in-fluence des divers

_paramètres

entrant en

_jeu.

Néan-moins ils constituent un ensemble

_important

et dont

on

_peut

tirer d’utiles conclusions.

Ce sera

_justement

le but de ce travail de montrer

comment,

à l’aide de ce _{que 1} on sait

_déjà

sur les écou-lements turbulents et

_grâce

à un

_petit

nombre

d’hypo-thèses,

on

_peut

faire entrer le mécanisme du frotte-ment sur les

_parois

_{rugueuses dans} un schéma

_simple

et

_{qui peut conduire, semble-t-il,}

à la détermination à

_priori

des coefficients de frottement _{rugueux par} examen

_{micrométrique}

des

_parois.

I. Lois du frottement

turbulent

pour les conduites et les

_claques

lisses.

2. Avant de passer à ce

_qui

fait

_{l’objet principal}

de

ce travail nous allons

_{préciser quelque}

peu les lois du frottement pour les

parois

lisses. Cela nous

_permettra

d’élablir un certain nombre de relations

_qui

nous seront utiles par la suite ainsi

qu’une

certaine conti-nuité entre la théorie du frottement lisse et celle du frottement rugueux.

3. Distribution des vitesses dans une

con-duite lisse

_{(Régime turbulent).}

-

a)

Nous

dési-gnons également

sous le nom de conduite l’ensemble constitué par deux

plaques parallèles

indéfinies.

118

fi

_représente

la demi-distance entre les

_plaques

ou le rayon de la section circulaire.

u

_représente

la vitesse moyenne en un

_point

dont

la distance à l’axe est _y et la distance à la

_paroi

y, # /2 - y

(fi-. 1).

°

uo est la, vitesse de maxima.

U est la _{vitesse moyenne de débit.}

’:0 est la force de frottement par unité de

surface,

et

le coefficient de frottement est _{défini par la relation :}

où p

représente

la masse

_spécifique

du fluide en

expérience.

Nous utiliserons

_également

le coefficient A = 4

_C~.

et le coefficient W _{défini par :}

.

R est le nombre de

_Reynolds

de l’écoulement relatif au _rayon de la conduite :

...

-On _{posera :}

bj

On

_distingue,

dans 1"écoulement turbulent ùans

une

_conduite,

_{deux domaines distincts pour la}

distri-bution des vitesses.

Fi,g. 1.

Le

_premier

_{est constitué par} une couche mince

,d’épaisse-tir ,

recouvant la

_paroi

et oû l’écoulement

est laminaire. On

_l’appelle

la couche laminaire

secon-daire. La

_grandeur

de

_~,

n’est pas, en

_général,

supé-rieure au _{centième de celle du rayon de la conduite.}

La loi de distribution des vitesses dans ce domaine est alors :

Le deuxième occupe tout le reste de la conduite et la loi de distribution des vitesses y est absolument

indépendante

de la nature de la

_{paroi :}

elle est la même que cette dernière soit lisse ou _{rugueuse. Des}

considérations de dimensions conduisent Karman à écrire que :

-- .

.,, ,.,.

où 5 est une fonction universelle. La théorie bien

connue de cet auteur

_permet

de

préciser

la loi

précé-dente et fournit :

~ Fig. 2.

Pour de

_petites

valeurs de _yi c’est-à-dire au

_voisinage

-de la

_paroi,

la loi

_approchée

est suffisante. Dans ces deux

_{expressions k représente}

une constante sans _{dimension que}

_{l’expérience}

montre être

_égale

à 0,40.

La distribution des vitesses au

_voisinage

de la

_paroi

est,

d’après

ces

_{considérations,}

_{représentée}

_{par la}

figure 2.

Il ne faut pas oublier

_{qu’il s’agit}

ici d’un

_simple

schéma et il est _{bien clair que l’on} ne _{passe pas} en

réalité d’une

_façon

discontinue du domaine turbulent

au domaine laminaire. fl ne doit _{pas y avoir de}

_point

anguleux

tel que A dans la courbe

expérimentale.

