1 Rayonnement du corps noir . . . . 21

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Pour tout commentaire concernant cette ´edition

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A Amena , Mohamed et Dhouha

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Avant-propos 10

1 Origines de la physique quantique 19

1 Rayonnement du corps noir . . . . 21

2 Effet photo ´electrique . . . . 30

3 Spectres atomiques . . . . 37

4 Limite de validit ´e de la physique classique . . . . 50

5 Syst `emes d’unit ´es de la physique quantique . . . . 54

Exercices et Probl `emes . . . . 60

2 Dualit ´e onde-corpuscule 77

1 Cas de la lumi `ere . . . . 80

2 Cas de la mati `ere . . . . 96

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5

3 Le paquet d’ondes . . . . 109

4 Vitesse de phase et vitesse de groupe . . . . 117

5 Relations d’incertitude de Heisenberg . . . . 124

Exercices et Probl `emes . . . . 131

3 Particule dans un potentiel stationnaire 151

1 R ´esolution de l’ ´equation de Schr ¨odinger . . . . 153

2 Analogie optique . . . . 160

3 Marche de potentiel . . . . 162

4 Barri `ere de potentiel . . . . 169

5 Puits de potentiel . . . . 179

Exercices et Probl `emes . . . . 196

4 Bases math ´ematiques de la m ´ecanique quantique 225

1 Espace ξ des fonctions d’onde d’une particule . . . . 227

2 Notion de repr ´esentation - Notations de Dirac . . . . 240

3 Op ´erateurs lin ´eaires . . . . 243

4 Op ´erateurs adjoints . . . . 254

5 Op ´erateurs hermitiques . . . . 257

6 Vecteurs propres et valeurs propres d’un op ´erateur . . . . 259

7 Observables . . . . 265

8 Op ´erateurs unitaires . . . . 274

9 Produit tensoriel d’espaces d’ ´etats . . . . 280

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6

Exercices et Probl `emes . . . . 287

5 Postulats de la m ´ecanique quantique 313

1 Enonc ´e des postulats ´ . . . . 316

2 Valeurs moyennes et compatibilit ´e des observables . . . . 330

3 Conservation de la probabilit ´e et lien avec la m ´ecanique classique339 4 Syst `emes conservatifs . . . . 350

5 Op ´erateur d’ ´evolution . . . . 357

6 Application des postulats : syst `eme `a deux niveaux . . . . 365

Exercices et Probl `emes . . . . 374

6 Oscillateur harmonique 399

1 L’oscillateur harmonique classique . . . . 404

2 L’oscillateur quantique . . . . 407

3 Valeurs propres de H . . . . 410

4 Etats propres de H . . . . 422

5 Fonctions propres de H . . . . 428

6 Valeurs moyennes des op ´erateurs X et P dans l’ ´etat | ϕ

^{. . 434}

7 Oscillateur harmonique isotrope `a trois dimensions . . . . 441

Exercices et Probl `emes . . . . 452

7 Moment cin ´etique 479

1 D ´efinitions et relations de commutation . . . . 482

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7

2 Valeurs propres et vecteurs propres de J

et J

. . . . 486

3 Repr ´esentation {| j, m } . . . . 505

4 Moment cin ´etique orbital . . . . 512

Exercices et Probl `emes . . . . 534

8 Particule dans un potentiel central. Atome d’hydrog `ene 555

1 Etats d’une particule dans un potentiel central . . . . 557

2 Mouvement relatif de deux particules en interaction . . . . 565

3 L’atome d’hydrog `ene . . . . 574

Exercices et Probl `emes . . . . 600

9 Spin des particules 629

1 Exp ´erience de Stern et Gerlach . . . . 632

2 Espace des ´etats de spin

. . . . 640

3 Syst `eme de deux spins

. . . . 657

4 Les spineurs . . . . 662

5 R ´esonance magn ´etique . . . . 671

6 Fermions et bosons . . . . 689

Exercices et Probl `emes . . . . 691

10 Addition de deux moments cin ´etiques 713

1 Addition de deux spins

. . . . 718

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8

2 Addition de deux moments cin ´etiques

quelconques . . . . 734

3 Addition d’un moment cin ´etique orbital et d’un spin

. . . . 758

Exercices et probl `emes . . . . 769

11 Perturbations stationnaires et m ´ethode variationnelle 793

1 M ´ethodes des perturbations stationnaires . . . . 796

2 M ´ethode variationnelle . . . . 827

Exercices et Probl `emes . . . . 836

12 Perturbation d ´ependant du temps 869

1 Position du probl `eme . . . . 871

2 R ´esolution approch ´ee de l’ ´equation de Schr ¨odinger . . . . 873

3 Equations de perturbation . . . . 877

4 Probabilit ´e de transition . . . . 880

5 Perturbation sinuso¨ıdale . . . . 882

6 Perturbation constante . . . . 894

7 R `egle d’or de Fermi . . . . 897

8 Perturbation adiabatique . . . . 901

9 Application : Interaction d’une onde ´electromagn ´etique avec un atome . . . . 903

Exercices et Probl `emes . . . . 910

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9

Liste des exercices et probl `emes 926

Notes biographiques 935

Bibliographie 964

Index 971

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Avant-propos

Cet ouvrage r ´esulte d’une pratique de l’enseignement de la m ´ecanique quantique de vingt-cinq ans effectu ´ee dans diverses institutions universitaires et pour divers niveaux `a Paris et surtout `a Tunis.

