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Diffusion critique des neutrons
Jacques Villain
To cite this version:
Jacques Villain. Diffusion critique des neutrons. Journal de Physique, 1964, 25 (5), pp.618-626.
�10.1051/jphys:01964002505061800�. �jpa-00205841�
DIFFUSION CRITIQUE DES NEUTRONS Par JACQUES VILLAIN,
Service de Physique du Solide et de Résonance Magnétique, Centre d’Études Nucléaires de Saclay.
Résumé. 2014 La diffusion des neutrons par les corps
magnétiques
présente une intensité particu-lièrement grande à la température critique à cause des fluctuations d’aimantation importantes qui
se produisent alors.
On montre que la section efficace critique est proportionnelle à la susceptibilité dans un champ statique sinusoïdal, dont on donne des méthodes de calcul approché.
Lorsqu’on se rapproche des conditions critiques, la diffusion tend à devenir élastique, car la
relaxation des fluctuations est freinée par des effets thermodynamiques, et aussi cinématiques
dans le cas des ferromagnétiques.
On étudie l’inélasticité de la diffusion critique. Les théories faites jusqu’ici reposent sur des hypothèses difficiles à justifier, et ne paraissent pas en accord avec l’expérience.
Abstract. 2014 The neutron scattering cross section of magnetic samples becomes very large near
the critical point because of the occurrence of important fluctuations of magnetization.
The critical cross section is shown to be proportional to the susceptibility in a static sinusoidal magnetic field, which can be calculated approximately.
The scattering tends to become elastic when T approaches the critical temperature and when the
scattering vector tends to a reciprocal lattice point (in a ferromagnet) or to a superlattice point (in an antiferromagnet) because the relaxation of the fluctuations is then forbidden by thermo- dynamic (and, in a ferromagnet, kinematic) causes.
The theory of the inelasticity of the quasi-critical scattering does not seem to agree with experi-
ment. This may be due to the fact that this theory is based upon ill-justified assumptions.
PHYSIQUE 25, 1964,
1. Généralités. - Si l’on envoie sur un corps
magnétique des neutrons supposés monochro- matiques de vecteur d’onde k1, et que l’on mesure
l’intensité du flux des neutrons diffusés de vecteur
d’onde k2 = k, -~- k (fig. 1), on constate que cette intensité devient très grande au voisinage du point
d’ordre pour
FiG. I. - Schéma de la diffusion.
a) k voisin d’un noeud du réseau réciproque t
pour un ferromagnétique ou un ferrimagnétique ; b) k voisin d’un noeud de surstructure pour un
antiferromagnétique.
Ce phénomène découvert par Squires [1] et
Palevski et Hughes [2] a été expliqué théorique-
ment par Van Hove [3] qui a montré qu’il était dû
aux fluctuations d’aimantation intenses qui appa- raissent au voisinage du point critique.
II. Théorie de la diffusion magnétique des neu-
trons. - Désignant par 1ïÜJ le transfert d’énergie :
on peut montrer [3], [4] que la section efficace différentielle de diffusion par des ions magnétiques
de neutrons non polarisés est (soustraction faite
de la diff usion nucléaire) :
SR = spin de l’ion situé au point R
m = masse de l’électron.
e - charge de l’électron.
c = vitesse de la lumière.
y = -1,91.
fR(k) = 1 f ’ ’ d3 rA(r) e---4k.r = facteur de forme
nR ionR ’ ’ magnétique.
nombre d’électrons célibataires dans l’ion R.
>4(r) = densité des électrons célibataires.
Dans la formule (1) il est intéressant de poser :
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01964002505061800
619 où
correspond aux raies de diffraction étudiées par les spectrosçopistes, alors que
correspond aux taches diffuses dues aux fluctua- tions..
C’est la partie (V), généralement inélastique, qui
nous intéresse ici. On peut mettre cette section
efficace sous la forme :
(cf. Appendice I)
où
d’après (II).
La formule (VI) peut paraitre plus compliquée
que la formule (V) ; mais nous verrons aux para-
graphes III et VIII que la fonction
présente des propriétés remarquables.
Tout d’abord, on vérifie facilement que
Par suite, pour un réseau centrosymétrique (à la
fois du point de vue nucléaire et magnétique), la
fonction
qui intervient dans (VI), est réelle et paire. Sa
transformée de Fourier est donc une fonction réelle et paire de oo.
