Évaluation n°1 - 1 août 2020 (1h35)
Exercice 1 (2 points)
1. Soit (𝑢𝑛) une suite géométrique de raison 𝑞 > 0, telle que 𝑢4 = 3 et 𝑢6 = 48 Déterminer la valeur de 𝑞.
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2. Soit (𝑣𝑛) une suite arithmétique de raison 𝑟 telle que 𝑢4 = 3 et 𝑢7 = 18.
Déterminer la valeur de 𝑟.
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Exercice 2 (2 points)
Étudier les variations de la suite (𝑢𝑛) définie pour tout 𝑛 ∈ ℕ par 𝑢𝑛 = 2𝑛2− 3
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Exercice 3 (2 points)
Étudier les variations de la suite (𝑢𝑛) définie pour tout 𝑛 ∈ ℕ par 𝑢𝑛 = 3𝑛
4𝑛−1
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Exercice 4 (4 points)
Soit (𝑢𝑛) la suite définie par { 𝑢0 = 1 𝑢𝑛+1 =1
2𝑢𝑛+ 1
1. Calculer 𝑢1 et 𝑢2.
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Niveau 1-2 Niveau 1
Niveau 1 NOM :……….. Prénom :……….
Niveau 1-2
2. La suite est-elle arithmétique, géométrique ? Justifier.
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3. Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛 ≤ 2 .
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Exercice 5 (4 points)
Soit (𝑢𝑛) la suite définie par {
𝑢0 = 3 𝑢𝑛+1 = 3
𝑢𝑛+1
et 𝑓 la fonction définie sur [0 ; +∞[ par 𝑓(𝑥) = 3
𝑥+1.
On admet que la fonction 𝑓 est strictement décroissante sur [0 ; +∞[ . 1. Résoudre l’équation 𝑓(𝑥) = 𝑥
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2. Construire sur le graphique suivant les 4 premiers termes de la suite 𝑢𝑛 en laissant apparaître les traits de construction.
Niveau 2
3. Démontrer par récurrence que : pour tout entier naturel 𝑛, 3
4≤ 𝑢𝑛 ≤ 3.
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4. Quelle conjecture pouvez-vous faire comportant le comportement de la suite 𝑢 pour des grandes valeurs de 𝑛.
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Exercice 6 (4 points)
Montrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel 𝑛 : 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛 + 1)
2
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Niveau 2
Exercice 7 (2 points + 2points bonus)
On considère la suite 𝑢 définie par 𝑢0 = 0 , 𝑢1 = 1 et pour tout entier 𝑛 ≥ 1:
𝑢𝑛+1 = 4𝑢𝑛− 3𝑢𝑛−1 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑢𝑛 = 3𝑛−1
2
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Niveau 3