Durant cette p ´eriode, j’ai r ´edig ´e `a l’intention des ´etudiants de multiples cours polycopi ´es mais l’id ´ee ne m’ ´etait jamais venue d’ ´ecrire un livre, tellement l’ouvrage de Claude Cohen-Tannoudji (Prix Nobel de Physique), Bernard Diu et Franck Lalo ¨e est complet, riche et d’actualit ´e malgr ´e ses trente ans.

C’est en fait sous l’insistance de mes ´etudiants de th `ese que je me suis laiss ´e tenter pour entreprendre cette aventure, dont la seule ambition est de mettre `a la disposition des ´etudiants un ouvrage accessible qui les aidera `a se familiariser avec la physique quantique et ses multiples applications dans divers domaines de la connaissance scientifique.

Cette physique qui est n ´ee, il y a un si `ecle pour pallier les insuffisances

de la physique classique, a provoqu ´e un bouleversement intellectuel et phi-

losophique ´etonnant car elle a, d’une part aboli le concept jusque lors inatta-

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Avant-propos

11

quable de la continuit ´e de l’ ´energie, et d’autre part, introduit un ind ´eterminisme qui choque le sens commun et qui propose une nouvelle fac¸on de penser et d’appr ´ehender les lois de la nature.

On ´erigeait, en effet, en principe la discontinuit ´e de l’espace car les objets sont s ´epar ´es les uns des autres, tout se termine quelque part, les mol ´ecules, les atomes, ne s’interp ´en `etrent pas, il y a des limites bien nettes entre eux, seul est continu le vide dans lequel ils flottent. Mais on ne disposait d’aucune notion similaire sur la divisibilit ´e de l’ ´energie : une pierre ne tomberait jamais en un mouvement saccad ´e, le soleil n’ ´eclairerait pas par flamb ´ees, ...

Pourtant la hardiesse de Max Planck l’amena, pour expliquer les lois du rayonnement, `a s’ ´ecarter de ce concept de continuit ´e et `a discr ´etiser l’ ´energie en ´enonc¸ant, le 14 d ´ecembre 1900, que les ´echanges d’ ´energie entre mati `ere et rayonnement ne se font pas de fac¸on continue mais par quantit ´es discr `etes et indivisibles appel ´ees quanta.

Le succ `es fut fulgurant mais le laissa sceptique car sa formulation refusait

de se laisser d ´eduire des lois classiques. Il a fallu attendre Albert Einstein qui

interpr ´eta en 1904, l’effet photo ´electrique en notant que la loi de Planck pou-

vait ˆetre comprise et pr ´ecis ´ee en consid ´erant que le champ ´electromagn ´etique

consiste en de v ´eritables corpuscules d’ ´energie lumineuse : les quanta de

lumi `ere ou photons. Compton vint compl ´eter en 1921, cette description en

attribuant un caract `ere corpusculaire au photon, qui devient donc dot ´e non

seulement d’une ´energie mais aussi d’une impulsion `a l’image d’une boule de

billard en mouvement.

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Avant-propos

12

Cette dualit ´e onde-corpuscule d ´ecouverte pour le photon a ´et ´e magistrale- ment d ´emontr ´ee en 1926 par Louis de Broglie pour les particules mat ´erielles et v ´erifi ´ee exp ´erimentalement en 1927 par Davisson et Germer. Elle est `a la base du d ´eveloppement de la m ´ecanique quantique o `u particules et photons sont d ´ecrits par une fonction d’onde qui contient toutes les informations rela- tives au syst `eme qu’ils constituent.

Cette fonction est l’essence de la vision probabiliste de la m ´ecanique quantique, vision qui s’est affirm ´ee par la formulation en 1927 du principe d’incertitude de Heisenberg qui stipule qu’il n’est pas possible de mesurer simultan ´ement la position et l’impulsion d’une particule avec pr ´ecision. La notion de trajectoire perd ainsi son sens en m ´ecanique quantique au profit de la notion d’ ´etat quantique, ´etat qui est perturb ´e par la mesure des grandeurs associ ´ees au syst `eme et qui est aussi de nature probabiliste.

Cet ind ´eterminisme propre `a la m ´ecanique quantique a intrigu ´e beaucoup

de ses fondateurs, dont Einstein lui-m ˆeme qui, refusant d’admettre, devant

l’harmonie de la cr ´eation et la coh ´erence de l’Univers, que “Dieu joue aux

d ´es”, jugeait que les probabilit ´es de la m ´ecanique quantique devaient pouvoir

se d ´eduire d’une th ´eorie plus fondamentale et plus compl `ete. Cette nouvelle

th ´eorie formul ´ee entre 1925 et 1927 par les Allemands Max Bohr, Werner Hei-

senberg, Pascual Jordan, les Autrichiens Wolfgang Pauli et Erwin Schr ¨odinger

et par le Britannique Paul Dirac, a conduit en 1927 `a l’interpr ´etation connue

sous le nom d’interpr ´etation de l’Ecole de Copenhague. Interpr ´etation harmo-

nieuse o `u l’on renonc¸ait `a l’id ´eal d’une description `a la fois spatio-temporelle

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Avant-propos

13

et causale des ph ´enom `enes au profit d’un ind ´eterminisme r ´egi par des postu- lats, mais dont les cons ´equences ont acc ´el ´er ´e les succ `es dans la qu ˆete des lois r ´egissant l’harmonie et l’ ´equilibre de la nature.