Nous allons maintenant montrer que est
une susceptibilité en champ non-uniforme.
III. Susceptibilité d’un système de spins en pré-
sence d’un champ magnétique statique non-uni- forme. - Supposons que chaque spin SR soit soumis à un petit champ magnétique de composantes dHR.
L’hamiltonien du système est
où X est l’hamiltonien en l’absence des champs ô HR, sur lequel nous ne faisons aucune hypothèse.
On sait (cf. Appendice II) que, si Je et h sont des opérateurs et ~ un nombre, on a au deuxième
ordre près en h :
Par suite la matrice densité du système est
L’accroissement de la composante 81 du spin SR
dû aux champs est donc
Il est naturel de définir une susceptibilité x~~,
par
D’où
On trouvera dans [5] de plus amples détails.
Dans le cas où tous les ions magnétiques ont
même facteur de forme et sont répartis aux noeuds
d’un réseau de Bravais, la section efficace (VI)
s’écrit :
où
et on a
où xfcY est la susceptibilité par spin, dans un champ
sinusoïdal
--
définie par
où 8yR est l’accroissement du moment magnétique
du spin SR dû au champ sinusoïdal.
Dans le cas où tous les spins sont orientés sui-
vant Oz, on a
et on sait qu’en champ extérieur nul Z%C/. tend vers
l’infini dans les cas suivants : TABLEAU 1
On voit en particulier que X1’ciJ. tend vers l’infini
dans les cas où se produit la diffusion critique dé-
crite au § I. On montrera en outre au § VIII que dans ces mêmes cas la fonction définie par
(XI) décroît très lentement. Par suite, d’après (X),
la diffusion est presque élastique ; les dispositifs expérimentaux actuels sont incapables de faire
une analyse précise en énergie et on peut admettre (approximation statique) que, lorsqu’on renonce
à toute analyse en énergie, on mesure :
Cette formule résulte de l’intégration de (X) quand la diff usion est presque élastique.
Dans les paragraphes suivants nous donnerons
des méthodes approchées de la susceptibilité statique. Nous vérifierons la formule de Van Hove
et nous montrerons comment on peut généraliser
cette formule à d’autres cas.
IV. Calcul thermodynamique de la susceptibilité
d’un ferromagnétique. - L’énérgie libre d’un corps
ferromagnétique de volume V en fonction de l’in-
tensité d’aimantation m(r) est :
mo est l’aimantation moyenne qui satisfait à
On peut poser
où Q s’annule au point critique. Cette annulation est due au fait que Q est la somme d’un terme positif (entropie) qui augmente avec la tempé-
rature T, et d’un terme négatif (énergie), qui varie
peu avec T.
La forme quadratique 1 n~ ()y m~,
introduite pour les cristaux cubiques par Landau et Lifshitz et par Néel dans la théorie des domaines,
décrit une énergie et est donc définie positive à
toute température.
Posant
et
on peut calculer la variation 8W de (XV) corres- pondant à de petites variations
et 8Hq des ~q des Hq.
On trouve :
Les susceptibilités s’obtiennent facilement
(pour k petit) en posant
et en minimisant ôo par rapport aux En
l’absence d’anisotropie,
et la susceptibilité par maille est :
où v est le volume de la maille et où
621 Pour un cristal cubique il n’y a que deux cons-
tantes A~~ et Al :
Les paramètres A1 et AIl n’ont pas de singularité
au point critique et on peut les considérer comme
constants dans la région critique :
A peut être déterminé expérimentalement, ou théoriquement par l’approximation du champ molé-
culaire par exemple.
V. Approximation du champ moléculaire. -- Elle permet de déterminer les susceptibilités même
dans des réseaux très compliqués. On écrit :
où Hn est le champ appliqué en R.
Donnons à HR un accroissement BHR. La diifé- rentiation de (XVII) donne :
IR
où
AR = sR BR(Bg03BCB sR KR) = SR > /KR
KR
2 ’ , d
ÙLR ’ Bg03BCB 4 J(,R) ; §
On en déduit aisément :
Cette relation donne a HR en fonction de 8SR >
Il suffit de l’inverser pour obtenir le tenseur suscep- tibilité.
