Doc généré n° 1 : Terminale Spé math – Contrôle n°2•

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Doc généré n° 1 :

Terminale Spé math – Contrôle n°2

• La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie.

• Le barème donné n'est qu'indicatif et peut être modifié.

• Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez joindre le sujet à votre copie quand vous rendez votre travail.

• Si, au cours de l'épreuve, vous repérez ce qui semble être une erreur d'énoncé, signalez-la sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les

raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre.

• Les exercices peuvent être faits dans le désordre. Pas les questions.

• Le barème total est volontairement sur plus de 20 pour laisser un peu de choix entre les exercices (une note supérieure à 20 donnera 20/20).

Exercice n°1 (4 pts)

Résoudre le système d’équations suivant (la calculatrice est autorisée - mais expliquez votre démarche) :

{

⁻³⁻⁹⁻⁷⁶^x^x+^x−2^x−6⁺⁴⁴^y−5^y^y−^y−8⁺⁵⁷^z+^z−3^z^z⁺⁸⁺⁵⁶^t=−29^t^t^t⁼¹⁹⁼¹²⁼²⁹

Déterminer les entiers x tels que 7+3x  x+4[6]

Déterminer les entiers x tels que 6x+7∨x –5 . Exercice n°5 (4 pts)

On donne les trois suites suivantes :

{

^b^câⁿ⁺¹ⁿ⁺¹ⁿ⁺¹⁼⁻⁼⁻⁼¹⁶³²³²³âââⁿⁿ⁻ⁿ⁺⁻¹⁷¹³³⁴³^b^b^bⁿ⁻ⁿⁿ⁻⁺⁶¹¹^c^c^cⁿⁿⁿ

et a₀=1, b₀=0 et c₀=0.

1. Montrer que ce système peut se traduire par une relation matricielle du type Xn+1 = XnT où Xn+1 = (ân+1 b_n+1 c_n+1)^,^Xⁿ⁼(ân b_n c_n)êt^T une matrice carrée d’ordre 3 que l’on déterminera.

(2)

2. Soit la matrice P = (¹¹1 ⁻¹¹0 −1⁰¹ )^.

a. Déterminer la matrice inverse de P.

b. Montrer que P^-1TP est une matrice diagonale.

c. Soit D la matrice diagonale ainsi obtenue. Montrer que T = PDP^-1. d. Montrer que Tⁿ = PDⁿP^-1.

e. Donner sans justification la matrice Dⁿ. f. En déduire Tⁿ.

g. En déduire Xnen fonction de n.

3. Déduire de ce qui précède les expressions des suites en fonction de n, puis le comportant de chaque suite quand n tend vers l’infini.

(3)

Résultats :

Ex.1 : x=6, y=−5, z=−3, t=4

Ex.2 : 2.a. Matrice P⁻¹=

(

⁻¹³³¹³² ¹³¹³¹³ ⁻²¹³¹³³

)

^.

b. Matrice diagonale : D=(^{−5 0 0}⁰0 ^{2 0}0 1)^.

c. Réponse donnée.

d. Réponse donnée.

e. Dⁿ=(⁽⁻⁵⁰⁰⁾ⁿ ⁽²⁰⁰⁾ⁿ ⁽¹⁰⁰⁾ⁿ)^.

f.

(

¹³⁽⁽¹³⁻⁵¹³⁽⁽⁻⁵⁽⁾ⁿ⁽⁻⁵⁻²⁾ⁿ⁺⁾ⁿ^×⁻²⁽^×²⁽¹⁾⁽ⁿ⁾²ⁿ⁺⁾⁾ⁿ⁽¹⁾ ⁾ⁿ⁾ ¹³⁽¹³¹³⁽⁻⁽⁽⁽⁽⁵⁻⁵⁻⁵⁾ⁿ⁺⁾⁾ⁿⁿ⁽⁻²⁻⁾ⁿ⁽⁽²¹⁺⁾⁾⁽ⁿⁿ¹⁾⁾⁾ⁿ⁾ ¹³⁽⁽⁻⁵¹³⁾¹³⁽ⁿ⁽⁻⁵⁻²⁽⁽⁻⁵⁾^×ⁿ⁺²⁾ⁿ⁽²⁺⁾^×⁽ⁿ²⁻⁽⁾¹ⁿ^2×⁾⁾ⁿ⁾ ⁽¹⁾ⁿ⁾