Construite pour expliquer les lois du rayonnement, la th ´eorie quantique a d ´ebouch ´e sur une interpr ´etation compl `ete de la structure de la mati `ere et de l’univers. De l’infiniment petit `a l’infiniment grand, elle ne cesse d’ ´etendre son rayon d’action, elle rend compte aussi bien des ´etats ultimes de la mati `ere : mol ´ecule, atome, noyau, particules ´el ´ementaires, quark, mais permet aussi de comprendre certains ´etats et processus cosmiques telles que la formation et l’ ´evolution des ´etoiles.

Son formalisme relativiste (th ´eorie quantique des champs et ´electro- dynamique quantique) enregistre de jour en jour des succ `es spectaculaires et l’espoir est permis de d ´eboucher sur une th ´eorie unifi ´ee des interactions fondamentales qui permettent d’avoir une vue d ´etaill ´ee sur l’origine et la cr ´eation de l’univers.

Par sa puissance pr ´edictive, la physique quantique ne cesse ´egalement de permettre la d ´ecouverte de nouveaux effets qui r ´evolutionnent la techno- logie et qui sont d’un grand impact sur notre v ´ecu quotidien ; c’est le cas du transistor (1948), du laser (1960) des microprocesseurs (1971), de la micro- scopie `a effet Tunnel (1981), des nanotechnologies (1990) et derni `erement des ordinateurs quantiques qui sont en cours de d ´eveloppement.

Enfin sur le plan ´epist ´emologique, la physique quantique a provoqu ´e un

v ´eritable s ´eisme intellectuel et continue `a heurter certains rationalismes par

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Avant-propos

14

le nouveau mode de raisonnement qu’elle impose et la nouvelle intuition qu’elle fac¸onne, raisonnement qui tranche avec la d ´eduction et l’induction habituelles des sciences et qui insuffle une certaine libert ´e de la pens ´ee et de l’appr ´ehension et un apprentissage de l’humilit ´e, valeurs tant utiles et indispensables `a ceux qui s’adonnent `a l’exercice de la science.

******************

Le pr ´esent ouvrage s’adresse essentiellement aux ´etudiants des maˆıtrises de physique, de sciences physiques, de chimie ainsi qu’aux ´el `eves des ´ecoles d’ing ´enieurs qui veulent se familiariser avec ce domaine. Il est ´egalement utile aux ´etudiants de troisi `eme cycle et aux chercheurs.

Il est structur ´e en 12 chapitres ´equilibr ´es traitant chacun un cours substan- tiel compl ´et ´e par de nombreux ´enonc ´es d’exercices et de probl `emes d’appli- cations dont le corrig ´e fera l’objet d’un prochain ouvrage.

Des notes bibliographiques plac ´ees `a la fin de l’ouvrage permettent de suivre l’itin ´eraire de grands noms de la physique quantique et d’en connaˆıtre les principales contributions.

Un CD-Rom interactif accompagnant l’ouvrage permet d’en faciliter l’acc `es et l’exploitation.

Les trois premiers chapitres s’adressent aux ´etudiants des deuxi `emes ann ´ees de premier cycle et du cycle pr ´eparatoire aux ´etudes d’ing ´enieurs.

Ils pr ´esentent l’historique de l’av `enement de la physique quantique et traitent

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Avant-propos

15

de la dualit ´e onde-corpuscule en introduisant l’ ´equation de Schr ¨odinger `a une dimension et son application `a l’ ´etude des ´etats d’une particule plong ´ee dans un potentiel stationnaire.

Les chapitres suivants s’adressent aux ´etudiants de deuxi `eme cycle et sont d’une grande utilit ´e aux ´etudiants des mast `eres et aux jeunes chercheurs.

Le chapitre 4 pr ´esente le formalisme math ´ematique sur lequel est construite la m ´ecanique quantique. Bien que simplifi ´e, il aborde de mani `ere claire, l’essentiel de ce que requiert la compr ´ehension et l’utilisation des concepts quantiques.

Le chapitre 5 est consacr ´e `a l’ ´enonc ´e et `a l’interpr ´etation des postulats qui jettent les bases th ´eoriques de la m ´ecanique quantique. Il pr ´esente aussi l’application de ces postulats `a l’ ´etude des syst `emes `a deux niveaux, qui sont des syst `emes mod `eles pour la compr ´ehension de nombreux effets physiques.

Le chapitre 6 d ´ecrit l’oscillateur harmonique quantique et son grand potentiel de g ´en ´eralisation `a l’ ´etude de nombreuses situations physiques. Il permet ´egalement une familiarisation efficace au maniement des op ´erateurs.

Le chapitre 7 est consacr ´e `a l’ ´etude du moment cin ´etique qui est une observable d’une grande importance en physique quantique. Le d ´ebut du chapitre est assez calculatoire et tr `es technique mais ne pr ´esente pas de difficult ´e majeure.

Le chapitre 8 est relatif `a l’ ´etude d’une particule dans un potentiel central

et `a son application au cas d’un potentiel coulombien. Il montre comment la

connaissance des harmoniques sph ´eriques permettent d’atteindre les ´etats et

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Avant-propos

16

les ´energies propres de l’atome d’hydrog `ene et des atomes hydrog ´eno¨ıdes.

Le chapitre 9 introduit le spin qui est un moment cin ´etique intrins `eque n’ayant pas d’ ´equivalent en m ´ecanique classique. Il pr ´esente ´egalement les

´etats spineurs et d ´ecrit le principe des m ´ethodes de r ´esonance magn ´etique telle que la RMN.