Pour un réseau de Bravais ferromagnétique on
trouve :
- - -
Pour 1~ petit on retrouve les formules (XVI) et (XVI bis). Pour un cristal cubique :
où a est le côté de la pseudo-maille cubique.
Pour un réseau de Bravais au-dessus du point
d’ordre les formules précédentes restent valables
mais il est préférable de les écrire sous la forme :
valable en l’absence de champ magnétique.
Pour un antiferromagnétique au-dessous du
point de Néel, on trouve en l’absence de champ :
où ko est un noeud de surstructure. est le maximum de 3( k) .
Les améliorations de la théorie du champ molé-
culaire [7] ne modifient guère les résultats précé-
dents : le point de Curie est déplacé et les autres paramètres sont un peu modifiés. En particulier la
dérivée de la susceptibilité parama-
gnétique en champ nul, qui intervient dans (XVI),
reste finie. Nous allons voir que l’on pense actuel- lement qu’il n’en est pas ainsi.
VI. Développement de la susceptibilité en puis-
sances de 1 IKB T. - Pour paradoxal que cela
paraisse, on pense que c’est actuellement la meil- leure méthode pour connaître le comportement de la susceptibilité au voisinage du point critique.
Les deux premiers termes correspondent à l’approximation du champ moléculaire.
Le calcul a été poussé jusqu’à l’ordre 6 [9].
Prenons l’exemple suivant : cristal cubique à faces
centrées avec interactions entre premiers voisins,
S = oo ; K = 0. Il est intéressant de calculer la
’
dérivée logarithmique de xo. On trouve, d’aprés [10]:
avec
y =-=2
Cette série ressemble étonnam-3
ment à une série géométrique, et il est naturel de
penser que le rayon de convergence :
définit la température critique. Posant alors :
où
et où en tend vers 0 assez vite pour que la série
f(y) = E En yn
converge même au point critique, on trouve
D’où au voisinage de T~ :
on trouve d’après [10] les résultats suivants :
TABLEAU II
La limite de till) parait peu différente de 4/3 Après avoir examiné d’autres cas, Marshall [10]
considère le résultat [-1 = 4/3 comme général :
Par ailleurs la validité au point critique de la
tormule (XIV) pourrait être remise en question.
VI I. Résultats expérimentaux. - La validité de
l’approximation statique est bonne au-dessus de T.
Au-dessous elle surestime la diffusion des ondes de
spin. Ainsi aux petits angles (~ 1°) dans le fer elle devient inappliquable dès Tc -10° [11]
La formule (XIV) a été vérifiée avec soin pour le fer et parait bien satisfaite [11], [12]. Pour le
nickel il faut ajouter des termes en k4 au dénomi-
nateur de (XIV).
La loi (XVIII) serait vérifiée pour le fer jusqu’à
Tc + ~.2° d’après Jacrot et jusqu’à 40°
d’après Passell [13]. Elle semble également con-
forme aux mesures magnétiques directes dans un
domaine de quelques dizaines de degrés au-dessus
du point de Curie. Une mesure au voisinage immé-
diat du point de Curie a été faite à Saclay [14] par Allain et F. Dumesnil pour le nickel ; elle semble montrer que varie linéairement avec la tempé-
rature entre T ~ et T ~ + 4°.
Il est intéressant d’étudier un cristal covalent où la théorie du champ moléculaire peut s’appliquer.
Riste [15] a fait cette étude pour la magnétite ; il
trouve un accord satisfaisant sauf pour au- dess us du point de Curie, ce qui est parfaitement
FIG. II. - Intensités diffusées par le fer aux petits angles. La bosse vers Tc - 25° est due aux ondes de spin.
Longueur d’onde moyenne des neutrons incidents : 4,75 A.
623
Fm. III. - Action d’un champ de 300 0 sur l’intensité diffusée à 1009 par le fer ; A = 4,75 A.
normal puisque l’approximation quasi-statique
n’est plus valable.
Un champ extérieur de 300 0 suffit à faire prati- quement disparaître l’anomalie de diffusion cri-
tique III). Ceci est en accord avec la
théorie [7] et découle de la formule (XVI).
VIII. Inélasticité de la diffusion magnétique des
neutrons. - Ayant maintenant une bonne idée de l’ordonnée à l’origine de la fonction rp%Y(t) définie
par (XI), étudions sa variation avec t. Celle-ci peut
être connue pour t petit par le développement de Taylor :
pour t = 0 et rc impair, dans un cristal centro- symétrique.