)

^.

g. x₁₁=1

3((−5)ⁿ+2×(2)ⁿ). x₁₂=1

3((−5)ⁿ−(2)ⁿ). x₁₃=1

3((−5)ⁿ+(2)ⁿ).

(4)

{

⁻⁻⁶⁻⁻⁵⁴³^x+6^x+9^x−^x−²^y^y−9²^y−3⁻⁸^y⁺⁷^z+^z+9^z^z+^−8t⁶^t^t=−^4t⁼⁻¹⁷⁴⁼⁻¹⁷⁼²¹²¹⁷

{

â^b^cⁿ⁺¹ⁿ⁺¹ⁿ⁺¹⁼⁼⁼²²¹³¹³³âââⁿⁿ⁺⁻ⁿ⁺²³³¹³²³^b^b^bⁿⁿⁿ⁺⁸⁺⁰⁺⁰^c^c^cⁿⁿⁿ

et a₀=1, b₀=0 et c₀=0.

(5)

2. Soit la matrice P = (¹¹1 ⁻¹¹0 −1⁰¹ )^.

(6)

Résultats :

Ex.1 : x=9, y=−9, z=8, t=−2

Ex.2 : 2.a. Matrice P⁻¹=

(

⁻¹³³¹³² ¹³¹³¹³ ⁻²¹³¹³³

)

^.

b. Matrice diagonale : D=(^{2 0}^{0 2}0 0 −6⁰⁰ )^.

e. Dⁿ=(⁽²⁰⁰⁾ⁿ ⁽²⁰⁰⁾ⁿ ⁽⁻⁶⁰⁰⁾ⁿ)^.

f.

(

¹³⁽⁽²¹³¹³⁾ⁿ⁽⁻⁽⁽²⁽²²⁾ⁿ⁾ⁿ^×⁺⁻^2×⁽²⁽⁻⁶⁾ⁿ⁽⁺²⁾⁽ⁿ⁾⁻⁶ⁿ⁾⁾ ⁾ⁿ⁾ ¹³⁽¹³⁽²¹³⁽⁾⁽⁽ⁿ²⁽⁺²⁾ⁿ⁽⁾²⁻ⁿ⁻⁾ⁿ⁽⁻⁶⁺⁽²⁽⁻⁶⁾ⁿ⁾⁾ⁿ⁾⁾ⁿ⁾ ¹³⁽⁽²⁾¹³ⁿ⁻⁽⁽¹³²²⁽⁾^×⁽ⁿ²⁺²⁽⁾²ⁿ⁺⁾^×ⁿ⁽⁻²²⁽⁻⁶⁾ⁿ⁾^×⁾ⁿ⁽⁻⁶⁾ ⁾ⁿ⁾

)

^.

g. x₁₁=1

3((2)ⁿ+2×(2)ⁿ). x₁₂=1

3((2)ⁿ−(2)ⁿ). x₁₃=1

3((2)ⁿ+(2)ⁿ).

(7)

{

⁻⁵⁵⁴⁷^x−7^x+^x+3^x−3⁸^y+^y^y+8^y⁻³⁺²⁸^z^z−6^z+^z⁺⁺^4t⁷⁷^t^t^t=85⁼¹⁵⁸⁼²⁶⁼⁻⁹³

Déterminer les entiers x tels que 4+8x  x+8 [6]

{

^b^câⁿ⁺¹ⁿ⁺¹ⁿ⁺¹⁼¹^=1a⁼⁶ââⁿⁿⁿ⁺⁺⁺¹⁹¹³³⁴³^b^b^bⁿⁿ⁺ⁿ⁺⁺²⁰³²³²³^c^c^cⁿⁿⁿ

et a₀=1, b₀=0 et c₀=0.

