Élargissement par diffusion d'un spectre incident dans la limite des faibles élargissements. Application à la diffusion magnétique critique des neutrons

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Submitted on 1 Jan 1968

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Élargissement par diffusion d’un spectre incident dans la limite des faibles élargissements. Application à la

diffusion magnétique critique des neutrons

J. Villain

To cite this version:

J. Villain. Élargissement par diffusion d’un spectre incident dans la limite des faibles élargissements.

Application à la diffusion magnétique critique des neutrons. Journal de Physique, 1968, 29 (5-6),

pp.488-494. �10.1051/jphys:01968002905-6048800�. �jpa-00206677�

ÉLARGISSEMENT PAR DIFFUSION

D’UN

SPECTRE INCIDENT

DANS

LA LIMITE

DES

FAIBLES

ÉLARGISSEMENTS

APPLICATION

A LA DIFFUSION

MAGNÉTIQUE CRITIQUE DES NEUTRONS

Par

J. VILLAIN,

Service de

Physique

^{du Solide et de Résonance} Magnétique, ^Centre d’Études Nucléaires de Saclay.

(Reçu

^{le 14 octobre}

1967.)

Résumé. 2014 Les

expériences

^{de diffusion}

inélastique

fournissent des

quantités

^{de la forme :}

F(03B5, 03C9)

⁼

~~-~ G(03C9 - ^03C9’) g(03B5, 03C9’)

^d03C9’

où G est la fonction

spectrale

^du faisceau incident et où la fonction étudiée

g (03B5, 03C9)

est infiniment étroite pour 03B5 infiniment

petit.

^{Si G est une fonction}

analytique, l’élargissement

pour ^03B5

petit dépend

des moments de g. Si

g (03B5, 03C9)

^{= 03B5-1}

f (03C9/03B5), l’élargissement

^est

proportionnel

à 03B52 si

| f(x) |s’annule plus

^vite

que | x |-3 à

^l’infini, et à 03B5q-1

si |f(x)| s’annule comme | x |-q (1

q

3).

Si G a en son sommet une

singularité

d’ordre inférieur à 2, la mesure de

l’élargissement,

^ou

l’étude de la déformation du

spectre,

^donne directement le

temps

de relaxation. Ces résultats sont

appliqués

^aux

expériences

^de relaxation

ferromagnétique critique.

^On conclut que les résultats

expérimentaux

^{ne sont} pas

pleinement expliqués

par les théories ^{connues à l’heure} actuelle

[6],

[7],

[8],

^mais

qu’il

^est

possible

que les

approximations

faites dans ces théories suffisent à

expliquer

^le désaccord. Par ailleurs, ^une amélioration des conditions

expérimentales paraît indispensable.

Abstract. ²⁰¹⁴ Inelastic

scattering experiments provide quantities

^{of the form :}

F(03B5, 03C9) = ~~-~ G(03C9 2014 03C9’) g(03B5, 03B5 03C9’)

^d03C9’

where G is the

spectral

function of the incident beam and where the function

g(03B5, 03C9) (which

is

generally

the function we are interested

in)

^is

infinitely

^{narrow for}

infinitely

small values of the

parameter

^{03B5. If G is an}

analytic

^{function, the}

broadening

^for small values of 03B5

depends

^{on the}

moments of g, when

they

^{exist. If}

g(03B5, 03C9)

^{= 03B5-1}

f(03C9/03B5),

^the

broadening

^is

proportional

^{to 03B52}

if |f(x)| vanishes

^faster

than |x|-3 (|x | ~ (~),

and to 03B5q-1 if

|f(x) vanishes as |x |-q (1

q

3).

If G has at its maximum a

singularity

of order smaller than 2, ^the relaxation time of the Fourier transform

of g is directly given by measuring

^the

broadening,

^or

by investigating

^the déformation of the

spectrum.

The results are

applied

^{to critical}

ferromagnetic

relaxation

experiments ;

it is concluded that the

expérimental

^{results are not}

fully explained by

^{recent theories}

[6], [7], [8],

but it is

possible

^{that the}

approximations

^{made in} these theories are suf ficient to account for the

discrepancy.

In any ^case, it is necessary ^to

improve

^the

experiments.

