Loi de Fourier: INT 1988

(1)

La Terre est assimilée localement à un milieu continu, homogène et isotrope, remplissant le demi-espace z > 0, le plan xOy représentant la surface du sol terrestre.

Ce milieu est caractérisé par sa masse volumique µ, sa conductivité thermique k et sa chaleur massique c, ces trois grandeurs étant constantes.

La température θ en un point du milieu ne dépend que de la profondeur z de ce point et de la date t: θz, t.

On admet que le milieu satisfait à la loi de Fourier: j_Q= −k∂θ

∂zu_z où u_zest le vecteur unitaire sur l'axe Oz orienté vers le centre de la Terre.

1)En effectuant le bilan thermique pour un cylindre droit élémentaire d'axe Oz, de base S compris entre z et z+dz, montrer que la température du milieu vérifie l'équation: ∂²θ

∂z²=h∂θ

∂t avec h=c k . 2)On suppose qu'à la surface du sol (plan z = 0) la température suit une loi du type:

θ0, t =θ0a cosωt où θ0 et a sont deux constantes et ω= 2π

T avec T=1 an.

On admet en outre que lim

z∞θz, t =θ0. a. Que représentent les constantes θ0 et a ?

Interpréter la condition imposée à θz, tquand z   ∞.

b. On effectue le changement de variable uz, t =θz, t−θ₀

a .

Ecrire l'équation aux dérivées partielles vérifiée par u et donner les conditions aux limites satisfaites par u.

c. On cherche une solution de cette équation de la forme:

uz, t =

[

A cosωtβzBsinωtβz

]

e^−α^z où α,β, A et B sont des constantes.

Déterminer les constantes α,β, A et B en fonction de h et ω.

d. On pose λ=2π



^^{2 k}^c^ω^{. Exprimer} ^θ^{z ,t}^ en fonction de t

T et de z λ.

3)Application numérique :  =3 10³ kg m⁻³ ; c=515 J kg⁻¹K⁻¹ ; k=1 W K⁻¹ m⁻¹. a. Calculer numériquement λ et donner la signification physique de cette grandeur.

b. La température de la surface du sol passe, vers le 1^er janvier, d'une température minimale égale à -10°C à une température maximale de +30°C vers le 1^er juillet.

Déterminer les valeurs de θ0 et a.

c. Vers quelle date la température est-elle minimale à une profondeur de 2 mètres?

Calculer cette valeur minimale.

d. Tracer la courbe donnant la température θz dans la terre vers le premier avril.

En tirer quelques conséquences pratiques.

4)On étudie, dans les mêmes conditions, l'influence de la variation journalière des températures, en supposant que la température à la surface du sol varie de +2,5°C la nuit à +17,5°C le jour.

a. Calculer la nouvelle valeur de la constante λ.

b. Evaluer la profondeur à partir de laquelle la variation journalière de température est inférieure à 1°C.