TH3 – Diffusion thermique A – Travaux dirigés TH31 – Double vitrage

TH3 – Diffusion thermique A – Travaux dirigés TH31 – Double vitrage

1°) En régime permanent :

𝜕𝜕²𝑇𝑇

𝜕𝜕𝑥𝑥² = 0 ⇒ _{𝑇𝑇(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝑥𝑥+}𝐵𝐵 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 �𝑇𝑇(0) =𝑇𝑇_𝑖𝑖 𝑇𝑇(𝑎𝑎) = 𝑇𝑇_𝑒𝑒

⇒ _{𝑇𝑇(𝑥𝑥) =} ^{𝑇𝑇𝑒𝑒 − 𝑇𝑇𝑖𝑖}

𝑎𝑎 𝑥𝑥 +𝑇𝑇_𝑖𝑖 D’où :

φ_{1 = 𝑗𝑗𝑡𝑡ℎ𝑆𝑆 =−}λ^{𝑑𝑑𝑇𝑇}

𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑆𝑆 = −λ^{𝑇𝑇𝑒𝑒 − 𝑇𝑇𝑖𝑖}

𝑎𝑎 𝑆𝑆 = 1

𝑅𝑅_𝑡𝑡ℎ(𝑇𝑇_𝑖𝑖 − 𝑇𝑇_𝑒𝑒)

⇒ _{𝑅𝑅𝑡𝑡ℎ =}λ^𝑎𝑎_𝑆𝑆

2°)

a) En régime permanent et dans le configuration proposée le flux φ₂ se conserve à travers la paroi d’où :

𝑇𝑇_𝑖𝑖 − 𝑇𝑇_𝑒𝑒 = (𝑇𝑇_𝑖𝑖 − 𝑇𝑇₁) + (𝑇𝑇₁− 𝑇𝑇₂) + (𝑇𝑇₂ − 𝑇𝑇_𝑒𝑒) = �𝑅𝑅𝑡𝑡ℎ,𝑣𝑣𝑒𝑒𝑣𝑣𝑣𝑣𝑒𝑒 +𝑅𝑅_{𝑡𝑡ℎ,𝑎𝑎𝑖𝑖𝑣𝑣} +𝑅𝑅𝑡𝑡ℎ,𝑣𝑣𝑒𝑒𝑣𝑣𝑣𝑣𝑒𝑒�φ₂

⇔φ_{2 =} ^{𝑇𝑇𝑖𝑖 − 𝑇𝑇𝑒𝑒}

2 𝑅𝑅𝑡𝑡ℎ,𝑣𝑣𝑒𝑒𝑣𝑣𝑣𝑣𝑒𝑒 +𝑅𝑅_{𝑡𝑡ℎ,𝑎𝑎𝑖𝑖𝑣𝑣} = 𝑇𝑇_𝑖𝑖 − 𝑇𝑇_𝑒𝑒 2 𝑎𝑎

λ_𝑆𝑆^{+ 𝑎𝑎}

′

λ^′_𝑆𝑆 Donc :

φ₂ φ₁ ⁼

λ𝑎𝑎_𝑆𝑆 2 𝑎𝑎

λ_𝑆𝑆^{+ 𝑎𝑎}

′

λ^′_𝑆𝑆

= 1

2 +𝑎𝑎^′ 𝑎𝑎 λ

λ^′

∼ _0,02 b) On en déduit :