Introduction. ^- Nous nous intéresserons dans cet

article aux

problemes

soulev6s par certaines ^mesures de

largeur

^de

raies,

^{notamment en}

spectrographie neutronique.

L’id6al pour mesurer une

largeur

^{de raie}

est 6videmment de

disposer

^{d’une source} de rayonne-

ment

beaucoup plus

6troite que la raie naturelle

qu’on

^6tudie.

Cependant,

^{de telles sources} sont souvent

impossibles

^a

r6aliser,

^notamment

quand

^il

s’agit

^de

sources de neutrons, ^{et on} doit alors

exploiter

^au

maximum les

experiences

^{r6alis6es avec des sources}

mal d6finies

[1], [2].

Considerons _par

exemple

^{la diffusion}

magn6tique

des neutrons a haute

temperature ;

pour ^un transfert

d’impulsion

^k

petit

par

rapport

^à l’inverse de la distance

interatomique,

^{on montre} que le nombre de ^neutrons diffus6s

d’énergie comprise

^{entre hw et}

h(w

⁺

dw)

est, pour ^un

spectre

^incident

monochromatique

^d’6ner-

gie hw’, proportionnel

^{a : :}

fk(CJj - CJj’) dCõ,

^{avec :}

11 en r6sulte _que, si le spectre incident n’est

plus monochromatique

^et si le nombre de neutrons incidents

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01968002905-6048800

489

d’6nergie comprise

^{entre %co’ et}

h(w’

⁺

do’)

^est

G(co’) dw’,

le nombre de neutrons diffuses

d’6nergie comprise

^{entre hw et}

h(w

+

dw)

^{est :}

Pour mesurer la constante

A,

^il faut utiliser des valeurs de k suffisamment

petites

pour que la diffusion soit effectivement lorentzienne. S’il se trouve que les

couplages

^entre

spins

^sont

faibles,

^{A sera}

petit

^{et la}

largeur

^« naturelle » Ak2 a mesurer sera inferieure a la

largeur

^de

G(w). Remarquons

que ^de tels

problemes

ne se rencontrent pas ^en

general

dans la diffusion des radiations

électromagnétiques,

^{car les sources utilis6es}

sont en

general

^bien

monochromatiques.

Dans

1’exemple envisage ci-dessus,

^la

fonction fk (w )

a une forme connue

(lorentzienne) ^ainsi,

^bien

^entendu,

que la fonction

spectrale G(co)

du faisceau

incident,

de sorte que

1’elargissement

^en fonction de Ak2 peut 6tre tabul6 _par des ordinateurs. 11 arrive malheureu-

sement que la forme

de fk(w)

^{soit mal connue, c’est le}

cas notamment au

voisinage

^des

points

de transition

magn6tique.

^D’autre

part,

^une

dependance

trop ^totale vis-a-vis des ordinateurs est pour le

physicien

^une

situation inconfortable. Aussi est-il int6ressant d’avoir des resultats

analytiques

dans certains ^cas limites.

Nous 6tudierons d’une

façon g6n6rale

^la

largeur

^d’un

produit

de convolution de la forme :

oil e est un

parametre

infiniment

petit

^{et ou :}

Dans

1’exemple precedent,

^{e =}

k2;

^{en diffusion}

antiferromagnétique critique, e

^{sera une}

puissance

^de

I

^k

- Q ,

^ou

Q

^{est le vecteur de structure de la}

substance. On attribue souvent a

G(w)

^en

premiere approximation

^{une forme}

gaussienne [1], [3],

^{et nous}

allons voir _que cela n’entraine pas d’erreur _grave dans la mesure ou G est une fonction

analytique.

A.

PREMIfRE

^PARTIE

SLARMSSEMENT

PAR DIFFUSION D’UN SPECTRE INCIDENT DAN S LA LIMITE

DES FAIBLES

PLARGISSEMENTS

1.

Hypothèses.

^-

a) g(e, w)

^{est une} fonction uni-

forme, d6finie,

^{continue et} born6e dans l’intervalle

[-

oo, +

oo]

^si e

0;

b) G(w)

^est

n6gligeable

^en dehors d’un certain intervalle

[- A’, A] ;

c) G(w)

^est

analytique

^{dans le cercle du}

plan

^com-

plexe

^{de centre}

(A

^-

A’)/2

^{et de} rayon

3(A

⁺

A’) /2.