(8)

2. Soit la matrice P = (¹¹1 ⁻¹¹0 −1⁰¹ )^.

(9)

Résultats :

Ex.1 : x=7, y=−9, z=8, t=−1

Ex.2 : 2.a. Matrice P⁻¹=

(

⁻¹³³¹³² ¹³¹³¹³ ⁻²¹³¹³³

)

^.

b. Matrice diagonale : D=(^{−6 0 0}⁰0 ^{3 0}0 5)^.

e. Dⁿ=(⁽⁻⁶⁰⁰⁾ⁿ ⁽³⁰⁰⁾ⁿ ⁽⁵⁰⁰⁾ⁿ)^.

f.

(

¹³⁽⁽¹³⁻⁶¹³⁽⁽⁻⁶⁽⁾⁽ⁿ⁻⁶⁻²⁾ⁿ⁺⁾ⁿ^×⁻²⁽^×³⁽⁵⁾⁽ⁿ⁾³ⁿ⁺⁾⁾ⁿ⁽⁵⁾ ⁾ⁿ⁾ ¹³⁽¹³¹⁽³⁻⁽⁽⁽⁽⁶⁻⁶⁻⁶⁾ⁿ⁺⁾⁾ⁿⁿ⁽⁻³⁻⁾ⁿ⁽⁽³⁵⁺⁾⁾⁽ⁿⁿ⁵⁾⁾⁾ⁿ⁾ ¹³⁽⁽⁻⁶¹³¹³⁾⁽ⁿ⁽⁻⁶⁻²⁽⁽⁻⁶⁾^×ⁿ⁺⁾ⁿ⁽³⁺²⁾^×⁽ⁿ³⁻²⁽⁾⁵ⁿ⁾⁾ⁿ^×⁾⁽⁵⁾ⁿ⁾

)

^.

g. x₁₁=1

3((−6)ⁿ+2×(3)ⁿ). x₁₂=1

3((−6)ⁿ−(3)ⁿ). x₁₃=1

3((−6)ⁿ+(3)ⁿ).

(10)

{

⁻²⁻⁵⁻⁹⁻⁵^x+8^x−7^x^x⁺³⁺⁵^y−6^y−5^y−4^y+⁴^z−6^z−3^z−5t^z⁻⁵^t^t⁼⁻³⁶^t=⁼²⁰⁼³⁶⁵⁰

Déterminer les entiers x tels que 5+4x  x+2 [6]

{

^bâ^cⁿ⁺¹ⁿ⁺¹ⁿ⁺¹⁼⁻⁼⁼⁻¹⁰³²³²³âââⁿ⁻ⁿⁿ⁺⁺¹³⁰^b^b^bⁿⁿⁿ⁻⁻⁺⁸³¹³¹³^c^c^cⁿⁿⁿ

et a₀=1, b₀=0 et c₀=0.

(11)

2. Soit la matrice P = (¹¹1 ⁻¹¹0 −1⁰¹ )^.

(12)

Résultats :

Ex.1 : x=−7, y=−4, z=2, t=1

Ex.2 : 2.a. Matrice P⁻¹=

(

⁻¹³³¹³² ¹³¹³¹³ ⁻²¹³¹³³

)

^.

b. Matrice diagonale : D=(⁻⁸⁰0 ^{−8 0}⁰0 ⁰7)^.

e. Dⁿ=(⁽⁻⁸⁰⁰⁾ⁿ ⁽⁻⁸⁰⁰⁾ⁿ ⁽⁷⁰⁰⁾ⁿ)^.

f.