Le chapitre 10 ´etudie la composition des moments cin ´etiques qui est essentielle dans de nombreux domaines de la physique. Il aborde d’abord l’addition de deux spins

et g ´en ´eralise ensuite le formalisme au cas de deux moments cin ´etiques quelconques en introduisant le couplage spin-orbite.

Les chapitres 11 et 12 introduisent les m ´ethodes d’approximation qui jouent un r ˆole important dans la physique quantique, puisque dans les cas r ´eels, l’ ´equation de Schr ¨odinger ne peut ˆetre r ´esolue exactement. On y pr ´esente les m ´ethodes d’approximation les plus utilis ´ees `a savoir : la th ´eorie des perturbations stationnaires, la m ´ethode variationnelle et la th ´eorie des perturbations d ´ependant du temps. Des applications issues de probl `emes r ´eels illustrent ces m ´ethodes et familiarisent l’ ´etudiant `a leur utilisation.

Habib Bouchriha Octobre 2002

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Remerciements

17

Remerciements

Je suis reconnaissant `a mes ´etudiants de th `ese qui m’ont encourag ´e `a r ´ediger cet ouvrage. Sans leur concours, ce projet n’aurait pu voir le jour.

Pendant toute une ann ´ee, ils se sont charg ´es de la frappe et de la composition avec une patience infinie et un soin exemplaire.

La palme d’or revient sans conteste `a Dhouha Gamra et `a Afef Ben Othman qui ont supervis ´e le projet, assembl ´e les diff ´erentes parties, dessin ´e les figures, effectu ´e la mise en page et veill ´e `a la coh ´erence de la pr ´esentation.

Leur affection filiale et leur encouragement de tous les jours ont eu raison de mon inertie et de mon d ´efaitisme. Je ne saurai trouver les termes expressifs pour les remercier pour tout ce qu’elles ont donn ´e.

Nadia Boutabba, Noura Loussa¨ıef, Sa¨ıd Rid `ene, Tarek Barhoumi, Olfa Boukari et Ferid Mera¨ı ont ´et ´e pour beaucoup dans la r ´ealisation de ce projet. Ils ont excell ´e dans le traitement de texte avec une gentillesse et une disponibilit ´e qui m’ont confondu. Ma dette envers eux reste enti `ere tout comme le sont mon estime et ma consid ´eration.

Lotfi Hassine a trac ´e num ´eriquement certains graphes du texte, je le

remercie pour son aide et pour son amiti ´e de tous les jours.

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Remerciements

18

Gr ˆace `a sa profonde culture en physique th ´eorique et sa grande maˆıtrise des techniques multim ´edia, Adel Trabelsi a confectionn ´e avec brio le CD-Rom accompagnant l’ouvrage. Je le remercie pour sa pr ´ecieuse collaboration et sa disponibilit ´e.

Je tiens `a exprimer ma reconnaissance aux nombreux coll `egues du d ´epartement de physique de la Facult ´e des Sciences de Tunis qui ont partag ´e avec moi et pendant plusieurs ann ´ees le plaisir d’enseigner la m ´ecanique quantique.

Cet ouvrage doit beaucoup aux ´etudiants des vingt-cinq promotions que j’ai vues passer `a la Facult ´e des Sciences de Tunis. J’en garde un souvenir

´emu. L’int ´er ˆet qu’ils ont toujours manifest ´e `a la m ´ecanique quantique a ren- forc ´e davantage mes convictions dans le bien-fond ´e de cette partie s ´eduisante de la physique. Beaucoup de ces ´etudiants, qui se reconnaˆıtront, sont aujour- d’hui de brillants coll `egues `a l’universit ´e tunisienne.

Je remercie enfin, tout le personnel du Centre de Publication Universitaire

pour leur amiti ´e de tous les jours ainsi que ma femme et mon fils pour leur

patience et leur soutien.

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Chapitre 1

Origines de la physique quantique

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Rayonnement du corps noir

20

A la fin du dix-neuvi `eme si `ecle, les diverses branches de la physique s’int ´egraient dans un ´edifice coh ´erent bas ´e sur l’ ´etude de deux types d’objets distincts, la mati `ere et le rayonnement :

- La mati `ere est faite de corpuscules parfaitement localisables dont le mouvement peut ˆetre d ´ecrit par la m ´ecanique rationnelle de Newton. Les grandeurs physiques associ ´ees `a ces corpuscules s’expriment en fonction des composantes de la position et de l’impulsion qui sont les variables dynamiques fondamentales.

- Le rayonnement est gouvern ´e par les lois de l’ ´electromagn ´etisme de Maxwell. Ses variables dynamiques sont les composantes en chaque point de l’espace des champs ´electrique et magn ´etique.

Le succ `es de la physique ´etait `a cette ´epoque impressionnant et tous les ph ´enom `enes connus trouvaient leur explication dans le cadre de ce programme classique.

A l’aube du vingti `eme si `ecle et avec l’essor des progr `es technologiques, les physiciens se trouv `erent tout `a coup confront ´es `a des ph ´enom `enes nou- veaux pour lesquels les pr ´evisions de la th ´eorie classique sont en d ´esaccord flagrant avec l’exp ´erience. Il fallait donc jeter les bases d’une nouvelle th ´eorie susceptible de pallier les insuffisances de la conception classique.