11 r6sulte de la

premiere hypothese

que les

quantites :

existent et sont finies _pour ^toutes valeurs finies de X et Y. On deduit de

(2)

^{que :}

11 r6sulte de la troisieme

hypothese

que 1’on peut ecrire :

pour ^tous nombres _w, w’ de l’intervalle

[- A’, A].

G(n) (w)

^{est la d6riv6e n’eme de}

G ( (0 ) .

2.

Ddveloppement

^de

F(e, (0)

^{et de ses ddrivdes. -}

On deduit de

(1), (5), (3)

^{et de}

l’hypothèse b)

que :

Par

suite,

^toutes les d6riv6es :

existent. La d6riv6e

premiere

est,

d’apres (6) :

Le second terme de cette

expression

^{vaut :}

et par suite :

Par

recurrence,

^{on d6montre}

plus g6n6ralement

que :

3.

Ddplacement

du maximum. - 11 est

toujours possible,

^au moyen d’un

changement d’origine,

^d’ame-

ner en zero le maximum de

G(w).

^{Dans ce cas :}

Pour w

petit,

^{on a :}

L’abscisse

C0o(s)

du maximum de

F(E, w)

^{est donc}

pour ^e

petit :

et la valeur du maximum de

F(e, w)

^{est :}

4.

flargissement

^du

spectre.

^{- Si nous} normalisons la fonction

F(s, (0)’

^de

façon

^{que son} maximum ait la meme valeur

G(o)

que celui de

G(w),

^{nous obtenons}

la fonction

( fig. 1) :

Chaque point

^de

Fnor(E, w)

^{se deduit du}

point

de

G(w) ayant

^{la meme ordonn6e} par ^une translation horizontale dont

1’amplitude

pour ^e

petit

^{est :}

La fonction 8co

(e, w)

^{- 8w}

(e,

^-

w)

d6finit 1’elar-

gissement

^du

spectre

pour la

frequence

^co.

L’expression

FIG. 1. ^- Definition de 8w.

pr6c6dente

^est ais6ment 6valu6e en utilisant

(6)

^et

(11)

et en remarquant que le second ^terme du second membre de

(11)

^est

n6gligeable,

^{car il est propor-}

tionnel au carr6 de la

quantite F’(e, 0), laquelle

^est

petite

^{a cause de}

(7), (9)

^et

(4).

^Cette

approximation

est

particulierement

^{bonne si}

G(w) et F (e, w)

^{sont avec}

une bonne

approximation

des fonctions

paires.

On trouve :

Dans le cas où tous les moments de

g(E,6»

^sont

finis :

et ou

G(w)

^est

analytique

^{dans tout le}

plan complexe (exp. : gaussienne),

la formule

(12)

^se

simplifie

^consi-

d6rablement si on fait A ⁼ A’ ⁼ oo :

Cette formule n’est vraie que ^sous certaines condi-

tions,

^{notamment sous} reserve de la convergence de la serie.

5. Cas

particulier.

^{- Nous}

envisagerons

^mainte-

nant le cas

particulier important

^{ou :}

of f(x)

^{d6croit comme une}

puissance

^{de x}

sup6rieure

a 1

quand x

^{tend vers l’infini :}

Remarquons

^au passage que dans le cas ou

f (x)

s’annule a l’infini

plus

^vite que ^toute fonction

puis-

sance

(q

⁼

oo),

^cette

quantite

^tend pour ^e

petit

^vers

une limite

qui

^{n’est autre} que

Io(o,

^{- oc,}

oo) (

^(ùn

e.

Reportant

^ce resultat dans

1’6quation (12),

^{on retrouve}

la formule

(13),

^{dont il} suffit ici de

garder

^{les deux}

premiers

^termes.