C’est ce _que nous montrerons dans un instant.

_Malgré

cela nous serons

_obligés,

afin de

_pouvoir

utiliser

l’ana-lyse

mathématique,

de nous borner au schéma

pré-cédent.

c)

Pour établir la loi du frottement à

_partir

de la loi

de distribution des vitesses nous

_exprimerons

les

con-ditions aux limites sous une forme un _peu

_plus

_simple

que celle

qu’utilisa

Iiarman.

Considérons _{pour cela}

_{l’épaisseur a,}

de la couche

laminaire secondaire. Nous supposerons que pour

une valeur déterminée du frottement elle ne

_dépend

que des conditions à la

paroi,

c’est-à-dire,

_puisqoe

celle-ci est

_lisse,

des

_{propriétés physiques}

du fluide, En

_particulier

nous _{la supposerons}

_{indépendante}

des dimensions de la conduite. Nous aurons dans ces

conditions :

f (-r.,

p,

p.)

où a est un coefficient

_numérique.

D’autre

_part

l’on a,

_{d’après (3)}

et en

_désignant

_{par ul la}

vitesse en t~ :

En éliminant

_{alors 8i}

entre

₍₇₎

et

₍₈₎

on obtient :

soit encore :

Le frottement à la

_paroi

obéit donc à la loi

_quadratique

à condition de choisir comme vitesse celle .à la

fron-tière commune des domaines laminaire et turbulent. On a dès

_{lors, d’après}

_{(6) :}

d’où : o

Cette

_expression

donne enfin

_d’après

₍₇₎

et

_{(8) :}

Fig. 3. -

(D’après Karman.)

’C’estJféquatîon

fondamentale de la théorie de Karman et

_qui

a été vérifiée

expérimentalement

_par Nikuradse,

dont la

_{figure 3 représente}

les résultats de mesure. On

a

_porté

en abscisscs les valeurs de

et en ordonnées celles de

On voit que les

points expérimentaux

se détachent de la courbe

_théorique

_quand

_y1

devient inférieur à 100 et semblent venir se

_placer

sur la courbe de distribution des vitesses en

_régime

_laminaire,

en des-sinant une

_région

de transition à

_laquelle

nous avons

fait allusion

_plus

haut.

Nikuradse

_représente

ses résultats par

_{l’équation :}

u* ~

5,50 +

5,75

logle

y~

à

_laquelle

_{correspond k}

=

0,40

et ce

_{== t 1 ,5.}

4. Lois du frottement dans une conduite

l’expé--120

rience

_puisque

nous avons les valeurs

_{numériques des}

coefficients x et k. Nous pouvons alors établir les lois du frottement. En

_effet,

nous avons,

d’après (4) :

Or,

_{l’équation}

₍₇₎

donne :

soit : -.

D’où la loi du frottement :

5. Cas de deux

_plaques

_parallèles

indéfinies.

-L’inconvénient de la loi

_précédente

cst

_{flagrant :}

elle est relative aux variables T et

l~o

qui

se déterminent à

partir

de uo. Or

l’expérience

ne _{donne pas facilement}

cette vitesse. Les mesures sont alors faites en déter-minant

_C~

à

_partir

de h. C’est en

_particulier

le cas des

travaux de Fromm sur

_lesquels

nous désirons nous

appuyer. Il est donc nécessaire de déterminer la rela-tion

_qui

existe entre u et U. Ceci est facile. On a en

effet dans le cas

_qui

nous _{occupe :} -.

soit,

en

_négligeant

le débit de la couche laminaire secondaire

_{(1) :}

-.

Tirons u de

_{l’équation}

₍₅₎

et

_portons

dans

_{l’expression}

précédente,

on

_obtient,

tous calculs faits :

D’autre

_part,

_{toujours d’après l’équation}

_{(5) :}

Eliminons uo entre ces deux

_équations.

