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IPSA | Partiel de transfert thermique En 322 du 6 mai 2021

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SUJET D’EXAMEN Année universitaire 2020-2021 Classe : Aéro-3

Type d’examen : PARTIEL

Matière : Transfert thermique (véhicule) Code matière : En 322

Date : 06 mai 2021 Horaire :10 : 45 - 12 : 45 Durée : 2 h

Enseignant : Bouguechal / Gomit Documents autorisés : Aucun

Calculatrices autorisées : OUI, y compris programmables.

CADRE RÉSERVÉ A L’ENSEIGNANT :

Si au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l’énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l’examen en proposant une solution.

Le barème est donné à titre indicatif.

Rédigez directement sur la copie, justifiez et détaillez vos calculs..

Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.

Exercice 1 : /10 Exercice 2 : /13,0 Formulaire :

Ailettes & Echangeurs

CADRE RÉSERVÉ A L’ETUDIANT(E) :

Merci de compléter ce cadre et votre numéro en haut de page à gauche :

NOM : Prénom : Classe :

/20

Numéro :

Corrigé

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Problème 1 : Dissipateur de chaleur pour composant électronique (9,00 points)

Un dissipateur de chaleur en aluminium pour composant électronique, de conductivité thermique λ = 180 Wm^-1°C^-1, a une base rectangulaire de cotés a = 70 mm et b = 50 mm et comporte N = 11 ailettes en aluminium rectangulaire de hauteur L = 12 mm et d’épaisseur e = 3 mm et de même longueur a = 70 mm comme représenté sur la figure. La température de la base est Tb =T0 = 50°C. L’ensemble est refroidi par de l’air à la température T∞ = 25°C loin du dissipateur avec un coefficient de convection naturelle h = 10 W/m².°C. On supposera que ce coefficient de convection est constant sur toutes les surfaces du dissipateur.

La base Une ailette rectangulaire

✓ Un formulaire est donné à la fin de l’exercice.

✓ Les résultats numériques seront donnés avec un nombre de chiffres significatifs raisonnable.

✓ Les formules et les opérations seront posées.

x

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Déterminer

1. La valeur des paramètres m et G de chaque ailette.

2. L’expression mathématique de la température en x = L : T (x = L) et la calculer.

Peut-on considérer cette ailette comme longue ? Justifiez.

3. L'expression du flux de chaleur échangé par la base du dissipateur à travers la surface non occupée par les ailettes Φssa (ssa surface sans ailettes) et en déduire sa valeur.

4. L'expression du flux de chaleur échangé par une ailette Φa et en déduire sa valeur pour les N ailettes.

5. L'expression du flux de chaleur total échangé par le dissipateur en déduire sa valeur.

6. L'expression du flux de chaleur maximal Φmax que peut échanger une ailette sur toute sa surface si elle était à la température uniforme T0.

7. L'expression du flux de chaleur sans ailette Φsa que peut échanger la surface S de la base d’une ailette si elle était à la température maximale T0.

8. L'efficacité e de chaque ailette.

9. Le rendement r de chaque ailette.

Conclure.

Réponse :

Attention : l’aire S de la section droite de l’ailette est en rouge sur la figure. P est le périmètre de cette section droite de l’ailette. Ne pas confondre la base sur laquelle sont soudées les ailettes et la base de l’ailette qui est la section droite de l’ailette.

1. 𝒎 = √^ℎ𝑃

𝜆𝑆 = √^{ℎ∗2(𝑎+𝑒)}

𝜆∗𝑎∗𝑒 = √10∗2∗(70+3)10⁻³

180∗70∗3∗10⁻⁶ = √^20∗73∗10³

180∗210 = 𝟔, 𝟐𝟏 𝒎^−𝟏 𝑮 = ℎ

𝑚𝜆 = 10

6,21 ∗ 180=𝟖, 𝟗𝟓 𝟏𝟎^−𝟑 2. Température de l’ailette, on a :

𝑻(𝒙) − 𝑻_∞

𝑻_𝟎− 𝑻_∞ =𝒄𝒉[𝒎(𝑳 − 𝒙)] + 𝑮. 𝒔𝒉[𝒎(𝑳 − 𝒙)]

𝒄𝒉(𝒎𝑳) + 𝑮. 𝒔𝒉(𝒎𝑳) ⇒

𝑻(𝒙) = 𝑻_∞+ (𝑻_𝟎− 𝑻_∞)𝒄𝒉[𝒎(𝑳 − 𝒙)] + 𝑮. 𝒔𝒉[𝒎(𝑳 − 𝒙)]