491

Pour q fini, superieur

^a

1,

^on peut ^{écrire :}

ou c. ^{est un} coefficient. La

comparaison

^avec

(12)

montre imm6diatement _que, si q >

3,

^{il suffit de}

retenir les termes n =1 et n = 2

de 1’expression (11),

et

qu’il

^{revient au même} de retenir les termes n ⁼ 1 et n ⁼ 2 de

1’equation (13) ;

^{le terme n = 1 est le}

principal responsable

^du

deplacement

^{de la}

raie,

^mais

l’élargissement qui

^{en r6sulte est} nul dans le cas usuel ou l’une des fonctions

G(co)

^et

g(e, w)

^{est une fonction}

paire.

^{Ainsi :}

-

Lorsque g(e, w)

^{s’annule a l’infini}

plus

vite que

1/ú)3,

^le

deplacement

^et

1’elargissement

^{sont donnes}

par les deux

premiers

^{termes de}

1’6quation (13).

Pour 1

q 3,

^{et si} les fonctions

G(w)

^et

g(s, w)

sont

paires (cette

restriction est inutile si 1

q 2), 1’elargissement

^est

proportionnel

^{a zq-l. Portant}

(15)

dans

(12),

^{on trouve une}

expression

^ou

^les

^sommations

peuvent ^6tre effectuées en faisant

apparaitre

^{les d6ve-}

loppements

^de

Taylor

^des

primitives

de fonctions telles que

G(co + x) /I x I’.

^{On constate} que le resultat final est

indépendant

^{de A et}

A’,

^ce

qui permet

^de

remplacer

^{A et A’} par oo, meme si

G(co) possede

^des

singularites

^a distance finie dans le

plan complexe,

mais en dehors toutefois du cercle défini au para-

graphe

^{1. On trouve :}

avec :

B.

DEUXILME

PARTIE EFFET DES

DISCONTINUITÉS

DU SPECTRE

INCIDENT

Les

hypotheses

faites dans la

premiere partie parais-

sent a

priori

^assez

generales, puisque

^{de toute fonction}

uniforme continue

G(w)

^on

peut

donner dans l’inter-

valle

[- A’, A]

^une

approximation

aussi bonne _que l’on veut par ^un

polynome,

^et que ^ce

polynome

^v6rifie

nécessairement

1’hypothese c)

^du

paragraphe

^{A .1.}

Cependant,

^la

question

^se pose de

savoir jusqu’a quelle

valeur e pourra 6tre considere comme «

petit

^{»; il est}

intuitif _que, si

G(w)

^{subit une variation}

rapide

^dans

un

petit

intervalle

a,

^w, il y ^aura int6r6t a la

representer

par ^une fonction discontinue des que e >

31

^co.

Le

proc6d6

^le

plus simple

pour 6tudier 1’effet des discontinuités est d’utiliser la formule :

ou

r (t )

^et

y(s, t )

sont les transform6es de Fourier de

G(co)

^{et de}

g(e, to).

^Si

G(w)

^est

analytique

^{en tout}

point

^{de 1’axe}

reel, r(t)

^{s’annule a l’infini}

plus

^vite

que ^toute fonction

puissance,

^{de sorte que}

1’61argis-

sement ne

depend

que du

comportement

^de

Y(E, t)

pour t

petit,

^{donc de ses d6riv6es a}

1’origine,

^{donc des}

moments de

g(e, w) (cf. 6qu. (13))

^ou d’une forme

tronqu6e

^de

g(s, w) (cf. 6qu. (12)).

^{C’est ce}

qu’a remarque

^Antonini

[3]. Remarquons

^toutefois

qu’en general 1’elargissement

^ne

depend

pas

uniquement

^du

second moment.

On peut ^montrer

qu’une

discontinuite en wl dans la d6riv6e nème de

G(w)

^se traduit dans le

d6velop-

pement

asymptotique

^de

r(t) pour t grand

par ^un terme :

ou

Gán)

^et

Gán)

^{sont les d6riv6es nièmes à}

gauche

^{et a droite.}

Nous consid6rerons pour

simplifier

^une discontinuite a

l’origine.

^Pour

plus

^de

generalite,

^nous supposerons que l’on a pour ^w

petit :

ou

Go(w)

^{est une fonction}

analytique.

^La forme asymp-

totique

^de

r (t)

^{est alors :}

ou le

coefficient uq

^{vaut :}

Dans cette derniere

expression, r(- q) d6signe

^la

fonction d’Euler.