Les ph ´enom `enes qui furent sans doute historiquement `a l’origine de la

naissance de la nouvelle th ´eorie sont le rayonnement du corps noir, l’effet

photo ´electrique et les spectres atomiques.

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1. RAYONNEMENT DU CORPS NOIR 21

1. Rayonnement du corps noir

1.1. D ´efinition

Un corps noir est un corps qui absorbe int ´egralement tout rayonnement frappant sa surface. Une r ´ealisation satisfaisante consiste `a am ´enager un trou dans une enceinte ferm ´ee dont le rev ˆetement int ´erieur absorbe et diffuse la lumi `ere qu’il rec¸oit : un rayon lumineux atteignant la surface, p ´en `etre dans l’enceinte et y subit une suite de r ´eflexions plus ou moins diffusantes telles qu’une tr `es faible fraction de l’ ´energie lumineuse incidente puisse ressortir vers l’ext ´erieur, le corps noir se comporte donc comme un absorbant parfait (fig. 1.1).

Figure1.1 : R ´ealisation pratique d’un corps noir

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Rayonnement du corps noir

22

1.2. Faits exp ´erimentaux et interpr ´etation classique

Chauff ´e `a haute temp ´erature, le corps noir ´emet de la lumi `ere `a toutes les longueurs d’onde. Si l’on porte en fonction de la longueur d’onde, la densit ´e d’ ´energie radiative (fig. 1.2), on obtient une courbe r ´eguli `ere tendant vers z ´ero pour les grandes et pour les faibles longueurs d’onde et pr ´esentant un maximum pour une longueur d’onde λ

d ´ependant simplement de la temp ´erature suivant la loi dite de “d ´eplacement de Wien” (1896).

λ

T = = = C

= = = 0.2898 cm.K (1.1)

Figure 1.2 : Densit ´e d’ ´energie rayonn ´ee par le corps noir pour diff ´erentes temp ´eratures (a) en fonction de la fr ´equence, (b) en fonction de la longueur d’onde

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Rayonnement du corps noir

23

Pour expliquer ces r ´esultats, Rayleigh et Jeans, utilisant la th ´eorie

´electromagn ´etique et la m ´ecanique statistique, propos `erent que “le champ

´electromagn ´etique rayonn ´e est d ˆu `a un ensemble d ´enombrable d’oscillateurs harmoniques lin ´eaires qui vibrent”.

La densit ´e d’ ´energie rayonn ´ee est alors donn ´ee par :

I

(ν, T ) = ρ(ν) E (ν, T ) ^(1.2) o `u ρ(ν) repr ´esente le nombre d’oscillateurs par unit ´e de volume et E(ν, T ) l’ ´energie moyenne de chaque oscillateur. Ces deux grandeurs sont calculables par la m ´ecanique statistique et valent respectivement :

ρ(ν) = 8πν

c

^(1.3)

E(ν, T ) =

∞

Ee

dE

∞

e

dE = kT (1.4)

On aboutit ainsi `a la loi de Rayleigh-Jeans : I

( ( ( ν ν ν , T , T , T ) ) ) = = = 8π

c

kTν

(1.5)

Cette loi est quadratique en ν et n’est en accord avec l’exp ´erience que pour les faibles fr ´equences (fig. 1.3). En outre elle est inacceptable physiquement car l’int ´egrale de I

(ν, T ) par rapport `a ν diverge, ce qui conduirait `a une

´energie rayonn ´ee infinie, c’est “la catastrophe de l’ultraviolet”.

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Rayonnement du corps noir

24

Figure 1.3 : Catastrophe de l’ultraviolet

1.3. Loi de Planck

Pour obtenir un accord avec les observations exp ´erimentales, Planck a ´et ´e

amen ´e `a s’ ´ecarter de la m ´ecanique statistique et `a ´evaluer de fac¸on diff ´erente

l’ ´energie moyenne de chaque oscillateur. Le 14 D ´ecembre 1900 , il ´emit l’id ´ee

que :

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Rayonnement du corps noir

25

“Les ´echanges d’ ´energie entre la mati `ere et le rayonnement ne se font pas

Plus pr ´ecis ´ement, l’ ´energie de chaque oscillateur est un multiple entier d’une valeur donn ´ee ε soit : E

= nε .

Dans ce cas, E(ν, T ) se calculera simplement par :

E(ν, T ) =

E

e

n=0

e

= ε

n=0

n e

n=0

e

(1.6)

en posant ε

kT = x , cette expression devient : E(ν, T ) =

ε

n=0

n e

n=0

e

(1.7)

Le d ´enominateur n’est autre que la limite d’une progression g ´eom ´etrique de raison e

:

e

= 1 + e

+ e

+ · · · = lim

( 1 − e

1 − e

) = 1 1 − e

(1.8)

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Rayonnement du corps noir

26

quant au num ´erateur, pour le calculer il suffit de remarquer que : ne

= − d

dx (e

) (1.9)

La s ´erie ´etant convergente, on a :

n=0

n e

= − d dx ( 1

1 − e

) = e

(1 − e

)

^(1.10)

de sorte que

E(ν, T ) = ε e

1 − e

= ε

e

− 1 = ε

e(

) − 1 ^(1.11)

et

I

(ν, T ) = 8πν

c

ε

e(

) − 1 ^(1.12)

Pour que cette relation soit en accord avec l’exp ´erience c’est `a dire pour que l’on ait lim

I

(ν, T ) = 0 , il faut que ε soit une fonction croissante de ν . Planck a pos ´e ε = hν o `u h est une nouvelle constante universelle appel ´ee

“constante de Planck”. Il s’ensuit alors que :

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Rayonnement du corps noir

27

“Les ´echanges d’ ´energie entre la mati `ere et le rayonnement se font par

hν

Quanta ´etant le pluriel latin de quantum, qui signifie “quantit ´e.”