Tout d’abord pour un hamiltonien qui conserve
le spin total,
THÉORÈME A. - Pour des interactions d’échange
toutes les dérivées ~~Y~2n) (o) tendent vers 0 quand k tend vers 0 ou un n0153ud du réseau réci- proque.
(1) On se limite dans la suite au cas d’un réseau de Bravais.
Les dérivées sont calculables en principe par la formule :
Le second membre est calculable en utilisant la formule
. i 2
ÉR = £
h[9, (XX)Des formules (XIX) et (XX) on déduit immé- diatement :
THÉORÈME B. - La dérivée (2n) ième de
pour t = 0 est nulle si R et R’ ne sont pas au plus (2n - 1) ièmes voisins. (1)
Par suite d’après XI) :
THÉORÈME C. - Toutes les dérivées à l’origine
de qJkY(t) ~N sont finies à toute température quel que soit 1~. (N = Nombre d’atomes magnétiques.)
Il résulte de ce théorème que la relaxation devient très lente lorsque l’ordonnée à l’origine y"’1(0) devient très grande, c’est-à-dire dans les cas
indiqués au tableau I.
En particulier, la diffusion critique est presque
élastique. On pourra s’attendre à une élasticité
particulièrement grande pour un ferromagnétique,
où le théorème A s’applique. Dans le langage de
De Gennes [8] le théorème A exprime le freinage
« cinématique » de la relaxation, et le théorème B
exprime son freinage « thermodynamique ».
(2) Nous disons que et R’ sont qièmes voisins s’il existeR1R2... Rq-l tels que JRR1 J RIR2 J R2Rs... 0.
CALCUL EFFECTIF DE
En utilisant (XIX) le calcul de la dérivée seconde
se ramène à celui d’une fonction de corrélation à deux spins :
De la dérivée quatrième on n’a déterminé jusqu’ici que la valeur à température infinie [4]
[16].
Toutes les dérivées sont proportionnelles à k2
pour k petit, pour un réseau cubique. Cela résulte directement de (XIX).
IX. Théorie de la relaxation (d’après Mori et Kawasaki). - A la suite de Van Hove [3], Maori et
Kawasaki [16] supposent que pour (t) grand, (t)
décroît exponentiellement. On supposera pour
simplifier H = 0, T > T~
D’où
L’hypothèse fondamentale de Mori et Kawasaki est que cpx(t) rejoint sa forme exponentielle au bout
d’un temps t1 très court.
Pour t t1, cpk(t) serait défini par ses deux pre- mières dérivées ; qui sont approximativement
connues :
Par exemple on peut prendre une parabole :
ou si on préfère une Gaussienne :
zk est déterminé par la relation : ’
D’où si est assez grand :
On trouve facilement :
où -tj est un coefficient numérique qui dépend des hypothèses, passablement arbitraires, faites sur le comportement de yk(t) pour 1 petit :
1 = 4/3 pour une décroissance parabolique
-~ pour une décroissance gaussienne.
Enfin si on utilise la méthode des moments en
attribuant à
une forme lorentzienne tronquée, on trouve une
formule analogue avec
CAS DES FERROMAGNÉTIQUES AU VOISINAGE DU
POINT CRITIQUE. - Pour k peu différent d’un noeud r on a (cf. §§ IV et VIII)
avec ak = k - r. La relation (XXI) s’écrit alors :
À est un coefficient numérique.
::
CAS DES ANTIFERROMAGNÉTIQUES. - §k(0) et ljk(0) restent finis au voisinage d’un noeud de
surstructure ko et peuvent être considérés comme
à peu près constants. Par ailleurs, d’après les résul-
tats du § V, cpk(0) est proportionnel à
où Xl s’annule au point de Néel. Donc
et au point de Néel :
X. Résultats expérimentaux sur l’inélasticité au
voisinage du point critique. - L’inélasticité étant
faible, les expériences sont très difficiles, comme
nous l’avons vu au § III. Elles nécessitent des neutrons incidents bien collimatés et surtout bien
monochromatiques.