Nous 6crivons tres

grossierement :

ou

ro(t)

^{est une} certaine fonction

qui depend

^essen-

tiellement de

GO(w).

^{Aw est la}

largeur

^de

G(to),

sup-

posee beaucoup plus grande

que l’inverse

1/,r(e)

^du

temps

de relaxation de

y (E, t ) .

^{Pour cette}

raison,

^le

premier

^{terme de}

(21) d6pendra

tres peu de _e, si

g(e, w)

est normalis6e de

façon

que

y(s, 0)

^soit

indépendant

de E. Le second terme de

(21) d6pendra egalement

peu de _E, a condition _que

l(ù I

>>

l/r(s).

^{Par suite :}

Par contre,

pour w I 1 ji (E),

le second terme

de

(21)

pourra

s’6crire,

grosso modo :

et par suite :

si I eù I l/T(e).

Le

principal

effet de la convolution de

G(eù)

par

g(e, w)

^sera donc d’6mousser la

pointe

^{de G en lui}

donnant une

largeur

de l’ordre de

l/r(s) (fig. 2).

FIG. 2. ^- Deformation par convolution ^d’une fonction ayant ^{une d6riv6e}

premiere

discontinue a

l’origine.

g(e, w)

^est normahs6e de

faqon

que

y(e, 0)

^{= 1.}

L’élargissement

^au

point

^û) >>

l/T(e)

^{est le double}

de la

quantite :

Si nous nous

plaqons

^{dans le cas}

particulier

^du

paragraphe

^{5 de la}

premiere partie, 1’elargissement

est

proportionnel

^a

^e’2,

^alors que

1’elargissement

^du

au

premier

^{terme de}

(21)

^est

proportionnel

^{a e2} pour des fonctions

paires,

^et n’est donc

n6gligeable

que

si q

^2.

Dans le cas

particulierement

int6ressant d’une dis- continuite de la d6riv6e

premiere

^a

l’origine, 1’61argis-

sement est purement ^et

simplement proportionnel

^à

l/r(s),

c’est-a-dire a la

largeur

^de

g(e, co),

^{et ce resultat}

est vrai

quelle

que soit la

forme

de la fonction

g (z, w).

On voit

qu’il

^{serait tres} int6ressant de r6aliser des

spectres ^{avec une}

pointe

^a

l’origine.

^Par

exemple,

^si

on

pouvait

r6aliser des spectres

triangulaires,

^il y

aurait,

pour ^une valeur donnee de

G(o),

^une

largeur optimale qui depend

^de

l’impr6cision experimentale

sur les mesures

d’intensit6,

^d’une

part,

^{et sur les}

fréquences,

^d’autre

part.

Dans la

pratique,

^{la «}

pointe »

^du spectre ^incident

aura

toujours

^{une certaine}

largeur alco,

^ce

qui

^ne

permettra ^de mesurer que les temps de relaxation inferieurs a

1/3,co.

C.

TROISIIJME

PARTIE

APPLICATION A LA DIFFUSION

MAGNÉTIQUE

DES NEUTRONS AUX PETITS ANGLES DANS LES

FERROMAGNÉTIQUES

POUR T >

T,,

La section efficace de diffusion

magn6tique

^des

neutrons par ^un

systeme

^de

spins identiques

^localises

aux noeuds d’un reseau de Bravais est

proportion-

nelle

[4],

^en

champ

^{nul et a}

temperature sup6rieure

ou

6gale

^{a la}

temperature

^{de Curie}

Tc, à :

ou (ù et k sont le transfert

d’6nergle

^et le transfert

d’impulsion.

^Le facteur de forme

F(k)

peut ^6tre considere comme

egal a

^{1 aux}

petits angles

^{ou k est}

petit. S,

^est la transformée de Fourier de la densite de

spin.

^La fonction de correlation

int6gr6e (S_k(t), Sk)

^{est une} fonction r6elle et

paire

de t si l’hamiltonien

est invariant _par une

sym6trie

par

rapport

^{a un}

point (cas

de l’hamiltonien de

Heisenberg).

