Système de freinage - Ailette

TF06_ailettes_05.xmcd

TF06

- Ailettes - Exercice 5

Système de freinage - Ailette

Données : R:=1×cm (1) Profil de température

On considère une ailette de longueur L (très grande) On suppose que le débit de chaleur en bout d'ailette est nul.

λ 40 W m °C×

×

:= hc 20 W

m²×°C

× :=

On pose P:=2×π×R et Ω:=π×R² θ= T-Ta

Pdis 25 W m²

×

:= Ta:= 20°C

d²T dz²

hc P×

λ Ω× ^×

(

T-Ta

)

- =0 d²θ

dz² ω²×θ

- = 0 ω 2×hc

R×λ

:= ω= 10×m^-1

On utilise, au choix : D homogène à une longeur, ou w, inverse de D. Toutefois, ω est

préférable. On note que w est parfois noté m ou n dans les ouvrages (ou en cours). D R×λ

2×hc = 0.1m :=

La solution peut s'écrire avec des exponentiellles ou des fonctions hyperboliques

On prendra pour conditions aux limites, T=T₀ pour z=0, et dT/dz=0 pour z=L Ce qui donne q₀=T₀-T_a pour z=0 et dq/dz=0 pour z=L.

θ= B1 ch× (ω×z)+B2 sh× (ω×z) dθ

dz = B1×ω×sh(ω×z)+B2×ω×ch(ω×z) B1= θ0 B2= -θ0×th(ω×L) =-θ0 Lorsque L est "grand", th(wL) ≈ 1

θ= θ0 ch×( (ω×z)-sh(ω×z)) θ θ0

e^ωz+e^-ωz 2

e^ωz-e^-ωz - 2

æ ç è

ö ÷

×

ø

= θ θ0 e

-ω×z

×

= On peut calculer le Biot sur le rayon pour vérifier que la résistance au

transfert conductif radial est négligeable devant le transfert convectif latéral, ce qui justifie l'isothermicité transversale. hc R×

λ = 5´10^-3

T z( ) ⁼ Ta⁺

(

T0 Ta-

)

^×e-ω×z

(2) Puissance dissipée dT

dz ⁼-ω^×

(

T0 Ta-

)

^×e-ω×z

On a d'une part pour z=0 : Φ0 -λ×Ω dT

×dz

= ⁼λ Ω× ×ω^×

(

T0 Ta-

)

^{= λ π× ×R2× 2}_R^×_×^hc_λ^×

(

T0 Ta-

)

Φ0⁼ π×R× 2×λ×R×hc^×

(

T0 Ta-

)

d'autre part, sur la

surface latérale : ΦL 0

L

hc T z^×

(

( )-Ta

)

^×P z óô

õ d

=

0 L

hc P× ^×

(

T0 Ta-

)

^×e-ω×z z óô

õ d

= hc P× ^×

(

T0 Ta-

)

0 L

z e^-ω×z óô

õ d

×

=

on intègre

0 L

z e^-ω×z óô

õ d -1

ω×

(

e^-ω×L-1

)

= 1

= ω lorsque L est "grand"

ΦL hc P×

ω ^×

(

T0 Ta-

)

= hc×2×π×R R×λ

2×hc

× ^×

(

T0 Ta-

)

= ΦL⁼π×R× 2×λ×R×hc^×

(

T0 Ta-

)

(3) Température à la base de l'ailette T₀ Φ0 = Pdis×Ω= 7.854´10^-3W

T0 Ta Pdis R 2×λ×hc

×

+ = 20.1×°C

:= ΦL^:=π×R× 2×λ×R×hc^×

(

T0 Ta-

)

^{= 7.854´10-3W}

Il n'y a pas d'échauffement puisque la température augmente à peine d'un dixième de degré

MH 1/1 ^27/03/2012