La

s’ ´ecrit alors dans toute sa gloire sous la forme : I

( ( ( ν ν ν , T , T , T ) ) ) = = = 8πν

c

hν e ( ( (

) ) ) − − − 1

(1.13) La recherche du maximum de I

(ν, T ) , en fonction de ν permet, en utilisant la loi empirique de Wien (1), de d ´eterminer la valeur de la constante de Planck qu’on trouve ´egale `a : h = 6, 64.10

J.s .

On remarque qu’aux basses fr ´equences la loi de Planck redonne bien la loi de Rayleigh-Jeans et qu’aux hautes fr ´equences, on retrouve la d ´ecroissance exponentielle observ ´ee exp ´erimentalement, en effet :

∗ ^Si hν kT alors e

≈ 1 +

soit : E(ν, T ) ≈ kT et I

(ν, T ) = 8πν

c

kT (1.14)

A la temp ´erature ambiante (kT = 0.025 eV) ceci n’est valable que si :

ν 10

s

(1.15)

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Rayonnement du corps noir

28

∗ ^Si hν kT alors e

1 soit : E(ν, T ) ≈ hνe

et I

(ν, T ) = 8πν

c

hν e

La loi de Planck peut s’exprimer ´egalement en fonction de la longueur d’onde.

Elle s’ ´ecrit alors : I

(λ, T ) = 2πc

h

λ

( 1

e

− 1 ) (1.16)

Cette expression est repr ´esent ´ee par la courbe en traits pleins de la

figure 1.4 et elle est en accord parfait avec l’exp ´erience.

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Rayonnement du corps noir

29

Figure 1.4 : Confrontation des th ´eories classique et quantique du rayonnement du corps noir avec l’exp ´erience

L’int ´egration de I

(λ, T ) par rapport `a λ permet d’atteindre la puissance totale ´emise par le corps noir. Cette puissance est donn ´ee par :

P = c 4

0

I

(λ, T ) dλ = σT

(1.17)

o `u σ = 2π

k

15c

h

= 5.67 × 10

S.I

Cette loi est connue sous le nom de “loi de Stefan” et σ est la constante

de Stefan.

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2. EFFET PHOTO ´ ELECTRIQUE 30

2. Effet photo ´electrique

2.1. Faits exp ´erimentaux

Au d ´ebut du si `ecle, il ´etait exp ´erimentalement connu que lorsque de la lumi `ere (visible ou ultraviolette) tombe sur une surface m ´etallique, des

´electrons sont ´eject ´es par cette surface. Ce ph ´enom `ene peut ˆetre pr ´evisible par la th ´eorie classique : la lumi `ere ´etant une onde ´electromagn ´etique, le champ ´electrique qui lui est associ ´e peut induire une force qui s’exerce sur les ´electrons de la surface m ´etallique et ´ejecter certains d’entre eux.

Une exp ´erience typique fut celle de Millikan (1916) : on dispose dans une

cellule transparente `a la lumi `ere ultraviolette et o `u r `egne un vide pouss ´e, deux

plaques. L’une est appel ´ee cathode (C), et est constitu ´ee, en g ´en ´eral, par

un m ´etal alcalin, l’autre est m ´etallique, et est appel ´ee anode (A). Ces deux

plaques sont reli ´ees aux bornes d’un g ´en ´erateur, de sorte `a ´etablir une tension

U

entre elles.

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Effet photo ´electrique 31

Figure 1.5 : Cellule photo ´electrique

Lorsqu’on ´eclaire la cathode par une radiation monochromatique, un courant d’intensit ´e I peut traverser le circuit (fig. 1.5).

On constate que :

* Ce courant ne s’observe que si les radiations ont une fr ´equence sup ´erieure `a une certaine valeur ν

appel ´ee “seuil de fr ´equence de la cathode”

(tableau I-1).

M ´etal Pt Ag Cu Zn Ba Na K Cs

ν

× 10

Hz 15, 8 11, 1 10, 3 8, 1 6, 0 5, 8 5, 6 4, 6 λ

( μm ) 0, 19 0, 27 0, 29 0, 37 0, 50 0, 52 0, 54 0, 65

Tableau I-1 : Seuil photo ´electrique pour diff ´erents m ´etaux

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Effet photo ´electrique 32

* Lorsque la tension U

augmente, l’intensit ´e I du courant augmente et tend vers une limite appel ´ee “intensit ´e de saturation”. Cette limite augmente avec la puissance du faisceau lumineux incident (fig. 1.6).

* Lorsque la tension U

est nulle, un courant I

traverse encore le circuit.

* Le courant s’annule pour une tension U

= − U

, U

est appel ´ee

“potentiel d’arr ˆet” (fig. 1.6).

Le potentiel d’arr ˆet U

d ´epend de la fr ´equence : il est nul pour ν < ν

et croˆıt lin ´eairement avec ν pour ν > ν

(fig. 1.7).

Figure 1.6 : Caract ´eristique d’une cellule photo ´electrique pour une fr ´equence donn ´ee et pour deux puissances diff ´erentes du faisceau incident

(P

> P

)

Figure 1.7 : Variation du po- tentiel d’arr ˆet en fonction de la fr ´equence.

