TH2 – Diffusion de particules A - Travaux dirigés TH21 – Diffusion de particules dans un axone

TH2 – Diffusion de particules A - Travaux dirigés

TH21 – Diffusion de particules dans un axone

TH22 – Partage entre deux solvants

1°)

a) L’équation locale de conservation de la matière s’écrit :

𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕+𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 = 0 Or :

𝚥𝚥⃗=−𝐷𝐷 𝜕𝜕𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑢𝑢����⃗_𝑥𝑥

⇒ ^{𝜕𝜕𝜕𝜕}

𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝐷𝐷 𝜕𝜕²𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕²

b) En régime permanent 𝜕𝜕(𝜕𝜕) = ^{𝑛𝑛2−𝑛𝑛}_𝑙𝑙 ¹𝜕𝜕+𝜕𝜕₁ d’où : 𝚥𝚥⃗= 𝐷𝐷^{𝑛𝑛1−𝑛𝑛}_𝑙𝑙 ² 𝑢𝑢����⃗_𝑥𝑥 Or : φ_{= 𝜕𝜕𝑗𝑗}

⇒φ _{= 𝐷𝐷𝑗𝑗}^{𝜕𝜕1 − 𝜕𝜕2} 𝑙𝑙 2°)

a) On a : 𝑁𝑁(0) =𝑁𝑁(𝜕𝜕)⇒ _{𝜕𝜕0ℎ2 = 𝜕𝜕1ℎ1+𝜕𝜕2ℎ2}

b) Pour le flux d’iode de l’eau vers l’interface : (𝑙𝑙 → 𝑙𝑙₂,𝜕𝜕₁ → 𝜕𝜕₂ 𝑒𝑒𝜕𝜕 𝜕𝜕₂ → 𝜕𝜕₂^∗) φ ₌^{𝐷𝐷2𝑗𝑗}

𝑙𝑙₂ (𝜕𝜕₂− 𝜕𝜕₂^∗)

Et pour le flux d’iode du benzène vers l’interface : (𝑙𝑙 → 𝑙𝑙₁,𝜕𝜕₁ → 𝜕𝜕₁^∗ 𝑒𝑒𝜕𝜕 𝜕𝜕₂ → 𝜕𝜕₁) φ ₌ ^{𝐷𝐷1𝑗𝑗}

𝑙𝑙₁ (𝜕𝜕₁^∗ − 𝜕𝜕₁) 3°)

a) Les deux flux sont équivalents : 𝐷𝐷₂𝑗𝑗

𝑙𝑙₂ (𝜕𝜕₂− 𝜕𝜕₂^∗) = 𝐷𝐷₁𝑗𝑗

𝑙𝑙₁ (𝜕𝜕₁^∗ − 𝜕𝜕₁)

⇔ α¹_𝑙𝑙^{(𝜕𝜕2− 𝜕𝜕2∗) = 1}_𝑙𝑙 ^{(𝐾𝐾𝜕𝜕2∗ − 𝜕𝜕1)}

⇔ _{𝜕𝜕1 =𝐾𝐾𝜕𝜕2}^∗ ₋α^{1(𝜕𝜕2− 𝜕𝜕2∗) = 𝜕𝜕2∗ �𝐾𝐾+1}α^{� −𝜕𝜕}α² Or :

𝜕𝜕₀ℎ₂ = 𝜕𝜕₁ℎ₁+𝜕𝜕₂ℎ₂⇔ _{𝜕𝜕0 =} ¹

α^{𝜕𝜕1+𝜕𝜕2}⇔ _{𝜕𝜕1 =} α _{(𝜕𝜕0 − 𝜕𝜕2)} Donc :

