HAL Id: jpa-00236358
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Submitted on 1 Jan 1960
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Influence de la variation du coefficient de conductivité thermique avec la température sur la propagation de la
chaleur en régime périodique
L. Sicard, L. Eyraud, J. Elston, Ch. Eyraud
To cite this version:
L. Sicard, L. Eyraud, J. Elston, Ch. Eyraud. Influence de la variation du coefficient de conductivité thermique avec la température sur la propagation de la chaleur en régime périodique. J. Phys. Radium, 1960, 21 (10), pp.696-698. �10.1051/jphysrad:019600021010069600�. �jpa-00236358�
696.
INFLUENCE DE LA VARIATION DU COEFFICIENT DE CONDUCTIVITÉ THERMIQUE
AVEC LA TEMPÉRATURE SUR LA PROPAGATION DE LA CHALEUR EN RÉGIME PÉRIODIQUE
Par L. SICARD, L. EYRAUD, J. ELSTON et CH. EYRAUD,
C. E. A., Faculté des Sciences et Institut National des Sciences Appliquées de Lyon.
Résumé. 2014 La solution de l’équation de Fourier n’est pas connue dans le cas où le coefficient de conductibilité thermique des matériaux est fonction de la température. Une solution approchée permet d’apprécier l’erreur commise sur la détermination expérimentale du coefficient de diffu- sivité thermique par la méthode d’Angström.
Abstract. 2014 The solution of the Fourier equation is not known in the case where the thermal
conductivity coefficient of the materials is a function of the temperature. An approximate
solution permits us to calculate the error incurred in the experimental determination of the thermal diffusivity coefficient by the method of Angstrôm.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM TOME 21, OCTOBRE 1960, i
La détermination expérimentale du coefficient de diffusivité thermique des solides par la méthode
dynamique d’Angstrôm a fait l’objet de différents travaux [1], [2], [3], [4]...
Cette méthode consiste à entretenir une pertur-
bation thermique périodique sur la face plane d’un
échantillon et à suivre les réponses de thermo-
couples convenablement placés à différentes dis- tances de la surface d’attaque. Nous avons indiqué
les conditions expérimentales dans lesquelles il
convient d’effectuer les mesures sur des matériaux de dimensions finies. Elles résultent d’un com-
promis entre la fréquence ; l’influence des bords at la distance des couples.
Nos calculs avaient été établis en supposant négligeable le taux de variation dK/do du coef-
ficient de conductivité thermique, en raison du
faible gradient de température utilisé pour la
mesure. .
Cette hypothèse nous conduisait à admettre que la variation des constantes thermiques avec la température était sans effet appréciable sur le régime périodique entretenu dans le matériau.
L’objet de cette note est de montrer l’influence du taux de variation du coefficient de conductivité
thermique avec la température sur la propagation
de la chaleur en régime variable. Nous constaterons que les résultats des mesures, dans les conditions
expérimentales indiquées, ne sont pratiquement
pas affectés par cette correction.
Dans le cas d’un solide semi-infini, homogène et isotrope limité par une face plane soumise à une perturbation thermique uniforme sinusoïdale de la forme 0 = 60 + 01 cos mt l’équation générale de
Fourier
s’écrit
où K est le coefficient de conductivité thermiquc
du matériau, fonction de la tempéra-
ture seulement,
p la masse spécifique,
C la chaleur
spéci que
de l’unité de volume,0 la température au point M,
t le temps.
Considérons une fonction intermédiaire f (x, t),
0 étant une fonction de f seulement. L’équation (1)
devient
Déterminons la fonction o( f ) par la condition obtenue en annulant le coefficient de (3fJ3x)2 soit
La fonction f est alors solution de l’équation de
Fourier simpli fiée
1re solution approchée. - Les coefficients K jPC
et (1/pC) (dK/d0) variant peu, nous les suppo-
serons constants.
En posant
x do 1 _
PC do _
b d’où K/pc =1 lab-K=do/dk=1/a dx
d’où K JpC = 1 JmbLa solution s’écrit
où P et Q sont des constantes arbitraires qu’on peut prendre égales à zéro. Alors
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019600021010069600
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Les conditions aux limites étant
On peut développer ei(ia01coswt) par les formules de Schomilch
où
fonction de Bessel modifiée.
