)(  mxeCmxeCx aTxTx )()( 

I

. Une ailette rectangulaire en cuivre ; de 0,3cm d’épaisseur, de longueur L= 3cm et de largeur b=10cm ; émerge dans l’air à 20°C d’une paroi à 150°C. Le coefficient de transfert de chaleur est 20 W.m^-2.K^-1 et la conductivité du cuivre est k=400 W.m^-1.K^-1 .

b

T

_S ^e

L x

1) Déterminer l’équation différentielle vérifiée par T(x) de l’ailette si son extrémité est isolée.

On négligera e devant b

 ^{T x T} _a 

c Pdx dx h

dx x kA dT dx x

kA dT  

 



 ( )

on applique de conservation de l’énergie à un petit élément de l’ailette compris entre x et x+dx

 ^{( )}  ⁰

) (

2

2

 T x  T a 

kA c P h dx

x T d

- Le périmètre P=2(b+e) ≈ 2b

- La section transversale de l’ailette est : A= be

T a x

T

x )  ( ) 

 (

2

0

2

2

   

dx m

d kA

c P m ²  h

e mx mx C

e C

x )  ₁  ₂ ^

 (

Série n° 5

conditions aux limites:

- à la base x=0, la température de l’ailette est égale à la température du mur Ts.

C

s

C

x 

 (  0 )  1  2 

. L’extrémité de l’ailette est isolée mC e mL mC e mL

L dx x

d    

 



 



  0 1 2

2 0

1 e mL  C e  mL  C

C s

C 1  2   C ¹⁼ C ^{2 =}

2) Donner la forme générale des solutions de cette équation. Utiliser les conditions aux limites pour déterminer les constantes.

) cosh(

) (

) cosh (

) ( )

( mL

x L

a m s T

a T T x

T

x 







 

3. Calculer le flux de chaleur dégagé par l’ailette : a)Par conduction b) Par convection

a)

 0





dx x kA dT ailette

q

 0





dx x kA d 

=

=

Résultats identiques

b) Par convection

x dx c P

h a dx

T x

T c P ailette h

q

L L

 

 ^{ }



0 0

) )

( (

) cosh(

) (

) cosh (

) ( )

( mL

x L a m

s T a T

T x

T

x     



4. Calculer l’efficacité de l’ailette.

ailette

q

q _ailette

max

  ^q max

ailette

 ^h

^c

^A

^c

 ^s

L P A _c  .

% 99 99

, 17 0

, 0

17 , 0 tanh )

tanh(







 mL

 mL

II. Calculer la quantité de chaleur évacuée par une paroi cylindrique munie de quatre ailettes par cm², chaque ailette de diamètre 4,8mm est longue de 25mm. Le coefficient d’échange de chaleur avec l’air environnant est 122 kcal.h^-1.m^-2.K^-1 ; les températures de la paroi cylindrique et de l’air sont respectivement 316°C et 21°C

La paroi et les ailettes sont en aluminium. Comparer cette chaleur à celle évacuée par la paroi sans la présence des ailettes.

mk mL h c mL

x L mk m

h c x

L m s

x

sinh cosh

) (

sinh )

( ) cosh

(







 





mk mL mL h

mk mL mL h

PAk s h c

q

^ail

sinh cosh

cosh sinh



  

On fait les calculs pour un cm

²

:

Le bout de l’ailette échange de la chaleur par convection

Calculs à vérifier