• Calculer un pourcentage d’une quantité :

T STMG-Lycée B.d.B

Résumé n˚1 : POURCENTAGES : proportions, évolutions, indices

^oct.2013

PROPORTIONS

• Calculer un pourcentage d’une quantité :

^{ex :}38% de 40 = 38%×40 = 0,38×40 = 15,2.

• Calculer une proportion d’un ensemble A dans un ensemble E : p = n

_A

n

E

.

ex : 26 per sonÆnes sur 200, ela fait uÆne proportion de

26

200 = 13%^.

• Savoir retrouver n

_E

connaissant p et n

_A

:

ex : 24 élèves sont malades, e qui représente 86% ^{de la la s se.} RetrouÆvon s le nombre d'élèves x ^de

la la s se :

86%×x= 24^{, soit} x= 24

0,86 ≃28 ^élèves.

• Proportions enchainées : Si p

₁

est la proportion de A dans B, et p

₂

est la proportion de B dans E,

alors la proportion de A dans E est p = p

₁

× p

₂

.

ex : 13% ^{des élèves sont des garçon s, et} 20% ^{des garçon s}

font du s port. La proportion des garçon s qui font du s port

parÆmi tou s les élèves est : p= 20% de 13% = 0,20×0,13 = 0,026 = 2,6%

INDICES

année 2006 2007 2008 2009

valeur 32 40 36 46

indice 80 100 90 115

• y

₁

et y

₂

sont deux nombres positifs, l’indice de y

₂

par rapport à y

₁

est y

₂

y

₁

× 100.

y₁ y₂

100 y₂ y₁ ×100

• Ici, 2007 est appelée l’année de référence : on donne 100 comme valeur à cette année-là et on rapporte toutes les autres valeurs proportionnellement.

• Un indice de 115 indique une augmentation de 15% par rapport à l’année de référence.

• Un indice de 90 indique une baisse de 10% par rapport à l’année de référence.

•

ATTENTION : entre 2008 et 2009, iln’y a pasaugmentation de 115−90 = 25% !

Le tauÆx d'évolution est t= 115−90 90 =25

90 ≃28%^.

•

De même : entre 2006 et 2007, iln’y a pasaugmentation de 100−80 = 20% !

Le tauÆx d'évolution est t= 100−80 80 =20

80 = 25%^.

( par contre : il y a une baisse de 20% de 2007 à 2006 !)

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Résumé n˚1 : POURCENTAGES : proportions, évolutions, indices

^oct.2013

EVOLUTIONS V

_d

taux d’évolution t

V

_a

× (1 + t)

• Faire la différence entre le taux d’évolution t et le coefficient multiplicateur CM = 1 + t .

→ ^{Pour uÆne} augmentation de 12%^, t= +12% = 0,12

et on multi plie par CM = 1 + 0,12 = 1,12^.

→ ^{Pour uÆne bai s se de} 12%^, t=−12% =−0,12

et on multi plie par CM = 1−0,12 = 0,88^.

• Pour trouver V

_a

: on multiplie V

_d

par 1 + t.

V

_a

= V

_d

× (1 + t)

• Pour trouver V

_d

: on divise V

_a

par 1 + t.

V

_d

= V

_a

1 + t

• Pour trouver le taux d’évolution : méthode 1 : t = V

a

− V

_d

V

_d

méthode 2 : on calcule le CM : 1 + t = V

_a

V

_d

, puis t = V

_a

V

_d

− 1 .

• Calculer un taux global sans V

_a

et V

_d

:

V

_d

−→

×(1+t1)

V

1

−→

×(1+t2)

V

2

... −→

×(1+tn)

V

a

× (1 + t

_g

)

→ Il faut multiplier les coefficients multiplicateurs :

1 + t

g

= (1 + t

1

)(1 + t

2

) × ... × (1 + t

n

).

ex : Pour uÆne bai s se de 15%^{, pui s uÆne hau s se}

de 12%^{, le oeffiient} multi pliateur global est

1 +tg= (1−0,15)×(1 + 0,12) = 0,85×1,12

don le tauÆx d'évolution global est

tg= 0,85×1,12−1 =−0,048 =−4,8%

• Calculer un taux moyen

pour n évolutions successives :

V

_d

−→

×(1+tm)

V

1

−→

×(1+tm)

V

2

... −→

×(1+tm)

V

a

× (1 + t

_g

)

→ On écrit : (1 + t

m

)

ⁿ

= 1 + t

g

puis t

m

=

^pn

1 + t

_g

− 1

ex : Pour uÆne bai s se aÆnÆnuelle de 15%^,

on herhe le tauÆx men suel moyen tm^.

C'est le tauÆx a p pliqué 12 foi s de suite, et qui

donÆne uÆn tauÆx global tg=−15%^.

Don (1 +tm)¹²= 1−0,15 = 0,85^,

soit tm= ¹²√

0,85−1≃ −1,35%

12

√ 0, 85 est la "racine 12

^ème

de 0,85".

C’est égal à (0, 85)

^1/12

: "0,85 puissance 1/12".

Á la calculatrice, on tape :

12 √^xy 0.85 - 1 = ou

0.85 ∧ ( 1 \ 12 ) - 1 =