𝒄𝒉(𝒎𝑳) + 𝑮. 𝒔𝒉(𝒎𝑳)

𝑻(𝒙 = 𝑳) = 𝑻_∞+ 𝑻_𝟎− 𝑻_∞ 𝒄𝒉(𝒎𝑳) + 𝑮. 𝒔𝒉(𝒎𝑳)

𝑻(𝒙 = 𝑳)= 𝟐𝟓 + 𝟓𝟎 − 𝟐𝟓

𝒄𝒉(𝟔, 𝟐𝟏 ∗ 𝟏𝟐 𝟏𝟎^−𝟑) +𝟖, 𝟗𝟓 𝟏𝟎^−𝟑𝒔𝒉(𝟔, 𝟐𝟏 ∗ 𝟏𝟐 𝟏𝟎^−𝟑) 𝑻(𝒙 = 𝑳) = 𝟒𝟗, 𝟗 °𝑪

Cette ailette n’est pas une ailette longue car la température à son extrémité est très différente de la température loin de l’ailette T∞ = 25°C.

3. flux de chaleur échangé par la base du dissipateur à travers la surface non occupée par les ailettes SNA :

𝚽_𝒔𝒔𝒂 = 𝒉 𝑺_𝑵𝑨 ∆𝜽 = 𝒉 (𝒂 ∗ 𝒃 − 𝑵 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆)(𝑻_𝟎− 𝑻_∞)

𝚽_𝒔𝒔𝒂 = 𝟏𝟎 ∗ (𝟕𝟎 ∗ 𝟓𝟎 𝟏𝟎^−𝟔− 𝟏𝟏 ∗ 𝟕𝟎 ∗ 𝟑 𝟏𝟎^−𝟔)(𝟓𝟎 − 𝟐𝟓) =𝟎, 𝟐𝟗𝟕 𝑾

0,25*4

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4. Flux échangé par une ailette : section droite de l’ailette S = a*e (voir figure)

𝚽_𝒂 = 𝝀𝒎𝑺(𝑻_𝟎− 𝑻_∞) 𝒕𝒉[𝒎𝑳] + 𝑮 𝟏 + 𝑮. 𝒕𝒉(𝒎𝑳) 𝚽_𝒂 = 𝟏𝟖𝟎 ∗ 𝟔, 𝟐𝟏 ∗ 𝟕𝟎 ∗ 𝟑 ∗ 𝟏𝟎^−𝟔∗ 𝟐𝟓 𝒕𝒉(𝟔,𝟐𝟏∗𝟏𝟐∗𝟏𝟎^−𝟑)+𝟖,𝟗𝟓 𝟏𝟎^−𝟑

𝟏+𝟖,𝟗𝟓 𝟏𝟎^−𝟑∗𝒕𝒉(𝟔,𝟐𝟏∗𝟏𝟐∗𝟏𝟎^−𝟑)=𝟎, 𝟒𝟖𝟗 𝑾 Et pour N = 11 ailettes 𝚽_𝑵𝒂= 𝑵 ∗ 𝚽_𝒂 = 𝟏𝟏 ∗ 𝟎, 𝟒𝟖𝟗 = 𝟓, 𝟑𝟖 𝑾

5. Le flux total est la somme des deux flux.

𝚽_{𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍} = 𝚽_𝑵𝒂 + 𝚽_𝒔𝒔𝒂 = 𝟓, 𝟑𝟖 + 𝟎, 𝟐𝟗𝟕= 𝟓, 𝟔𝟖 𝑾

6. Calcul du flux maximum : obtenu pour une température T0 sur toute la surface d’échange de l’ailette :

𝚽_𝒎𝒂𝒙= 𝒉 (𝟐𝒂 ∗ 𝑳 + 𝟐 ∗ 𝒆 ∗ 𝑳 + 𝒆 ∗ 𝒂)(𝑻_𝟎− 𝑻_∞)

𝚽_𝒎𝒂𝒙= 𝟏𝟎 (𝟐 ∗ 𝟕𝟎 ∗ 𝟏𝟐 𝟏𝟎^−𝟔+ 𝟐 ∗ 𝟑 ∗ 𝟏𝟐 𝟏𝟎^−𝟔 + 𝟑 ∗ 𝟕𝟎 𝟏𝟎^−𝟔)(𝟓𝟎 − 𝟐𝟓) =𝟎, 𝟒𝟗𝟎 𝑾 7. Flux de chaleur échangé par la surface correspondant à la base d’une ailette, en

l’absence d’ailette évidemment.

