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TS – Contrôle n°2
- Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié.
- La calculatrice est autorisée.
- Téléphone et montre connectée interdits.
- Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.
- Si, au cours de l'épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Exercice n°1 (11 pts)
Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives.
On admet que :
• la probabilité qu’il gagne la première partie est de $/t{0,2;0,3;0,4}$ ;
• s’il gagne,la probabilité de gagner la suivante est égale à
$/t{0,6;0,7;0,8;0,9}$ ;
• s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à
$/t{0,1;0,2;0,3}$.
On note, pour tout entier naturel non nul :
• Gn l’événement "le joueur gagne la n-ième partie" ;
• pn la probabilité de l’événement Gn . On a donc p1 = #1
1.[1,5] Construire l'arbre pondéré schématisant les deux premières parties successives, avec toutes les probabilités de toutes les branches.
2.[1,5] Montrer que p2 = /calc{#1*#2+#3*(1-#1)}.
3.[1] Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la première.
4.[1] Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.
5.[1] Montrer que pour tout entier naturel n strictement plus grand que 1, pn+1 = /calc{#2-#3}pn + #3
6.[2,5] On pose, pour tout n strictement plus grand que 1, qn = pn - /fs{#3 ;/calc{1-(#2-
#3)}}. Montrer que (qn) est géométrique. Déterminer q2 et sa raison.
7.[1] En déduire, pour tout n strictement plus grand que 1, l'expression de pn en fonction de n.
8.[1,5] Déterminer la limite de la suite (pn) quand n tend vers +∞. Interpréter ce résultat.
Exercice n°2 [12 pts]
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = ¤/rc{x^2+¤}-#4x . 1.[1] Déterminer les limites de f(x) en −∞ et +∞ .
2.[0.5] En déduire une asymptote (on donnera son équation).
3.
a.[2] Calculer la dérivée f' de f.
b.[1.5] Étudier le signe de f '.
c.[1] En déduire le tableau de variation complet de f.
d.[2] Montrer que 1- /rc{1+/f{#5;x²}} est négatif pour tout x positif.
e.[1] Étudier le signe de f.
4.[1] Existe-t-il un point de la courbe dont la tangente est horizontale ? Justifier.
5.[2] On définit la suite (un) par u0=10 et un+1=f(f(un)). Montrer que si un+1<un, alors un+2<un+1. Peut-on en déduire que (un) est décroissante ?
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