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Effet photo ´electrique 33

L’intensit ´e de saturation et le potentiel d’arr ˆet peuvent s’interpr ´eter ais ´ement.

En effet, lorsque U

est positive, les ´electrons ´emis par la cathode sont acc ´el ´er ´es par le champ ´electrique existant entre A et C et se dirigent vers l’anode, donnant ainsi naissance `a un courant dans le circuit ext ´erieur.

Lorsque U

est n ´egative, les ´electrons sont frein ´es par le champ ´electrique et selon leur vitesse d’ ´emission, certains d’entre eux peuvent atteindre l’anode, alors que d’autres retournent vers la cathode.

On peut calculer la valeur du potentiel d’arr ˆet en appliquant le th ´eor `eme de l’ ´energie cin ´etique `a un ´electron de masse m se d ´eplac¸ant de C vers A avec la vitesse V :

1

2 mV

− 1

2 mV

= − eU

= eU

(1.18)

Si le courant I est nul, aucun ´electron n’atteint l’anode et V

= 0 , soit : 1

2 mV

= − eU

= eU

(1.19)

L’ ´energie cin ´etique des ´electrons est donc comme U

. Elle est nulle pour ν < ν

et croˆıt lin ´eairement lorsque ν > ν

.

U

= 1 2

m

e V

(1.20)

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Effet photo ´electrique 34

2.2. Interpr ´etation quantique

La d ´ependance simple de l’ ´energie cin ´etique des ´electrons en fonction de la fr ´equence et son ind ´ependance de la puissance du faisceau incident ne trouvent pas d’explication dans le cadre de la th ´eorie classique.

L’explication de ces ph ´enom `enes fut donn ´ee par Einstein en 1905. Il nota que la loi de Planck pouvait ˆetre comprise et pr ´ecis ´ee en consid ´erant que le champ ´electromagn ´etique consiste en de v ´eritables corpuscules d’ ´energie lumineuse hν (les quanta de lumi `ere ou photons) : dans ce cas, le quantum d’ ´energie peut ˆetre transmis en totalit ´e `a un ´electron. Cet ´electron acquiert l’ ´energie E = hν au moment o `u il est encore dans le m ´etal : si on suppose qu’il est n ´ecessaire d’effectuer un certain travail W pour l’extraire du m ´etal, cet ´electron sera donc ´emis avec l’ ´energie cin ´etique :

E

= E − W , soit :

E

= hν − W (1.21)

W est une constante caract ´eristique du m ´etal, ind ´ependante de ν et appel ´ee

“travail d’extraction”.

Comme l’ ´energie cin ´etique E

est positive ou nulle, on a n ´ecessairement :

hν − W ≥ 0 (1.22)

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Effet photo ´electrique 35

soit

ν ≥ W

h = ν

(1.23)

Le courant ne s’observe donc que pour des fr ´equences sup ´erieures `a la fr ´equence seuil ν

.

On remarque aussi que l’ ´energie cin ´etique des ´electrons varie lin ´eairement avec la fr ´equence et est ind ´ependante de l’intensit ´e de la lumi `ere, ce qui est conforme `a l’exp ´erience.

Cette loi rend donc directement compte des aspects “non classiques” de l’effet photo ´electrique. Elle fournit de plus, une valeur exp ´erimentale de h `a partir de la variation du potentiel d’arr ˆet avec la fr ´equence (fig. 1.8). On a en effet :

1

2 m V

= eU

= hν − W = ⇒ U

= ( h

e )ν − W

e ^(1.24)

On obtient une valeur de h qui co¨ıncide exactement avec la constante de

Planck.

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Effet photo ´electrique 36

Figure 1.8 : Variation du potentiel d’arr ˆet

U

en fonction de la fr ´equence

ν

Bien que cet effet soit ph ´enom ´enologiquement distinct du rayonnement du

corps noir, il s’interpr `ete avec les m ˆemes concepts, ce qui montre qu’il s’agit

bien de la naissance d’une

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3. SPECTRES ATOMIQUES 37

3. Spectres atomiques

3.1. Probl `eme de la stabilit ´e de l’atome

Le fait que la mati `ere est form ´ee d’atomes et que les atomes contiennent des grains d’ ´electricit ´e de charges n ´egatives appel ´ees ´electrons ´etait une r ´ealit ´e admise `a la fin du 19

si `ecle : le probl `eme ´etait alors de concevoir un “mod `ele” pour la structure de l’atome.

Un des premiers mod `eles propos ´es est celui de J.J Thomson o `u il consid ´erait, que l’atome est constitu ´e d’une sph `ere pleine de rayon R de l’ordre de 10

cm , uniform ´ement charg ´ee positivement et contenant des

´electrons qui vibrent librement, le nombre de ces ´electrons devant satisfaire la neutralit ´e ´electrique de l’atome.

Ce mod `ele, tr `es simple, a permis de rendre compte des ph ´enom `enes de dispersion et de diffusion de la lumi `ere mais fut en violent d ´esaccord avec les exp ´eriences de diffusion du rayonnement α (ions He

) effectu ´ees par Rutherford (1911) qui montr `erent que l’atome est presque vide, et se limite pratiquement `a un noyau compact de faibles dimensions ( 10

a ` 10

m ).