𝚽_𝒔𝒂 = 𝒉 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆 (𝑻_𝟎− 𝑻_∞) = 𝟏𝟎 ∗ 𝟕𝟎 ∗ 𝟑 𝟏𝟎^−𝟔 (𝟓𝟎 − 𝟐𝟓) =𝟓, 𝟐𝟓 𝟏𝟎^−𝟐 𝑾 8. Efficacité d’une ailette :

𝒆 = 𝚽_𝒂

𝚽_𝒔𝒂= 𝟎, 𝟒𝟖𝟗

𝟓, 𝟐𝟓 𝟏𝟎^−𝟐 =𝟗, 𝟑𝟏 9. Rendement de l’ailette :

𝒓 = 𝚽_𝒂

𝚽_𝒎𝒂𝒙 = 𝟎, 𝟒𝟖𝟗

𝟎, 𝟒𝟗𝟎 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟖

Conclusion : le flux avec ailettes est à peu près 10 fois plus important que le flux sans ailettes, et le rendement de l’ailette est à peu près de 100% et donc ce dissipateur offre une bonne efficacité et un bon rendement.

0,25*2

0,25*4

0,25*2 0,25*2 0,25*2

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Résumé : Ailette rectangulaire unidimensionnelle

Conditions aux limites :

1. La base de l’ailette est maintenue à une température fixe T0.

2. L’extrémité de l’ailette est le siège d’un transfert thermique convectif. Le flux

thermique transmis par conduction à travers la section droite est égal au flux convectif.

(condition de Fourier).

La température loin de l’ailette est notée T∞.

Equation différentielle :

𝝏^𝟐𝑻

𝝏𝒙^𝟐− 𝒎^𝟐(𝑻(𝒙) − 𝑻_∞) = 𝟎 m : paramètre de l’ailette.

On pose :

𝒎

^𝟐

=

^𝒉𝒑

𝝀𝑺

[𝒎] = 𝑳

^−𝟏

p : Périmètre de la section droite de l’ailette.

S : Aire de la section droite de l’ailette.

h : Coefficient de convection.

λ : Conductivité thermique de l’ailette.

𝜽(𝒙) =𝑻(𝒙) − 𝑻_∞

𝑻_𝟎− 𝑻_∞ =𝒄𝒉[𝒎(𝑳 − 𝒙)] + 𝑮. 𝒔𝒉[𝒎(𝑳 − 𝒙)]

𝒄𝒉(𝒎𝑳) + 𝑮. 𝒔𝒉(𝒎𝑳)

On pose :

𝑮 =

^𝒉

𝝀𝒎

[𝑮] = 𝟏

Le flux de chaleur évacué par l’ailette est donné par :

𝚽 = 𝝀𝒎𝑺(𝑻_𝟎− 𝑻_∞) 𝒕𝒉(𝒎𝑳) + 𝑮 𝟏 + 𝑮. 𝒕𝒉(𝒎𝑳) L’efficacité de l’ailette est donnée par :

𝑒 = 𝚽 𝚽_𝑠𝑎

𝚽_𝑠𝑎 représente le flux évacué par la base d’une ailette sans l’ailette.

Le rendement r de l’ailette est donnée par :

𝑟 = 𝚽 𝚽_𝑚𝑎𝑥

𝚽_𝑚𝑎𝑥 représente le flux évacué par une ailette si elle était à la température uniforme T0.

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Exercice 2 : Echangeur en modes contre-courant et co-courant : (13,0 points)

Dans le tube central de diamètre D d’un échangeur coaxial, circule de l’huile de capacité thermique massique cph avec un débit massique 𝑚̇_ℎ. L’épaisseur du tube central qui joue le rôle de paroi séparatrice est négligée. De l’eau circule dans l’espace annulaire avec un débit massique 𝑚̇_𝑒 et de capacité thermique massique cpe. On appellera ℎ_ℎet ℎ_𝑒 les coefficients d’échange par convection de l’huile et de l’eau.

