TS - Contrôle n°5- Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié (et est volontairement sur plus de 20). - La calculatrice est autorisée.- Téléphone et montre connectée interdits.

1/2 -

TS - Contrôle n°5

- Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié (et est volontairement sur plus de 20).

- La calculatrice est autorisée.

- Téléphone et montre connectée interdits.

- Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.

- Si, au cours de l'épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Exercice n°1 – 1 pt

L est une loi uniforme sur $[0;µ]$.

1. Calculer P(X</al{1;/calc{#1-1}}).

2. Calculer l’espérance de cette loi.

Exercice n°2 – 1 pt (R.O.C.)

Que vaut P(a<X<b) pour la loi exponentielle ? Démontrez-le.

Exercice n°3 – 10 pts

Soit n un entier naturel non nul.

On considère la suite de fonctions (f

) définies sur l'ensemble R des nombres réels par : f

(x) = ¤x

e

.

On note c

la courbe représentative de la fonction f

dans un repère orthogonal.

On définit, pour tout entier naturel n non nul, la suite d’intégrales (I

) par : I

= /int{0;1;f_n(x)dx}.

On admettra que /lim{x;+infinity;x² e^{-x}} =0 .

Partie A : étude de la fonction f

.

1. On admet que la fonction f

est dérivable sur R et on note f'

sa dérivée.

a

. Calculer f'

.

b

. Étudier les variations de la fonction f

sur R.

c

. Déterminer la limite de f

en – ∞ . d

. Déterminer la limite de f

en + ∞ .

2

. On sait qu’une primitive de f

est de la forme $F_1 (x)= – #3e^{-2x}(

ax^2+bx+c)$ . Déterminer a , b et c.

3[0,5]. En déduire la valeur exacte de I

.

Partie B : étude de la suite ( I

).

On admet que la fonction f

est dérivable sur R et on note f'

sa dérivée.

1. Soit n un entier naturel non nul.

a

. Interpréter géométriquement la quantité I

.

b

. Émettre une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite (I

) .

2. a

. Déterminer le signe de f

en fonction de n et de x . b

. Exprimer f

en fonction de f

.

c

. En déduire le sens de variation de la suite (f

) , en justifiant chaque étape.

1/2

2/2 -

d

. La suite (f

) est-elle convergente ? Justifier.

e [0,5] . Déterminer le sens de variation de la suite (I

) .

3

. Déduire de tout ce qui précède un encadrement de la suite (I

) , puis sa limite.

Exercice n°4 – 8 pts

/iv{/t{1;1,5;2}}

1. Soit f la fonction définie sur $[-#5;#5]$ par $f(x)=/rc{/calc{#5*#5}-x² }$ . a

. Étudier les variations de f (on ne demande pas les limites).

b

. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f en un point A d’abscisse x

c

. Déterminer les coordonnées du point N , intersection de cette tangente avec l’axe des abscisses.

d

. Déterminer les coordonnées du point M , intersection de cette tangente avec l’axe des ordonnées.

2. [4] Dans une salle à manger de 5 m sur 6 m, on a une colonne dont la section a la forme d’un arc de cercle de rayon #5 m, située dans un coin, qui sert à passer les fils électriques, canalisations, etc. (voir figure ci-contre).

On souhaite installer une cloison plane qui cache cette colonne. Mais on veut aussi diminuer le moins possible l'aire de la chambre.

Déterminer, en justifiant la réponse, la position de cette cloison pour obtenir l’aire de la chambre maximale.

Exercice n°5 – 4 pts

On se place dans le plan complexe.

Soit f la transformation qui, à tout nombre imaginaire z non nul, associe le nombre imaginaire f(z) défini par $ f(z)=¤z + /f{#6;z}$.

On note M le point d’affixe z et M’ le point d’affixe f(z).

1. [1] Calculer f(i) sous forme algébrique.

2. [1] Résoudre, dans l’ensemble des nombres imaginaires, l’équation f(z)=1.

3. [1] Soit M un point du cercle c de centre O et de rayon 1, d’affixe z

. Montrer que f(z

) est un nombre réel.

4. [1] Déterminer l’ensemble des points N d’affixe z

tels que f(z

) est un nombre imaginaire pur.

2/2