Une tige de cuivre cylindrique, de section droite s et de longueur L, est utilisée comme ailette de refroidissement d'un échangeur de chaleur.
L'une des extrémités, A, est maintenue à la température T1 et l'autre, B, à la température T2.
On admet que les gradients radiaux de température sont faibles, aussi la température T est-elle supposée uniforme dans toute section droite de la tige, d'aire s, telle que αβ.
On ne considère donc qu'un transfert de chaleur unidirectionnel.
On appelle T la température de la section droite αβ d 'abscisse x , T + dT celle de la section droite voisine α'β' d 'abscisse xdx et
λ la conductivité thermique du cuivre, indépendante de la température.
1)Rappeler la loi de Fourier donnant la puissance thermique q traversant la section αβ. 2)On suppose que la tige est parfaitement isolée thermiquement sur sa surface latérale.
Etablir l 'expression de Tx, en régime permanent .
Application numérique : λ=389 W m−1 K−1 ; L=38,0 cm ; diamètre de la tige d=10,0 mm.
Calculer la résistance thermique de la tige.
3)On suppose maintenant que la tige n'est plus isolée mais refroidie le long de sa surface latérale par une circulation de fluide à la température Te.
Par convection, la partie de la tige comprise entre les sections droites αβ et α'β' cède au milieu extérieur, dont la température est partout égale à Te, une puissance thermique δq' donnée par la loi de Newton:
δq'=hT−Tedσ h est le coefficient d'échange superficiel: h=155 W m−2K−1.
dσ est l'aire latérale de la portion de tige considérée en contact avec le fluide.
a. Etablir le bilan thermique, en régime permanent, de la partie de la tige comprise entre αβ et α'β'.
b. En déduire que T(x) satisfait à l'équation différentielle d2T
dx2 −m2T−Te =0.
m est un coefficient dont on donnera l'expression en fonction de λ,h et d puis la valeur numérique.
c. Donner la solution générale de l'équation différentielle.
d. On se place dans le cas théorique d'une tige de longueur infinie.
L 'extrémité A étant à la température T1, l 'extrémité B se trouve alors à la température T2=Te. α. Préciser la solution exacte de l'équation différentielle. Donner l'allure du graphe de T(x).
β. Calculer la puissance thermique transmise, par conduction, à l'extrémité A de la tige, puis la puissance transmise, par convection, par sa surface latérale au milieu extérieur. Comparer ces deux résultats.
γ. Quelle est la distance séparant deux points de la tige dont les températures sont 403 K et 373 K, la température du fluide extérieur étant Te=303 K ?
δ. La tige peut être assimilée à une tige de longueur infinie si à son extrémité B l'écart de température T−Te est très petit , de l ' ordre de T1−Te
100 .
Etablir, dans ce cas, la relation entre L et m et calculer L. Conclusion.
O x
A B
x dxα α' β β'
section s