La relation (8) est un développement de Fourier
de la fonction f (x, t) pour la valeur x = 0. Comme la fonction f satisfait à l’équation simplifiée de
Fourier (4), on peut écrire, en posant
Le terme Ax provenant d’un gradient de tempé-
rature constant superposé (problème du mur en régime permanent)
et
Comme 61 « 1 /a, on peut remplacer le loga-
rithme par les premiers termes de son dévelop- pement en série :
1 2e solution approchée. - L’équation (2)
s’écrit
différentielle totale de K(d0 /df) = llB ou B est
une constante, d’où
Soit 60 la température moyenne autour de
laquelle est effectuée chaque mesure, Ko la valeur
du coefficient de conductibilité thermique du maté-
riau à cette température. Si 01 est l’amplitude de l’attaque thermique sinusoïdale (0, petit), on peut
admettre que K suit une loi de la forme
,( 11 ) s’écrit
f étant une fonction arbitraire on peut choisir la
constante â’intégration B telle que BKo = 1.
En intégrant (11) on trouve alors
on prendra la constante égale à zéro..
On trouve facilement o(f) en résolvant l’équation
du second degré
dont le discriminant est A = 1- 2af, et comme oc
est petit
D’où les deux solutions
Comme oc est petit, l’équation (13) nous montre
que u et f sont du même ordre de grandeur ; ’il en
résulte que seule la solution u2(f) convient
d’où
Les conditions aux limites étant
on a d’après (13)
f (x, t) satisfaisant à l’équation de Fourier sim- plifiée (4) dans laquelle nous supposerons K et pC
constants pour de petites amplitudes 01, on peut
écrire
diffusivité thermique du matériau à la température
moyenne 60.
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Le terme Qx provenant du gradient de tempé-
rature continu superposé.
D’après (15) et en se limitant aux termes du
second ordre :
On retrouve bien la même formule qu’avec la première solution approchée précédente avec A = -- Qa .
La solution (16) fait apparaître un régime per- manent superposé à un régime variable composé
d’un terme fondamental
et d’harmoniques. L’harmonique 2 comprend deux composantes
et
Ces deux composantes ont pour modules res-
pectifs
et pour phase
En prenant le premier vecteur comme axe fixe de référence, le deuxième vecteur ayant même origine
est déphasé par rapport au premier de -
son extrémité décrit une spirale logarithmique d’équation
Le vecteur différence W a pour amplitude maxi-
mum le maximum d’amplitude de Vi soit
L’amplitude maximum de l’harmonique 2 est
donc aO2/1/4 soit une amplitude relative par rapport
au fondamental de oc1/4.
Interprétation des résultats. Application aux
mesures de la diflusivité thermique de l’oxyde de beryllium. - La détermination expérimentale du
coefficient de diffusivité thermique des solides con-
siste à mesurer l’amplitude de la composante sinu-
soïdale 01 e-ux cos ( wt - ux) en deux points d’abs-
cisses respectives x, et x2 dans l’échantillon. ,
La formule (16) nous montre que les mesures
peuvent être affectées par deux termes correctifs dus à la variation du coefficient de conductibilité
thermique K avec la température.
1) A basse température, l’oxyde de beryl-
lium BeO est relativement bon conducteur.
Le gradient de température permanent Q # - 2o/cm est faible et IaQl « 1.
à
Si o1= 1 OC l’amplitude relative de l’harmo-
nique 2 est environ
L’harmonique 2 a donc une influence négligeable
sur la mesure.
2) A haute température, BeO devient moins
conducteur et le gradient permanent devient plus important Q # - 25°/cm à 1 000 OC, oc =1 /1000
donc l’amplitude de l’harmonique 2 est négligeable.
Par contre, le rapport des amplitudes du fonda-
mental aux deux points d’abscisses x, et x2 devient
Dans ces conditions la diffusivité thermique est
entachée d’une erreur par défaut de
Manuscrit reçu le 4 juin 1960.
BIBLIOGRAPHIE
[1] ANGSTRÖM (A. I.), Ann. Phys. Chem., 1861, 114, 513.
[2] VERNOTTE (P.), Bull. Un. Phys., janvier 1935, 209.
[3] SICARD (L.), Thèse, Lyon, 1959.
[4] SICARD (L.), EYRAUD (L.), MALECOT (G.) et EYRAUD (Ch.), C. R. Acad. Sc., 1959, 248, 2970-2972.