Si 1’hamiltonien

commute en outre avec le

spin ^total,

^ce

qui

^est

6ga-

lement le cas pour 1’hamiltonien de

Heisenberg,

^cette

fonction d6croit tres lentement avec t si k est

petit,

de sorte

qu’on

peut

remplacer

^le

facteur n(ù / (1 - e - [31íCù)

par ^sa valeur _pour w ⁼

0, qui

^est

KB

^T.

On a donc :

Y(El t )

⁼

(S-I(t), Sk).

^Nous suppo-

serons que la fonction

G(w)

^{v6rifie les}

propri6t6s indiqu6es

^au

paragraphe

^{A .1. Comme tous les mo-}

ments de la

fonction g

^{sont finis}

[4], [5],

^on

peut

admettre _que

1’elargissement

^{est donne} par

(13),

^bien

que la convergence de ^cette

expression

^{reste ici a}

d6montrer.

Remarquons qu’on

^ne

peut

pas, ^en

prin- cipe,

^limiter

(13)

^{a son terme} d’ordre 2.

Chaque

moment

de g

^est

proportionnel

^a

k2(x2

⁺

k2),

^ou

1/x

est la

longueur

de correlation d6finie par Van Hove.

Il en est donc de _{meme pour}

l’élargissement :

Au

point

^de

Curie,

^{x =}

0,

^{et on devrait}

avoir, pour k

^tres

petit,

^un

elargissement proportionnel

^a

k4 ;

ceci est

contraire

^a

1’experience [1], [2],

^selon

laquelle 1’elargissement

^est

proportionnel

^a

kr,

^{ou r z 2. On}

est tent6 de donner

1’explication

suivante : la theorie

493

pr6voit

que

g(E, ú»)

^{a la forme d’une} lorentzienne

tronqu6e [6], [7] :

Une autre theorie attribue

a g

la forme d’une

somme de deux lorentziennes

tronqu6es sym6triques

par

rapport

^a

l’origine [8],

^{mais cela}

n’apporte

pas de

grands changements

^{dans la mesure ou on ne}

s’intéresse

qu’a l’élargissement pour k petit.

^{Si la}

frequence

^de coupure

wc(k, x)

^est

supirieure

^{à la}

largeur

du spectre ^incident

ðCJJ,

^{on est} dans la situation du

paragraphe

^{A. 5 avec e =}

ikl (x)

^et

l’élargissement

est

proportionnel

^{a la}

largeur "t’kI

^de

g(E, w).

^{Or la}

theorie

[6], [7], [8] pr6voit

^au

point

^{de Curie une}

loi de la forme :

et le coefficient

5/2

^est peu different de

2,

^ce

qui

^est

en accord avec

l’expérience... Malheureusement,

^la

theorie

[7] pr6voit

^une

frequence

^de coupure de l’ordre de

1/,r,

^au

point

^de

Curie,

^{donc tres} inferieure a Aw.

Il faudrait donc admettre que la theorie ait

gravement

sous-estim6 la

frequence

^de coupure; ^nous revien- drons

plus

^{loin sur ce}

point.

Il semble bien _que la theorie de R6sibois

[8] pr6voit egalement

^{une fr6-}

quence de _coupure de l’ordre de

1/"t’k

^au

point critique.

Il semble donc _que l’on se trouve, dans les

exp6-

riences faites

jusqu’ici,

^{dans une situation} telle que

1’elargissement

^{est sensible au}

comportement

^de

y(E, t) pour t petit

par

rapport

^au

temps

^de

relaxation,

^mais

n6anmoins

grand

par rapport ^a

hj J.

^La

fonction g

^est

alors de la forme

(14),

^{avec e = k5/2. Selon notre}

th6orie,

la transformée de Fourier

Y (E, t )

⁼

cp (E, t)

est telle que, pour x

petit,

^{on a}

[7] :

Il en r6sulte que la

fonction f (x)

de la formule

(14)

doit 6tre

proportionnelle

^{a X-1315} pour x

grand

^et que par suite

1’elargissement

^{doit etre}

proportionnel

^a

ê,8/5,

c’est-a-dire ici encore a k4. Dans la theorie de Resi- bois

[8],

^{il semble que}

rp(x) = (p (0)

^{- ax2} pour x

petit,

^et que par suite

1’elargissement

^soit

proportionnel

a k5.