625
EXPÉRIENCES DE CRIBIER, JACROT ET RISTE
SUR LA MAGNÉTITE [17]. - Ces expériences ont
mis en évidence la persistance jusqu’au point cri- tique de mouvements collectifs peu amortis des
spins (« ondes de spin ») jusqu’au point critique.
Autrement dit la fonction de la figure IV
s’annule en réalité plusieurs fois avant de prendre
une forme exponentielle. Mais ces expériences correspondaient à des k assez éloignés d’un noeud.
Il est compréhensible que des mouvements collec- tifs analogues à des ondes de spin de longueur
d’onde assez courte puissent prendre naissance
dans des régions où l’aimantation moyenne est
appréciable. Cela ne signifie pas forcément que la théorie du § IX ne soit pas valable à la limite pour les petits k,.
EXPÉRIENCES SUR L’INÉLASTICITÉ AUX PETITS ANGLES DANS LE FER [11]. -Ces expériences, faites
au voisinage du point critique pour des angles de
diffusion de l’ordre de 10, sont très difficiles à inter-
préter car les neutrons incidents ne sont pas bien
monochromatiques. Toutefois elles semblent incom-
patibles avec la formule (XXII) et suggèrent plutôt
que rk est inversement proportionnel à k2 même
Fie. IV. - Variation de qJkC((t) et ~’11(t) (H = 0, T > Tc)
dans la théorie de Mori et Kawasaki.
FIG. V. -- Largeur à mi-hauteur du spectre diffusé par le fer en fonction de 01 N k2.
L’ordonnée à l’origine de la courbe T = Te est la largeur du spectre incident.
Sur le graphique du bas, à droite : courbe inférieure, T = courbe supérieure, T = Te -r 30.
au point critique. Deux phénomènes pourraient expliquer ce désaccord :
a) ou bien les interactions qui ne conservent pas le spin total (couplage spin-orbite par exemple) ne
sont pas négligeables. Cette hypothèse est corro-
borée par le fait que la diffusion ne parait être élastique pour k = 0 qu’à ~’ _
b) ou bien les hypothèses de Mori et Kawasaki (yk(t) rejoint vite sa forme exponentielle asympto- tique) sont fausses pour les petits k, au moins à Tc.
Des expériences sont en cours à Saclay [12] pour étudier l’inélasticité de la diffusion critique dans l’antiferromagnétique MnF2.
Appendice I. - Prenons une base ~m > qui diagonalise l’hamiltonien.
A et B étant deux opérateurs, on peut écrire
Les seuls termes qui ne donnent pas 0 après inté- gration sur t sont ceux pour lesquels
m = (On - Cùm.
On peut donc remplacer l’intégrale sur 7~ par sa valeur
et on trouve :
Appendice Il. - Posons
Y(B) - eBH e-B(H - h)
où h est un opérateur petit par rapport à X. On a : d Y(B)
dB
L’intégration de cette relation donne au second ordre près en h : .Q
Discussion
Pr BERTAUT. - Votre théorie serait-elle valable pour des spins modulés sinusoïdalement ? Je pense
au thulium.
Dr J. VILLAIN. - J’ai généralement considéré les forces d’échange comme prépondérantes. Dans
l’étude des fluctuations statiques, on peut tenir compte sans modifications importantes des termes qui ne conservent pas le spin total. Mais la rela- xation peut devenir très différente si ces termes sont importants, en particulier, il n’y a plus d’effet cinématique.
Pr OPECHOWSKI. - Je crois que les formules de Villain sont valables même dans ce cas pourvu
qu’on choisisse un Hamiltonien suffisamment géné-
ral.
Pr OPECHOWSK.I. -Voulez-vous expliquer encore
une fois la signification du « freinage cinématique »
et du « freinage thermodynamique ». L’effet ciné- matique n’est-il pas en réalité un effet dynamique ?
Dr J. VI LLAI N. - L’effet thermodynamique se pro- duit au voisinage d’fine transformation du second
ordre, et quel que soit l’hamiltonien. Il est dû au
fait qu’à la température critique les fluctuations
peuvent prendre naissance sans produire un gros accroissement d’énergie libre. Elles ont donc une
durée de vie plus grande. L’effet cinématique est indépendant de la température. Il résulte des
équations du mouvement et n’existe que dans le
cas où l’hamiltonien commute avec le spin total.
Le terme d’effet « dynamique » serait donc en toute
rigueur préférable.
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