U.T.C. - TF 06

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Durée 2 heures – Une feuille de formulaire autorisée

Les exercices doivent être obligatoirement rédigés sur des feuilles séparées.

Exercice 1 : Géothermie

La croûte continentale terrestre a une épaisseur L d’environ 35 km. On peut la considé- rer comme équivalente à une couche homogène de conductivité =23 W/m K. Au ni- veau du sol, la température est T₀=273 K, et à la profondeur L, elle vaut T_L=873 K.

1. Exprimer la densité de flux _th (puissance géothermique par unité de surface) issue de la croûte continentale, en fonction du rayon terrestre R et de l’épaisseur L de cette croûte (ainsi que , T₀ et T_L).

2. En considérant que l’épaisseur L est très petite devant le rayon R (L<<R), exprimer

_th en fonction de L (ainsi que , T₀ et TL). En déduire que le problème pourra être traité en géométrie plane.

3. En fait, il faut tenir compte du caractère radioactif des éléments de la croûte conti- nentale terrestre qui dissipent une puissance interne volumique supposée uniformé- ment répartie q_ra=2,25·10⁻⁵ W/m³. Déterminer le profil de la température de la croûte.

4. Représenter graphiquement ce profil.

5. Calculer la température T5 à la profondeur de 5 km.

6. En déduire ra puissance géothermique par unité de surface au niveau du sol, quand on tient compte des éléments radioactifs.

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Exercice 2 :

Échangeur cylindrique

Afin d’améliorer les performances d’un échangeur de chaleur, on est amené à étudier le tube cylindrique suivant :

 Les rayons intérieur et extérieur sont égaux à R1=1 cm et R2=1,3 cm.

 A l’intérieur circule un liquide à température uniforme T₁, le coefficient d’échanges est h1=3000 W/m² K.

 L’extérieur du tube est en contact avec un liquide à température uniforme T2, le coefficient d’échanges est h2=500 W/m² K.

 La conductivité du matériau constituant le tube est =15 W/mK.

On se propose d’étudier la résistance thermique globale du dispositif définie par



 T¹T²

R où  est le flux de chaleur échangé par unité de longueur du tube.

1. Le tube est nu (sans ailettes).

1.1. Calculer les résistances thermiques correspondant aux coefficients h1, h2 et au tube cylindrique.

1.2. En déduire la résistance thermique totale RS.

1.3. A partir des applications numériques, indiquer sur quelle partie du dispositif il faut intervenir pour améliorer notablement les échanges.

2. Le tube étant muni de n ailettes de largeur e, on étudie, dans un premier temps, le comportement d’une ailette.

2.1. Dans l’hypothèse d’une ailette semi-infinie, calculer l’efficacité de l’ailette c’est- à-dire le rapport du flux de chaleur échangé avec et sans ailette.

2.2. A partir du comportement d’une ailette de longueur finie, indiquer un ordre de grandeur de la longueur L de l’ailette qui permette de la considérer comme semi- infinie en première approximation (on supposera que les échanges de chaleur à l’extrémité libre de l’ailette sont négligeables).

A.N. Calculer L pour e=3 mm 3.

3.1. Pour le tube en présence de n ailettes supposées semi-infinies de largeur e=3 mm, calculer la résistance thermique de la partie externe du tube.

A.N. Calculer n pour que cette résistance thermique soit divisée par 3 par rapport à celle du tube sans ailette.

3.2. La longueur des ailettes étant L=4 mm, le nombre d’ailettes étant n=16, calculer la résistance thermique RA du tube avec ailettes et, en pourcentage, l’amélioration des échanges par rapport au tube sans ailettes.