Comparaison

détaülée entre la théorie et

Ilexpd-

rience. ^- Bien _que la discussion

pr6c6dente

^montre

qu’il n’y

^a pas d’accord

quantitatif

^{entre les}

exp6-

riences et les theories faites

jusqu’ici,

^{nous nous} pro- posons de nous demander maintenant si la situation

est

d6sesp6r6e

^{ou s’il est}

possible

^{de donner un} coup de _pouce raisonnable a la theorie _pour I’am6liorer.

Nous 6crirons la formule

(49)

de la reference

[7]

sous la forme :

Nous consid6rerons _que les

experiences

^{ont ete faites}

au

voisinage

d’une valeur

ko

^{de k et} que la loi

prece-

dente est alors assimilable a une loi lin6aire :

C’est le

coefficient -

5 ^A

_{k qui}

doit etre identifie

4

k0

avec la « constante de diffusion » apparente A ^obtenue par les

expérimentateurs [1].

^{Dans le cas des}

expe-

riences de

Jacrot

^et

coll.,

^{on avait :}

ko N ^0,065 A-1,

donc

-BIkoa

⁼

^0,43

^{pour le fer.}

Apres

^avoir

explicit6

le coefficient A et effectu6 les calculs

num6riques,

^on

deduit des resultats

expérimentaux

la relation sui- vante entre les

coefficients 1)

^et

1)

definis dans la reference

[7] :

Cette valeur

parait beaucoup

trop

petite.

^Remar-

quons toutefois _que la m6thode utilis6e au paragra-

phe

V de la reference

[7]

^{devient une tres mediocre}

approximation quand

kl devient de l’ordre de _{-x, pour} les raisons

indiqu6es

^au

paragraphe

^{VI de cette r6f6-}

rence, ^et aussi _{parce que} le facteur

(x2

⁺

k2) k2

^de

1’6qua-

tion

(34)

^{doit 6tre}

remplace

par

4k2l-2 sin21kij2.

L’erreur commise

d6passe

⁵⁰

%

pour kl _{= n,} alors

qu’elle

^n’est que de 20

%

^{pour kl =}

7t/2.

^On

peut

donc consid6rer

qu’une

valeur maximum de _Tk sera

obtenue en

remplaçant

^7r par

7t/2

^dans

(49),

^ce

qui 6quivaut

formellement a faire dans cette formule :

qui

^est

16g6rement

inferieure a la valeur

2/5

^trouv6e

pr6c6demment;

^{cettd derni6re} valeur n’est donc

pas

a 6carter absolument.

Adoptant

donc la valeur

2/5,

^{on deduit de}

1’6qua-

tion

(51)

^de

[7] :

Plutot _{que par} une lorentzienne

tronqu6e,

^{il est}

preferable

de donner de la transformée de Fourier de la fonction

(48)

^de la reference

[7] l’approximation

par la fonction suivante :

ou B ⁼

0,58 CX2 2(,xb Djq)8’5

^{k4 et où}

^1,68

^{est la valeur}

de

1t/r (- 1,6)

^cos

7c/5 (cf. 6qu. (20) ) . La valeur

^{de wck}

s’obtient en 6crivant la continuite de la fonction

Pk(6}),

et on trouve pour

rc (k) /rk petit :

La condition _pour

qu’on puisse,

^{dans le calcul de}

1’elargissement,

^assimiler

(D, (ù)

^{à une} lorentzienne est :

oii ki

^{est le vecteur} d’onde des neutrons

incidents;

A?,/X

^{est la}

demi-largeur

de raie du

spectre

^incident dans 1’6chelle des

longueurs

d’onde. Mesuree a la base de la

raie,

^{elle vaut}

1/10

^{dans les}

experiences de Jacrot

et coll.

L’in6galit6 pr6c6dente

^{s’écrit :}

ou « A » est la constante de diffusion

apparente.