(

¹³⁽⁽¹³⁻⁸⁽⁽¹³⁻⁸⁾ⁿ⁽⁻²⁽⁻⁸⁾ⁿ⁺^×⁾ⁿ²⁻⁽^×⁻⁽⁽⁷⁸⁻⁸⁾⁾ⁿⁿ⁾⁺⁾ⁿ⁽⁷⁾⁾ⁿ⁾ ¹³⁽¹³⁽⁻¹³⁽⁽⁸⁽⁻⁸⁽⁻⁸⁾ⁿ⁺⁾ⁿ⁽⁾⁻⁸⁻ⁿ⁻⁽⁻⁸⁽⁾⁷ⁿ⁺⁾ⁿ⁾⁽ⁿ⁾⁷⁾⁾ⁿ⁾ ¹³⁽⁽⁻⁸¹³⁾¹³ⁿ⁽⁻²⁽⁽⁻⁸⁽⁻⁸^×⁾ⁿ⁾ⁿ⁽⁺²⁻⁸⁺⁽⁻⁸^×⁾ⁿ⁻²⁽⁷⁾ⁿ⁾ⁿ⁾⁾^×⁽⁷⁾ⁿ⁾

)

^.

g. x₁₁=1

3((−8)ⁿ+2×(−8)ⁿ). x₁₂=1

3((−8)ⁿ−(−8)ⁿ). x₁₃=1

3((−8)ⁿ+(−8)ⁿ).

(13)

{

⁻⁹³⁷³^x−9^x−4^x+6^x+²^y−4^y+5^y^y⁺⁸⁺²^z−3^z−9^z−^z−9⁹^t^t^t⁼⁻²⁶^t=167⁼⁷⁹⁼⁷⁷

{

^b^cⁿ⁺¹âⁿ⁺¹ⁿ⁺¹⁼⁻⁼⁻⁼⁵²²âââⁿ⁻ⁿⁿ⁺⁻⁸³¹³³²³^b^bⁿ^b⁻ⁿⁿ⁺⁻⁴³¹¹³⁴³^cⁿ^c^cⁿⁿ

et a₀=1, b₀=0 et c₀=0.

(14)

2. Soit la matrice P = (¹¹1 ⁻¹¹0 −1⁰¹ )^.

(15)

Résultats :

Ex.1 : x=−9, y=−1, z=8, t=−8

Ex.2 : 2.a. Matrice P⁻¹=

(

⁻¹³³¹³² ¹³¹³¹³ ⁻²¹³¹³³

)

^.

b. Matrice diagonale : D=(⁶⁰0 ⁻¹⁰0 −5⁰⁰ )^.

e. Dⁿ=(⁽⁶⁰⁰⁾ⁿ ⁽⁻¹⁰⁰⁾ⁿ ⁽⁻⁵⁰⁰⁾ⁿ)^.

f.

(

¹³⁽⁽⁶¹³⁾ⁿ¹³⁽⁻²⁽⁶⁽⁽⁾⁶ⁿ^×⁺²⁾ⁿ⁻⁽⁻¹^×⁽⁻⁵⁽⁻¹⁾ⁿ⁺⁾ⁿ⁽⁾⁾⁻⁵ⁿ⁾ ⁾ⁿ⁾ ¹³⁽⁽⁶¹³¹³⁾⁽ⁿ⁽⁽⁽⁺⁶⁶⁽⁾⁾⁻¹ⁿⁿ⁻⁻⁽⁽⁾⁻¹⁻⁵ⁿ⁺⁽⁻⁵⁾⁾ⁿⁿ⁾⁾ ⁾ⁿ⁾ ¹³⁽⁽⁶⁾ⁿ¹³⁻¹³⁽^2×⁽⁶⁽⁽⁾⁶ⁿ⁽⁺⁾⁻¹ⁿ^2×⁺⁽⁻¹⁾ⁿ⁻²⁽⁻⁵⁾ⁿ⁾^×⁾ⁿ⁾⁽⁻⁵⁾ⁿ⁾

)

^.

g. x₁₁=1

3((6)ⁿ+2×(−1)ⁿ). x₁₂=1

3((6)ⁿ−(−1)ⁿ). x₁₃=1

3((6)ⁿ+(−1)ⁿ).