α _{(𝜕𝜕0 − 𝜕𝜕2) = 𝜕𝜕2}^∗_{�𝐾𝐾 +}α^{1� −𝜕𝜕}α²

⇔ _𝜕𝜕2^∗ _�𝐾𝐾+α^{1� =}α _{(𝜕𝜕0− 𝜕𝜕2) +}^𝜕𝜕α²

⇔ _𝜕𝜕2^∗ ₌α _{(𝜕𝜕0− 𝜕𝜕2) +}^𝜕𝜕α² 𝐾𝐾+ 1α

⇔ _𝜕𝜕2^∗ ₌ α² _{(𝜕𝜕0− 𝜕𝜕2) + 𝜕𝜕2}

1 +α_𝐾𝐾 ^{𝑒𝑒𝜕𝜕 𝜕𝜕1∗ =𝐾𝐾}

α² _{(𝜕𝜕0− 𝜕𝜕2)− 𝜕𝜕2} 1 +α_𝐾𝐾

b) On a : −^{𝑑𝑑𝑁𝑁}_{𝑑𝑑𝑑𝑑}² = φ

⇔ ₋^{𝑑𝑑𝜕𝜕2}

𝑑𝑑𝜕𝜕 𝑗𝑗ℎ² = 𝐷𝐷₂𝑗𝑗

𝑙𝑙₂ (𝜕𝜕₂ − 𝜕𝜕₂^∗)

⇔ ₋^{𝑑𝑑𝜕𝜕2}

𝑑𝑑𝜕𝜕 α _{ℎ =} α^𝐷𝐷 _𝑙𝑙^{(𝜕𝜕2 − 𝜕𝜕2∗)}

⇔ ₋^{𝑑𝑑𝜕𝜕2}

𝑑𝑑𝜕𝜕 = 𝐷𝐷

α² _ℎ𝑙𝑙^{�𝜕𝜕2 −}

α² _{(𝜕𝜕0 − 𝜕𝜕2) + 𝜕𝜕2} 1 +α_𝐾𝐾 ^�

⇔ ₋^{𝑑𝑑𝜕𝜕2}

𝑑𝑑𝜕𝜕 = 𝐷𝐷

α² _ℎ𝑙𝑙^{�𝜕𝜕2�1 +−1 +} α² 1 +α_𝐾𝐾^{� −}

α² _𝜕𝜕0 1 +α_𝐾𝐾^�

⇔ ^{𝑑𝑑𝜕𝜕2}

𝑑𝑑𝜕𝜕 +𝜕𝜕₂� 𝐷𝐷 α² _ℎ𝑙𝑙^�

α_𝐾𝐾+α²

1 +α_𝐾𝐾 ^{�� =} _ℎ𝑙𝑙^𝐷𝐷 _{1 +}^𝜕𝜕0α_𝐾𝐾

⇔ ^{𝑑𝑑𝜕𝜕2}

𝑑𝑑𝜕𝜕 +𝜕𝜕₂� 𝐷𝐷

α _ℎ𝑙𝑙^{� 𝐾𝐾+} α

1 +α_𝐾𝐾^��= _ℎ𝑙𝑙^𝐷𝐷_{1 +}^𝜕𝜕0α_𝐾𝐾

⇔ ^{𝑑𝑑𝜕𝜕2} 𝑑𝑑𝜕𝜕 +𝜕𝜕₂

τ ⁼_ℎ𝑙𝑙^𝐷𝐷 _{1 +}^𝜕𝜕0α_𝐾𝐾 ^{𝑒𝑒𝜕𝜕} τ ₌ α_ℎ𝑙𝑙 𝐷𝐷

1 +α_𝐾𝐾 α_+𝐾𝐾 c) ⇒ τ _{= 5 10}⁶_{𝑠𝑠 = 57𝜕𝜕}

B – Exercices supplémentaires

TH23 – Diffusion de molécules à travers une membrane

TH24 – Diffusion dans un cylindre

TH25 – Diffusion d’atomes dans un solide

TH26 – Diffusion de neutrons dans un réacteur nucléaire

TH27 – Perturbation sinusoïdale de concentration