^Le coefficient 2M « A

»/Ii

^{vaut 11}

[2]

^{et on trouve fina-}

FIG. 3. ^- Une

interpretation possible

^{des resultats}

exp6-

rimentaux de

Jacrot

^{net coll. Pour 4° 0} 6°, ^l’élar-

gissement

^est

proportionnel

^{a 8w N k5/2. Pour 0} > 6°,

l’elargissement

^est diminue parce que

1’equation (17)

de la reference [7] devient erron6e. Pour 0 4°, ^{il est} diminue parce que

(Dk(co)

^n’est

plus

assimilable a une

lorentzienne

(cf. 6qu. (24)).

^La

partie parabolique

^de

la courbe

qui correspond

^{aux tres}

petites

^{valeurs de}

k(O 2°)

^n’a pas ete observée.

lement que, dans les

experiences

^de

Jacrot

^et

coll.,

la fonction

(D,(co)

^n’est assimilable a une lorentzienne que pour des

angles

de diffusion 6

sup6rieurs

^{a 40.}

Pour des

angles

de diffusion

inferieurs,

^le

d6pouil-

lement de

1’exp6rience

^{devrait se faire a}

partir

^de

1’6quation (24),

^ce

qui complique

6norm6ment la situation.

Qualitativement,

^{il en resultera une dimi-}

nution de

1’elargissement,

^{et il est}

possible

que 1’elar-

gissement

devienne ainsi une fonction lin6aire de k2

avec une bonne

approximation

^{dans un}

large

^inter-

valle de

fréquences,

conformément a

1’exp6rience.

D’autre part, pour des

angles

de diffusion

sup6rieurs

a 60 dans les

experiences

^de

Jacrot

^et

coll., 1’expres-

sion

(17)

de la reference

[7]

^devient

sous-estim6e,

^la

largeur

^{de raie}

(49)

^{est donc}

surestim6e,

^{et il est}

possible

que cela

explique pourquoi 1’elargissement

semble rester une fonction lin6aire de k2 _pour 0 > 60

(fig. 3).

Conclusion. ^- 1. La theorie et

1’experience

^sont

quantitativement

^{en d6saccord en ce}

qui

^{concerne la}

relaxation

ferromagnétique critique.

I1 semble _que la relaxation de

Yk (t)

^devienne

exponentielle

^{au bout d’un}

temps environ deux fois

plus

^court que

pr6vu;

^la

raison n’en est pas bien

comprise,

^{mais il n’est} pas exclu

qu’elle puisse

^6tre

expliqu6e

par ^un raffinement ult6rieur de la th6orie.

2. Le fait que

1’elargissement experimental

^{soit une}

fonction lin6aire de k2 dans un

large

intervalle semble 6tre fortuit

(voir fig. 3).

3. Pour k infiniment

petit, l’élargissement

^{doit 6tre}

proportionnel a k4,

^{dans la mesure ou on} peut

negliger

les interactions

qui

^{ne commutant} pas ^avec le

spin

total sont

negligeables. L’expérience

^ne

permet

ⁿⁱ d’infirmer ni de confirmer cette

prevision,

^{car on n’a}

pas pu travailler aux tres

petits k,

^{et même la}

largeur

du

spectre

^incident

(qui

donnerait le

point k

⁼

0)

^est

malheureusement mal connue.

BIBLIOGRAPHIE

[1] JACROT (B.),

KONSTANTINOVI0107

(J.),

^PARETTE

(G.),

CRIBIER

(D.),

^Inelastic

scattering

^of neutrons in solids and

liquids,

p. 317. Publié par l’AIEA.

[2]

^PASSELL

(L.), J. Appl. Physics,

1964, 35, 933.

[3]

^ANTONINI

(M.), J. Phys.

^Chem. Solids, 1967, 28, ^11.

[4]

^{DE GENNES}

(P. G.),

^Thèse.

Rapport

C.E.A., ^n° 929, 1959.

[5]

^Par

exemple :

^VILLAIN

(J.), J. Physique, 1964,

25, 618.

[6]

^KAWASAKI

(K.),

^Anomalous

spin

^{diffusion in ferro-}

magnetic spin

systems,

Rapport

^de l’Université de

Kyushu, Japon,

^1966.

[7]

^VILLAIN

(J.),

^à

paraître.

[8]

^RÉSIBOIS

(P.), Rapport présenté

^au

Colloque

^de

Bruxelles en mai 1967

(non publié).