• Calculer un pourcentage d’une quantité :

T STMG-Lycée B.d.B

Cours n˚1 : POURCENTAGES : proportions, évolutions, indices

^sept.2014

PROPORTIONS

• Calculer un pourcentage d’une quantité :

^{ex :}38% de 40 =

• Calculer une proportion d’un ensemble A dans un ensemble E : p = n

A

n

_E

.

ex : 26 per sonÆnes sur 200, ela fait uÆne proportion de ...

• Savoir retrouver n

_E

connaissant p et n

_A

:

ex : 24 élèves sont malades, e qui représente 86% ^{de la la s se.} RetrouÆvon s le nombre d'élèves x ^de

la la s se :

• Proportions enchainées : Si p

₁

est la proportion de A dans B, et p

₂

est la proportion de B dans E,

alors la proportion de A dans E est p = p

₁

× p

₂

.

ex : 13% ^{des élèves sont des garçon s, et} 20% ^{des garçon s}

font du s port. La proportion des garçon s qui font du s port

parÆmi tou s les élèves est :

• On n’ajoute pas si facilement les proportions ! :

ex : DaÆn s uÆne éole priÆmaire, il y a 60 filles et 40 garçon s. 20% ^{des filles et} 15% ^{des garçon s portent}

des luÆnettes. Quel pourentage d'élèves portent des luÆnettes daÆn s léole?

INDICES

année 2006 2007 2008 2009

valeur 32 40 36 46

indice 100

• Si on décide de prendre 2007 comme année de référence : on donne 100 comme valeur à cette année-là et on rapporte toutes les autres valeurs proportionnellement.

Rem plir le tableau en fai saÆnt les "produits en roiÆx".

• Un indice de 115 indique ... par rapport à l’année de référence (2007).

• Un indice de 90 indique ... par rapport à l’année de référence (2007).

•

ATTENTION : entre 2008 et 2009, iln’y a pasaugmentation de 115−90 = 25% !

Le tauÆx d'évolution est t=

•

De même : entre 2006 et 2007, iln’y a pasaugmentation de 100−80 = 20% !

Le tauÆx d'évolution est t=

( par contre : il y a une baisse de... de 2007 à 2006 !)

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Cours n˚1 : POURCENTAGES : proportions, évolutions, indices

^sept.2014

EVOLUTIONS V

_d

taux d’évolution t

V

_a

× (1 + t)

• Faire la différence entre le taux d’évolution t et le coefficient multiplicateur CM = 1 + t .

→ ^{Pour uÆne} augmentation de 12%^,

le tauÆx est t=

et on multi plie par CM =^.

→ ^{Pour uÆne bai s se de} 12%^,

le tauÆx est t=

et on multi plie par CM =^.

• Pour trouver V

a

: on multiplie V

d

par 1 + t.

V

a

= V

d

× (1 + t)

• Pour trouver V

_d

: on divise V

_a

par 1 + t.

V

_d

= V

_a

1 + t

• Pour trouver le taux d’évolution : méthode 1 : t = V

a

− V

_d

V

_d

méthode 2 : on calcule le CM : CM = V

a

V

_d

, puis t = CM − 1 .

• Calculer un taux global correspondant à plusieurs évolutions successives :

V

d

−→

×(1+t1)

V

₁

−→

×(1+t2)

V

₂

... −→

×(1+tn)

V

a

× (1 + t

_g

)

Il faut multiplier les coefficients multi- plicateurs :

1 + t

g

= (1 + t

1

)(1 + t

2

) × ... × (1 + t

n

).

→ donc :

t

g

= (1 + t

1

)(1 + t

2

) × ... × (1 + t

n

) − 1

ex : Caluler le tauÆx d'évolution global orres-

pondaÆnt à uÆne bai s se de 15%^{, pui s uÆne hau s se}

de 12% ^:

• Calculer un taux moyen correspondant à n évolutions successives,

connaissant le taux global t

g

:

V

_d

−→

×(1+tm)

V

₁

−→

×(1+tm)

V

₂

... −→

×(1+tm)

V

_a

× (1 + t

_g

)

→ On écrit : (1 + t

m

)

ⁿ

= 1 + t

g

puis t

_m

=

^pn

1 + t

_g

− 1

ex : Pour uÆne hau s se aÆnÆnuelle de 15%^,

on herhe le tauÆx men suel moyen tm^.

C'est letauÆx a p pliqué 12foi s de suite, et qui donÆne

uÆn tauÆx global tg=...^.

Don tm=

12p

(1 + 0, 15) est la "racine 12

^ème

de 1,15".

Á la calculatrice, on tape :

12 √^xy ( 1+0,15 ) - 1 =

Sur les T.I., on accède à √^xyavec la touche MATH