Contrôle n°1 – Durée 2h

1/2 - T.S. 2015 – contrôle n°1

Contrôle n°1 – Durée 2h

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation de la copie.

Le barême donné n'est qu'indicatif et peut être modifié.

La calculatrice est autorisée.

Le sujet étant différent pour chaque candidat, veuillez le joindre à votre copie quand vous rendez votre travail.

Exercice n°1 [6 points

]

Dans chaque cas, déterminer la limite de la suite (un).

1. un= /t{–¤n²+¤n ;¤n²–¤n}/t{+µ;–µ}.

2. un=/f{/t{ ;–}¤n^{2}/t{+;–}¤n/t{+µ;–µ} ; /t{ ;–}¤n^{2}/t{+;–}¤n/t{+µ;–µ}}.

3. un=/f{/t{ ;–}¤n/t{+µ;–µ} ; /t{ ;–}¤n^{2}/t{+;–}¤n/t{+µ;–µ}}.

Exercice n°2 [6,5 points

]

On considère la fonction f définie par : f(x)=/f{¤x^{2};¤x+µ}, et sa courbe représentative cf.

1. Donner son ensemble de définition.

2. Déterminer les variations de f.

3. Donner, en justifiant, l'équation de la tangente à cf en 0.

Exercice n°3 [13 points

]

u1=/f{1;2}

un+1= /f{n+1;¤n}un , pour tout n ∈ N*.

1. Calculer u2, u3 et u4.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, un est strictement positif.

3. Démontrer que la suite (un) est décroissante.

4. On définie la suite (vn) par : vn = u_n

n . Démontrer que (vn) est une suite géométrique, et déterminer son premier terme et sa raison.

5. En déduire que un s'écrit sous la forme : u_n= n

2aⁿ⁻¹ où a est un nombre entier positif que l'on déterminera.

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6. Démontrer par récurrence que, pour n2, 1 2aⁿ⁻¹< 1

n² , a étant le nombre précédemment déterminé.

7. Déduire de ce qui précède la limite de la suite (un) .

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