Ailette cylindrique

TF06_ailettes_01.xmcd

TF06

- Ailettes - Exercice 1

Ailette cylindrique

On peut calculer le Biot sur le rayon pour vérifier que la résistance au transfert conductif radial est négligeable devant le transfert convectif latéral, ce qui justifie l'isothermicité transversale.

λ:=384W m^-1K^-1 R 10 2 cm

:= L:=1m

hc:=34.9W m^-2K^-1 Ω:=πR² P:=2πR section droite périmètre

Bi hcR

λ = 4.5´10^-3 :=

T0:= 120°C TF:=20°C

Remarque : ω est parfois noté m ou n dans les ouvrages (ou en cours).

On trouve aussi D=1/ω. D est alors homogène à une longueur.

On pose :

θ= T-TF ω hcP

λΩ = 1.907m^-1 :=

L'équation différentielle est de la forme :

d²T dx²

hcP

λΩ

(

T-TF

)

- = 0 d²θ

dx² ω²θ

- = 0

La solution peut s'écrire avec des exponentiellles ou des fonctions hyperboliques θ= B1ch(ωx)+B2sh(ωx) dθ

dx = B1ωsh(ωx)+B2ωch(ωx)

Calcul simplifié :

débit nul en bout d'ailette (bout isolé)

On prend pour conditions aux limites, T=T₀ pour x=0, et dT/dx=0 pour x=L Ce qui donne q₀=T₀-T_F pour x=0 et dq/dx=0 pour x=L.

B1= θ0 0= θ0ωsh(ωL)+B2ωch(ωL) B2= -θ0th(ωL) θ θ0 ch(ωx) sh(ωL)

ch(ωL)sh(ωx)

æç

-

è ö÷

=

ø

θ

θ0

ch(ωL) ch(ωx)-sh(ωL) sh(ωx) ch(ωL)

= ch(ωL-ωx)

ch(ωL)

=

T x( )^:=TF⁺

(

T0 TF-

)

^ch[_ch^ω(₍^L_ωL^-₎^{x)] T' x( ) :=-}

(

T0 TF-

)

^ωsh[_ch^ω(₍^L_ωL^-₎^{x)] Phi x( ):=-λT' x( )Ω}

TL= T L( ) TL TF T0 TF-

ch(ωL) +

:= TL= 49.1°C

Φ0= Phi( )0 Φ0^:=λΩ

(

T0 TF-

)

^{ωth(ωL) Φ}0= 550.2W Φ00^:= hcΩ

(

T0 TF-

)

^Φ00= 27.4W η Φ0

Φ00

:= η= 20.1

Calcul amélioré :

débit non nul en bout d'ailette θ= θ0 ch(ωx)+B2sh(ωx) dθ

dx = θ0ωsh(ωx)+B2ωch(ωx) Pour la deuxième condition, on écrit que la chaleur qui arrive par conduction à travers la section Ω est évacuée par convection à travers la surface de l’extrémité Ω_L . Lorsque la barre est pleine, et que l’extrémité est plate, Ω et Ω_L sont égaux, mais ils peuvent être différents (voir le doigt de gant). De même, le coefficient convectif h_L peut être différent de h_c.

hL = hc ΩL = Ω -λΩT' L( )⁼ hLΩL TL

(

-TF

)

se développe en : -λΩ θ

(

0ωsh(ωL)+B2ωch(ωL)

)

⁼ hLΩL

(

θ0 ch(ωL)+B2sh(ωL)

)

On définit le nombre

adimensionnel : β hL

λω ΩL

Ω = 4.767´10^-2 :=

B2 -θ0sh(ωL)+βch(ωL) βsh(ωL)+ch(ωL) Après quelques calculs, on trouve : =

θ θ0

βsh(ωL-ωx)+ch(ωL-ωx) βsh(ωL)+ch(ωL)

= Ta x( )^:=TF⁺

(

T0 TF-

)

^βsh[ω_β⁽_sh^L₍^-_ω^x_L^)]₎⁺_+ch^ch[₍^ω_ω⁽_L^L₎^-x)]

MH 1/2 ^27/03/2012

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Ta x( )^:= TF⁺

(

T0 TF-

)

^βsh[ω_β⁽_sh^L₍^-_ω^x_L^)]₎⁺₊^ch_ch^[₍^ω_ω⁽_L^L₎^-x)]

T'a x( )^:=-

(

T0 TF-

)

^ωβch[ω_β⁽_sh^L₍^-_ω^x_L⁾₎^]₊⁺_ch^sh[₍^ω_ω⁽_L^L₎^{-x)] Φ}a x( ):=-λT'a x( )Ω

TaL= Ta L( ) TaL TF T0 TF- βsh(ωL)+ch(ωL) +

:= TaL= 47.8°C

Φa0= Φa( )0 Φa0^:=λΩ

(

T0 TF-

)

^ωβ_β^ch_sh(⁽_ωL^ωL₎⁾₊⁺_ch^sh(₍^ω_ω^L_L⁾₎ ^Φa0= 552.4W

Remarque : écart entre les 2 méthodes (température thermodynaique, en K)

TaL TL-

TaL+273.15K = -0.40% ηa Φa0 Φ00

:= ηa= 20.2

0 20 40 60 80 100

40 50 60 70 80 90 100 110 120

température (s) température (a)

Profil de température

Distance (cm)

Température (°C)

0 20 40 60 80 100

0 100 200 300 400 500 600

flux de chaleur (s) flux de chaleur (a)

Profil du flux de chaleur

Distance (cm)

Flux de chaleur (W)

MH 2/2 ^27/03/2012