Données :

𝑚̇_ℎ= 680 kg/h 𝑚̇_𝑒 = 545 𝑘𝑔/ℎ D = 1,25 cm

𝑐_𝑝ℎ = 2,18 𝑘𝐽. 𝑘𝑔⁻¹°𝐶⁻¹ 𝑐_𝑝𝑒 = 4,18 𝑘𝐽. 𝑘𝑔⁻¹°𝐶⁻¹ ℎ_ℎ = 2270 𝑊. 𝑚⁻². °𝐶⁻¹ ℎ_𝑒 = 5670 𝑊. 𝑚⁻². °𝐶⁻¹

L’huile entre dans l’échangeur à la température de 150 °C et doit être refroidie à la température de 70°C. La température d’entrée de l’eau est de 10°C. L’échangeur est parfaitement isolé.

L’objectif de l’exercice est de déterminer la longueur de l’échangeur pour une efficacité imposée dans un fonctionnement en mode contre-courant et en mode co-courant.

A. Détermination de grandeurs thermiques de l’échangeur

Dans cette partie, aucune hypothèse n’est faite sur le mode de fonctionnement.

1. Identifier le fluide « chaud » et le fluide « froid ».

2. Déterminer leurs débits thermiques unitaires qtc et qtf et en déduire qtmin. 3. En déduire le facteur de déséquilibre R.

4. Lequel des deux fluides subit la plus forte variation de température.

5. Calculer la puissance thermique de l’échangeur.

6. En déduire la température du fluide « froid » à sa sortie de l’échangeur.

7. Le coefficient d’échange global de l’échangeur k est donné par : 1

𝐾= 1 ℎ_ℎ + 1

ℎ_𝑒

Expliquez la formule et calculer le coefficient d’échange global k de l’échangeur.

B. Fonctionnement en mode contre-courant

Dans cette partie, on suppose que l’échangeur fonctionne en mode contre-courant et on veut déterminer certains paramètres de l’échangeur.

1. Faire un schéma avec toutes les données.

2. Donner l’allure des températures des deux fluides.

3. Déterminer l’efficacité E de l’échangeur.

4. Déterminer la différence logarithmique moyenne DTLM.

5. En déduire alors la longueur L de l’échangeur pour assurer l’échange de chaleur entre le fluide chaud et le fluide froid.

C. Fonctionnement en mode co-courant

L’échangeur fonctionne désormais en mode co-courant. Les températures d’entrée des fluides restent inchangées. Le diamètre du tube central, les débits massiques et les coefficients d’échange sont alors conservés.

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1. Pour ce mode de fonctionnement en utilisant la méthode NUT, quelle devrait être la longueur L’ de l’échangeur pour que l’efficacité E obtenue dans la partie B.3 soit conservée ? Conclusion.

2. Que peut-on dire des températures de sortie des fluides. Justifiez.

Réponse :

A. Détermination de grandeurs thermiques de l’échangeur

1. Le fluide chaud est l’huile, il a la température la plus élevée à l’entrée de l’échangeur et donc le fluide froid est l’eau.

2. Détermination des débits thermiques unitaires : 𝒒_𝒕𝒄 = 𝒎̇_𝒄𝒄_𝒑𝒄= 𝟔𝟖𝟎

𝟑𝟔𝟎𝟎∗ 𝟐, 𝟏𝟖 𝟏𝟎^𝟑= 𝟒𝟏𝟐 𝑾/°𝑪 𝒒_𝒕𝒇= 𝒎̇_𝒇𝒄_𝒑𝒇 = 𝟓𝟒𝟓

𝟑𝟔𝟎𝟎∗ 𝟒, 𝟏𝟖 𝟏𝟎^𝟑= 𝟔𝟑𝟑 𝑾/°𝑪 𝒒_{𝒕𝒎𝒊𝒏}= 𝒒_𝒕𝒄 (huile)

3. Facteur de déséquilibre

𝑹 = 𝒒_{𝒕𝒎𝒊𝒏}

𝒒_{𝒕𝒎𝒂𝒙} =𝟒𝟏𝟐

𝟔𝟑𝟑= 𝟎, 𝟔𝟓

4. Le fluide qui subit la plus forte variation de température est le fluide qui a le plus petit débit thermique : c’est-à-dire : l’huile.