On

_obtient,

en

Cf

négligeant

n les termes

d’ordre

_{supérieur - :}

A

(1) C’est cette hypothèse qui nous conduit à perfectionner les lois du frottement _{que Karman} obtient par sa théorie en utili-lisant un _{raisonnement peu rigoureux} de Prandtl _(Cf. Sadron Turbulence et frottement turbulent. Théorie de Karman.)

Remplaçons

a et Ic _{par leurs valeurs}

numériques

et

passons aux

_{logarithmes vulgaires,}

nous obtenons :

Fig.4.

La courbe en

_plein

de la

_figure

4

_correspond

à

l’équa-tion

_{précédente,}

et les

points

aux mesures effectuées par Fromm dans une conduite dont la section droite est un

_{rectangle d’allongement}

voisin de 13. L’accord

est très

bon,

sauf _{pour les}

_petites

valeurs de R

Cf

2

auxquelles correspondent

des valeurs mesurées

légère-ment

_trop

faibles

_(différence

de l’ordre de 3 _pour

_100).

6. Cas d’une conduite de section circulaire.

-Dans ce cas

121

Fig. 5. - (D’après Nikuradse.)

négligeant

encore les termes d’ordre

supérieur

à

d’où l’on tire : -.

Remplaçons a

et K par leurs

valeurs,

le coefficient

_{C f}

par -

et R _par

2013Re.

On obtient la loi

_numérique

du

4 2

frottement :

Nous

_reproduisons

ci-contre

_(fig.

₅₎

une

_figure

du

mémoire de Nikuradse résumant les

_principaux

ré-sultats de mesures en conduite circulaire. Cet auteur propose la formule :

Sur la

_figure

G le trait

_{plein correspond à l’équation}

(l~)

et le trait

_pointillé

à

_{l’équation ~16).}

_{On voit que,} pour une valeur donnée de l’abscisse ces deux courbes

fournissent des ordonnées dont la différence est

_trop

faible _{pour être décélable par}

_{l’expérience,}

au moins

dans le domaine des nombres de

_Reynolds

utilisés.

Fig. 6.

7. Loi du frottement sur une

_plaque

lisse.

-Nous

_{désignerons par ô l’épaisseur}

de la couche limite à la distance x du bord

_d’attaque

de la

_plaque

_{et par} uo la vitesse du fluide en dehors de la couche limite.

Nous avons _{montré que la} théorie de Karman

fournit,

pour la distribution des vitesses dans une

section droite de la couche

limite,

la loi

où la

_{fonction j}

s’annule _{pour y,} - a. Si nous

122

de

y1

et si nous admettons que pour les

_petites

valeurs

c

de Yl nous _pouvons

_négliger

sans commettre d’erreur

. grossière

les termes

en de%.ant

_log

y1

on obtient :

’

à n a

Il y a

_donc,

dans le cas d’une

_plaque,

un

_paramètre

supplémentaire

A. _{Nous pouvons le déterminer à}

partir

des mesures sur le coefficient local de frotte-ment. On a en

_effet,

_{pour y 1 == Ol}

soit,

en divisant les deux membres

_par

i et en

remplaçant

coefficient local de

frottement) :

Si nous _{supposons que a} a encore la valeur

11,5

il vient :

¿.Bdmettons avec

Von Karman

_{que l’on}

_peut

en

pre-mière

_{approximation}

_poser

l’équation précédente

devient :

Or _{les résultats obtenus par}

_Kempf

ont _{montré que} la

formule

représentait

convenablement les faits. Il s’en suit que d’où

et que la

loi

de

distribution des vitesses dans la

couche limite

_peut

être

_{représentée,}

_{pour les}

_petites

valeurs _{par la formule :}

6

Dans un

_prochain

_article,

nous _{passerons à} l’étude

du frottement _rugueux.

Manuscrit reçu le 20 janvier 1935.

INDICATIONS BIBLIOGRAPHIQUES Ecoulements turbulents et frottement lisse.

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à paraître prochainement dans les _{publications scientifiques} et

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NIKURADSE. V D. I

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