⎩⎪

⎨

⎪⎧ 𝑎𝑎λ_𝑆𝑆 ^{=𝑇𝑇𝑖𝑖} φ^{− 𝑇𝑇}₂ ^{1 = 𝑇𝑇𝑖𝑖}φ^{− 𝑇𝑇}₁ ^𝑒𝑒 ⇒ _{𝑇𝑇1 = 𝑇𝑇𝑖𝑖 −}φ₂

φ₁^{(𝑇𝑇𝑖𝑖 − 𝑇𝑇𝑒𝑒}) = 291,6𝐾𝐾 𝑎𝑎

λ_𝑆𝑆 ^=𝑇𝑇2φ^{− 𝑇𝑇}₂ ^{𝑒𝑒 = 𝑇𝑇𝑖𝑖}φ^{− 𝑇𝑇}₁ ^𝑒𝑒 ⇒ _{𝑇𝑇2 =𝑇𝑇𝑒𝑒 +}φ₂

φ₁^{(𝑇𝑇𝑖𝑖 − 𝑇𝑇𝑒𝑒}) = 270,4𝐾𝐾

On remarque que la température varie peu dans le verre dans le cas du double vitrage.

Laurent Pietri ~ 2 ~ Lycée Joffre - Montpellier

3°)

a) On néglige les échanges superficiels en prenant ℎ → ∞. b) Soit : φ _{=ℎ𝑆𝑆 �𝑇𝑇𝑠𝑠 − 𝑇𝑇𝑓𝑓� =} ¹

𝑅𝑅𝑡𝑡ℎ�𝑇𝑇_𝑠𝑠 − 𝑇𝑇_𝑓𝑓� ⇒ _{𝑅𝑅𝑡𝑡ℎ =} ¹ c) La paroi est maintenant constituée : ℎ𝑆𝑆

- De trois résistances en série pour la vitre simple ; (𝑇𝑇_𝑖𝑖^′ − 𝑇𝑇_𝑒𝑒^′) = φ₁^′_{�𝑅𝑅𝑡𝑡ℎ,𝑖𝑖 +𝑅𝑅}𝑡𝑡ℎ,𝑣𝑣𝑒𝑒𝑣𝑣𝑣𝑣𝑒𝑒 +𝑅𝑅_{𝑡𝑡ℎ,𝑒𝑒}� = 1

𝑆𝑆 � 1 ℎ_𝑖𝑖 +𝑎𝑎

λ⁺_ℎ¹_𝑒𝑒^�φ₁^′ - De sept résistances en série pour la double-vitre :

(𝑇𝑇_𝑖𝑖^′− 𝑇𝑇_𝑒𝑒^′) =φ₂^′_{�𝑅𝑅𝑡𝑡ℎ,𝑖𝑖 +𝑅𝑅}𝑡𝑡ℎ,𝑣𝑣𝑒𝑒𝑣𝑣𝑣𝑣𝑒𝑒 +𝑅𝑅_{𝑡𝑡ℎ,𝑖𝑖} +𝑅𝑅_{𝑡𝑡ℎ,𝑎𝑎𝑖𝑖𝑣𝑣} +𝑅𝑅_{𝑡𝑡ℎ,𝑖𝑖} +𝑅𝑅𝑡𝑡ℎ,𝑣𝑣𝑒𝑒𝑣𝑣𝑣𝑣𝑒𝑒 +𝑅𝑅_{𝑡𝑡ℎ,𝑒𝑒}�

=1 𝑆𝑆 �

3 ℎ_𝑖𝑖 +2𝑎𝑎

λ ^+𝑎𝑎

′

λ^{′ +}_ℎ¹_𝑒𝑒^�φ₂^′ Donc :

φ₂^′ φ₁^{′ =}

ℎ1_𝑖𝑖 +𝑎𝑎 λ^{+ 1}_ℎ𝑒𝑒 ℎ3_𝑖𝑖 + 2𝑎𝑎

λ ^+𝑎𝑎

′

λ^{′ + 1}ℎ_𝑒𝑒

∼ _0,35

Ce rapport est nettement plus élevé que celui trouvé à la question 2°) ; les échanges superficiels thermiques entre l’air et les vitres ne sont pas à négliger.