La quasi-totalit ´e de la masse de l’atome est concentr ´ee dans ce noyau qui a, de plus, la charge +Zq , o `u Z est le rang de l’ ´el ´ement correspondant dans le tableau de Mendele¨ıev. L’atome ´etant neutre, il comporte donc Z ´electrons de charge − q .

Un mod `ele statique (noyau et ´electrons avec des positions respectives

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Spectres atomiques 38

fixes) ´etant ´elimin ´e imm ´ediatement par la loi de Coulomb, Rutherford ima- gina un mod `ele dynamique plan ´etaire o `u les ´electrons gravitent autour du noyau comme les plan `etes autour du Soleil. L’identit ´e formelle de l’interac- tion gravitationnelle et de l’interaction coulombienne conduit `a des trajectoires

´electroniques elliptiques, d ´ecrites suivant la loi des aires, en compl `ete analo- gie avec les trajectoires des plan `etes autour du Soleil.

Figure 1.9 : Chute de l’ ´electron sur le noyau

N ´eanmoins, un tel mod `ele est en d ´esaccord avec les lois de l’ ´electromagn ´etisme

car, `a l’inverse des plan `etes, les ´electrons sont des particules charg ´ees et au

cours de leur rotation autour du noyau, ces charges acc ´el ´er ´ees, rayonnent un

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Spectres atomiques 39

champ ´electromagn ´etique auquel elles c `edent une partie de leur ´energie. Il en r ´esulte alors un freinage des ´electrons qui finiront par tomber sur le noyau : l’atome ne serait donc pas stable ! ! ! (fig. 1.9).

Cela est ´evidemment suffisant pour rejeter ce mod `ele mais on peut exhiber la raison suppl ´ementaire suivante : la fr ´equence du rayonnement

´emis est ´egale en th ´eorie ´electromagn ´etique classique, `a la fr ´equence du mouvement uniforme de rotation de l’ ´electron. Cette fr ´equence doit donc varier contin ˆument avec le rayon de l’orbite lors de la chute de l’ ´electron. Il en r ´esulte que le spectre d’ ´emission des atomes doit ˆetre continu entre deux fr ´equences limites, et ceci est de nouveau contraire `a l’exp ´erience o `u on observe un spectre discontinu (fig. 1.10).

Figure 1.10 : Spectre de raies de l’atome d’hydrog `ene

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Spectres atomiques 40

En effet, d `es 1885 Balmer constata que le spectre de l’atome d’hydrog `ene est un spectre de raies, c’est `a dire que les fr ´equences ´emises forment une suite discr `ete. Il montra en plus, que l’ensemble des raies connues satisfont la relation empirique :

1 λ = R

1 m

− 1

n

avec m < n (1.25)

o `u R

= 1, 097.10

m

repr ´esente la constante de Rydberg pour l’hy- drog `ene.

3.2. Mod `ele de Bohr (1913)

Pour expliquer ces observations exp ´erimentales et ces formulations empi- riques, Bohr a ´et ´e amen ´e `a admettre deux postulats nouveaux :

1- Les ´electrons ne s’observent que dans des orbites “permises” dans lesquelles ils ont des ´energies bien d ´etermin ´ees : ces orbites sont d ´efinies par la condition de quantification :

− → p . − →

d= nh (1.26)

o `u

n

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Spectres atomiques 41

Cette condition se simplifie lorsqu’on admet un mouvement circulaire des

´electrons autour du noyau suppos ´e immobile, et donne : m V

r

= n h

2π ^(1.27)

2-

E

E

(fig. 1.11). La fr ´equence ν

ν

= 1

h (E

− E

) (1.28)

Figure 1.11 : Emission et absorption d’un photon par un atome

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Spectres atomiques 42

Les cons ´equences de ces postulats vont nous permettre, en principe, de rendre compte des faits exp ´erimentaux observ ´es dans l’hydrog `ene :

* L’ ´equilibre entre la force centrifuge et l’attraction coulombienne exerc ´ee par le noyau sur l’ ´electron de charge − q donne :

m V

r

= q

4πε

r

^(1.29)

En combinant les relations (1.27) et (1.29) on obtient : r

= ε

h

πmq

n

= a

n

(1.30)

et

V

= 1 2

q

ε

h

1 n = V

n ^(1.31)

r

est le rayon de l’orbite d’ordre n et V

la vitesse de l’ ´electron dans cette orbite.

a

est le rayon de Bohr qui correspond `a n = 1 , a

= 0, 529 A. ^˚

∗ En admettant que le proton est au repos dans le r ´ef ´erentiel atomique,

l’ ´energie de l’atome d’hydrog `ene est ´egale `a l’ ´energie totale de l’ ´electron, qui

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Spectres atomiques 43

est la somme de son ´energie potentielle et de son ´energie cin ´etique, soit : E

= E

+ E

= − 1

4πε

q

r

+ 1

2 mV

(1.32)

d’apr `es (1.29) on a : 1

2 mV

= 1 2

q

4πε

r

(1.33) ce qui donne pour E

:

E

= − 1 2

q

4πε

r

(1.34) et en remplac¸ant r

par sa valeur on obtient :

E

= − 1 2

mq

4πε

h

1

n

= − R

n

avec R

= mq

8ε

h

^(1.35)

La fr ´equence du rayonnement ´emis est d’apr `es (1.28) : ν

= 1

h ( − R

n

+ R

m

) = R

h ( 1

m

− 1

n

) avec m < n (1.36) et sa longueur d’onde λ est telle que :

1

λ = R

( 1 m

− 1

n

) (1.37)