5. Puissance thermique

𝚽 = 𝒒_𝒕𝒄(𝑻_𝒄𝒆− 𝑻_𝒄𝒔) = 𝟒𝟏𝟐 ∗ (𝟏𝟓𝟎 − 𝟕𝟎) =𝟑𝟐, 𝟗𝟔 𝒌𝑾

6. Conservation du flux : flux de chaleur perdu par le fluide chaud est récupéré par le fluide froid.

𝚽 = 𝒒_𝒕𝒇(𝑻_𝒇𝒔− 𝑻_𝒇𝒆) ⟹ 𝑻_𝒇𝒔 = 𝚽

𝒒_𝒕𝒇+ 𝑻_𝒇𝒆 =𝟑𝟐, 𝟗𝟔 𝟏𝟎^𝟑

𝟔𝟑𝟑 + 𝟏𝟎 = 𝟔𝟐, 𝟏 °𝑪 7. Coefficient global de l’échangeur est donné par :

1 𝐾= 1

ℎ_ℎ+ 1

ℎ_𝑒 = 1

2270+ 1

5670= 6,17 10⁻⁴ 𝑊⁻¹. 𝑚². °𝐶 𝑲 = 𝟏𝟔𝟐𝟏 𝑾. 𝒎^−𝟐. °𝑪^−𝟏

Cette formule est établie en calculant les 3 résistances thermiques : Deux de convection et une de conduction qui est nulle car l’épaisseur du tube central est négligée.

B. Fonctionnement en mode contre-courant 1. Schéma : Echangeur contre-courant

2. Allure des températures

Tfe = 10°C Tfs = 62,1°C

Tce = 150°C

Tce = 70°C

0,25*2

0,25*4 0,25*4 0,25*2

0,25*2

0,25*2 0,25*2

0,25*2

0,25*2 0,25*2

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3. Efficacité de l’échangeur 𝑬= 𝚽

𝚽_𝒎𝒂𝒙= 𝑻_𝒄𝒆− 𝑻_𝒄𝒔

𝑻_𝒄𝒆− 𝑻_𝒇𝒆 = 𝟏𝟓𝟎 − 𝟕𝟎

𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟎=𝟎, 𝟓𝟕 4. Température moyenne logarithmique DTLM

𝑫𝑻𝑳𝑴 = ∆𝑻_𝒔− ∆𝑻_𝒆 𝐥𝐧 (∆𝑻_𝒔

∆𝑻_𝒆)

= (70 − 10) − (150 − 62,1) 𝑙𝑛 ( 70 − 10

150 − 62,1)

=−27,9

−0,38 =𝟕𝟑, 𝟒 °𝑪

5. Longueur de l’échangeur L

𝜱 = 𝑲 . 𝚺 . 𝑫𝑻𝑳𝑴, 𝑺 = 𝝅𝑫𝑳 ⟹ 𝐋 = 𝜱

𝒌. 𝝅𝑫. 𝑫𝑻𝑳𝑴

𝐋= 𝟑𝟐, 𝟗𝟔 𝟏𝟎^𝟑

𝟏𝟔𝟐𝟏. 𝝅. 𝟏, 𝟐𝟓 𝟏𝟎^−𝟐. 𝟕𝟑, 𝟒= 𝟕, 𝟎𝟓 𝒎

C. Fonctionnement en mode co-courant

Schéma : échangeur co-courant (NON demandé)

1. L’efficacité E est conservée, on peut alors déterminer le NUT.

𝑵𝑼𝑻 = −𝐥𝐧 (𝟏 − (𝟏 + 𝑹)𝑬)

𝟏 + 𝑹 = −ln [1 − (1 + 0,65) ∗ 0,57]

1 + 0,65 =𝟏, 𝟕𝟏

𝑵𝑼𝑻 = 𝑲 𝑺

𝒒_{𝒕 𝒎𝒊𝒏} ,𝑆 = 𝝅𝑫𝑳 ⟹ 𝐋 =𝒒_{𝒕𝒎𝒊𝒏} 𝑵𝑼𝑻

𝝅 𝑫 𝑲 = 𝟒𝟏𝟐 ∗ 𝟏, 𝟕𝟏

𝝅 ∗ 𝟏, 𝟐𝟓 𝟏𝟎^−𝟐 𝟏𝟔𝟐𝟏= 𝟏𝟏, 𝟏 𝒎 Conclusion : Pour une même efficacité, l’échangeur co-courant doit avoir une longueur plus grande.

2. Les températures de sortie des fluides sont les mêmes, car le flux imposé est le même.

Tfe = 10°C Tfs = 62,1°C

Tce = 150°C

Tce = 70°C

0,25*2

0,25*4

0,25*4 0,25*2

0,25*4

0,25*2

(10)

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(12)

12/13

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1/13 Corrigé /20 Numéro :

1/13

/20

Numéro :

Corrigé

2/13

3/13

4/13

5/13

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𝒎

=

[𝒎] = 𝑳

𝑮 =

[𝑮] = 𝟏

7/13

8/13

9/13

10/13

11/13

12/13

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