TH32 – Ailette de refroidissement

Laurent Pietri ~ 4 ~ Lycée Joffre - Montpellier

Laurent Pietri ~ 6 ~ Lycée Joffre - Montpellier

TH33 – Effet « cave »

Laurent Pietri ~ 8 ~ Lycée Joffre - Montpellier

B – Exercices supplémentaires TH34 – Fil parcouru par un courant électrique

1°) Le système Σ est immobile et indéformable d’où le premier principe entre t et t+dt : 𝑑𝑑𝑑𝑑 =δ𝑄𝑄 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∂𝑢𝑢

∂𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡ρ_𝑑𝑑τ ₌ ρ_𝑎𝑎^∂𝑇𝑇

∂𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑τ

Σ reçoit un transfert thermique en r, à travers le cylindre intérieur de surface 2πrl et en perd en r+dr, à travers le cylindre extérieur de surface 2π(r+dr)l et reçoit éventuellement l'énergie Pdt à l'intérieur de son volume dτ :

δ_{𝑄𝑄𝑒𝑒 =�}φ_{(𝑟𝑟,𝑡𝑡)−}φ_{(𝑟𝑟+𝑑𝑑𝑟𝑟,𝑡𝑡)�𝑑𝑑𝑡𝑡 = −}^𝜕𝜕φ

𝜕𝜕𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑡𝑡= −𝜕𝜕(2π_{𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑗𝑗𝑡𝑡ℎ)}

𝜕𝜕𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑡𝑡 δ_{𝑄𝑄𝑒𝑒 = �}φ_{(𝑟𝑟,𝑡𝑡)−}φ_{(𝑟𝑟+𝑑𝑑𝑟𝑟,𝑡𝑡)�𝑑𝑑𝑡𝑡 = −2𝜋𝜋𝑟𝑟}^{𝜕𝜕(𝑟𝑟𝑗𝑗𝑡𝑡ℎ)}

𝜕𝜕𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑡𝑡 En tenant compte de l’énergie thermique créée :

δQ = −2π𝑟𝑟∂(𝑟𝑟𝑗𝑗_𝑡𝑡ℎ)

∂𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑡𝑡+𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑡𝑡 2π_{𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑟𝑟} D’où :

ρ_𝑎𝑎^∂𝑇𝑇

∂𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 2π_{𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑟𝑟 = −2}π𝑟𝑟∂(𝑟𝑟𝑗𝑗_𝑡𝑡ℎ)

∂𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑑𝑑𝑡𝑡+𝑃𝑃𝑑𝑑𝑡𝑡 2π_{𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑟𝑟}

⇔ρ_𝑎𝑎^∂𝑇𝑇

∂𝑡𝑡 𝑟𝑟 = −∂(𝑟𝑟𝑗𝑗_𝑡𝑡ℎ)

∂𝑟𝑟 +𝑃𝑃 𝑟𝑟 ⇔ ρ_𝑎𝑎^{𝜕𝜕𝑇𝑇}

𝜕𝜕𝑡𝑡 =−1 𝑟𝑟

𝜕𝜕(𝑟𝑟𝑗𝑗_𝑡𝑡ℎ)

𝜕𝜕𝑟𝑟 +𝑃𝑃 Or : 𝚥𝚥����⃗_𝑡𝑡ℎ = −λ^∂𝑇𝑇

∂𝑣𝑣 𝑢𝑢����⃗_𝑣𝑣

⇒ρ_𝑎𝑎^{𝜕𝜕𝑇𝑇}

𝜕𝜕𝑡𝑡 = λ 𝑟𝑟

𝜕𝜕 �𝑟𝑟 𝜕𝜕𝑇𝑇𝜕𝜕𝑟𝑟�

𝜕𝜕𝑟𝑟 +𝑃𝑃

Laurent Pietri ~ 10 ~ Lycée Joffre - Montpellier

TH35 – Chauffage d’une pièce

Laurent Pietri ~ 12 ~ Lycée Joffre - Montpellier

TH36 – Résistances thermiques en coordonnées sphériques et cylindriques

1°) Un bilan d’énergie donne :

𝑑𝑑𝑑𝑑 =δ_𝑄𝑄

⇔ρ_𝑎𝑎^{𝜕𝜕𝑇𝑇}

𝜕𝜕𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑τ _{= (}φ_{(𝑟𝑟,𝑡𝑡)−}φ_{(𝑟𝑟+𝑑𝑑𝑟𝑟,𝑡𝑡))𝑑𝑑𝑡𝑡} En régime stationnaire :

⇔ _{0 =} ^𝜕𝜕φ

𝜕𝜕𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑟𝑟⇒ φ_{(𝑟𝑟) =} φ₀ 2°) En coordonnées sphériques :

φ_{= 𝑗𝑗𝑡𝑡ℎ × 4𝜋𝜋𝑟𝑟}² φ _{= −}λ ^{𝜕𝜕𝑇𝑇}

𝜕𝜕𝑟𝑟4𝜋𝜋𝑟𝑟² =φ₀

⇒ _{𝑑𝑑𝑇𝑇 =−} φ₀ 4πλ_𝑟𝑟^{2𝑑𝑑𝑟𝑟}

⇒ _{𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1 =} φ₀

4πλ^�_𝑅𝑅¹₂⁻_𝑅𝑅¹₁^�

⇒ _{𝑇𝑇1− 𝑇𝑇2 =} φ₀

4πλ^�_𝑅𝑅¹₁⁻_𝑅𝑅¹₂^�

⇒ _{𝑅𝑅𝑡𝑡ℎ =} ¹

4πλ^�_𝑅𝑅¹₁⁻_𝑅𝑅¹₂^� Si 𝑅𝑅₂ = 𝑅𝑅₁+𝑎𝑎 alors ¹

𝑅𝑅₂^{𝐷𝐷𝐷𝐷}=⏞ _𝑅𝑅¹

1�1−_𝑅𝑅^𝑒𝑒

1� ⇒ _{𝑅𝑅𝑡𝑡ℎ =} ¹

4πλ�_𝑅𝑅^𝑒𝑒

12�

⇒ _{𝑅𝑅𝑡𝑡ℎ =}λ^𝑎𝑎_𝑆𝑆 3°) En coordonnées cylindriques :

φ _{= 𝑗𝑗𝑡𝑡ℎ× 2𝜋𝜋𝑟𝑟𝑟𝑟} ⇔φ_{= −}λ ^{𝜕𝜕𝑇𝑇}

𝜕𝜕𝑟𝑟2𝜋𝜋𝑟𝑟𝑟𝑟 =φ₀

⇒ _{𝑑𝑑𝑇𝑇 =−} φ₀ 2𝜋𝜋λ_{𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑟𝑟}

⇒ _{𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1 =−} φ₀

2πλ_𝑟𝑟^{ln�𝑅𝑅}_𝑅𝑅1^2�

⇒ _{𝑇𝑇1− 𝑇𝑇2 =} φ₀

2πλ_{𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑙𝑙 �}^𝑅𝑅_𝑅𝑅²₁^�

⇒ _{𝑅𝑅𝑡𝑡ℎ =} ¹

2πλ_{𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑙𝑙 �}^𝑅𝑅_𝑅𝑅²₁^� Si 𝑅𝑅₂ = 𝑅𝑅₁+𝑎𝑎 alors ln�^𝑅𝑅_𝑅𝑅²

1�^{𝐷𝐷𝐷𝐷}=⏞ _𝑅𝑅^𝑒𝑒

1 ⇒ _{𝑅𝑅𝑡𝑡ℎ =} ^𝑒𝑒

2π_𝑅𝑅1λ_𝑙𝑙

⇒ _{𝑅𝑅𝑡𝑡ℎ =}λ^𝑎𝑎_𝑆𝑆

TH37 – Thermorégulation type « Manchots »