Int´ egrale stochastique

Int´ egrale stochastique

Plan

L’int´egrale stochastique g´en´erale Int´egrale de Wiener

Exemples

Processus d’Itˆo Formule d’Itˆo

Formule de Black & Scholes

Le processus B est un mouvement Brownien et

F_t^B, t ≥ 0

est sa filtration naturelle.

1 L’int´ egrale stochastique g´ en´ erale

On cherche `a d´efinir

_t

0

θ_s dB_s

quand {θ_s, s ≥ 0} est un processus stochastique.

D´efinition 1.1 On dit que {θ_t, t ≥ 0} est un bon processus s’il est (F_t^B)-adapt´e, c`agl`ad, et si

E

_t

0

θ_s² ds

< +∞ pour tout t > 0.

1.1 Cas des processus ´ etag´ es

Ce sont les processus du type θ_tⁿ =

pn

i=0

θ_i11_]ti,ti+1](t)

o`u p_n ∈ IN, 0 = t₀ ≤ t₁ . . . ≤ t_pn et θ_i ∈ L²(Ω,Fti, P) pour tout i = 0, . . . , p_n. On d´efinit

I_t(θⁿ) =

_t

0

θ_sⁿ dB_s =

pn

i=0

θ_i(B_ti+1∧t − B_ti∧t)

Propri´et´es:

E [I_t(θⁿ)] = 0 Var [I_t(θⁿ)] = E

_t

0

(θ_sⁿ)² ds

. Les processus I_t(θⁿ) et I_t²(θⁿ) − _t

0(θ_sⁿ)²ds sont des martingales.

1.2 Cas g´ en´ eral

Si θ est un bon processus, il existe {θⁿ, n ≥ 0} suite de processus

´etag´es telle que

E

_t

0

(θ_s − θ_sⁿ)² ds

→ 0

quand n ↑ +∞. Il existe une v.a. I_t(θ) de carr´e int´egrable telle que E

|I_t(θ) − I_t(θⁿ)|² → 0

quand n ↑ +∞. On pose

I_t(θ) =

_t

0

θ_s dB_s pour tout t ≥ 0.

Propri´et´es:

E [I_t(θ)] = 0 Var [I_t(θ)] = E

_t

0

θ_s² ds

.

Lin´earit´e :

I_t(a₁θ¹ + a₂θ²) = a₁I_t(θ¹) + a₂I_t(θ²).

Propri´et´es de martingale : Pour tout bon processus θ, les processus

t → I_t(θ) et t → I_t(θ)² −

_t

0

θ_s²ds

sont des (F_t^B)-martingales continues.

E

(I_t(θ) − I_s(θ))² F_s^B

= E

_t

s

θ_u²du F_s^B

.

Propri´et´e d’isom´etrie : Pour tous bons processus ϕ, θ et tout s, t ≥ 0, on a

E [I_s(ϕ)I_t(θ)] = E

_s∧t

0

θ_uϕ_u du

. Le processus

I_t(θ)I_t(ϕ) −

_t

0

θ_uϕ_u du est une (F_t^B)-martingale.

Proposition 1.2 Pour tout t ≥ 0 on a

_t

0

B_s dB_s = 1

2(B_t² − t).

Il est possible de d´efinir I_t(θ) sous la seule condition _t

0

θ_s² ds < +∞ p.s.

Cependant, t → I_t(θ) n’est plus n´ecessairement une martingale.

D´efinition 1.3 Soit {F_t, t ≥ 0} une filtration et {X_t, t ≥ 0} un processus (F_t)-adapt´e. On dit que X est une (F_t)-martingale locale s’il existe une suite {τ_n, n ≥ 0} de (F_t)-temps d’arrˆet telle que

P [τ_n → +∞] = 1

et le processus Xⁿ : t → X_t∧τn est une martingale pour tout n ≥ 0.

D´efinition 1.4 On dit que {θ_t, t ≥ 0} est un bon processus local s’il est c`agl`ad, (F_t^B)-adapt´e, et si

_t

θ² ds < +∞ p.s.

pour tout t > 0.

Soit θ un bon processus local. On peut d´efinir I_t(θ) pour tout

t > 0, qui est une martingale locale. De mˆeme, en prenant la mˆeme suite de temps d’arrˆet, on montre que le processus

I_t(θ)² − _t

0

θ²_s ds est une martingale locale.

1.3 Le crochet

D´efinition 1.5 Si Z est une martingale locale continue , < Z >

est l’unique processus croissant continu (Ft)-adapt´e tel que t → Z_t²− < Z >_t soit une (F_t)-martingale locale.

Par polarit´e, on peut d´efinir le crochet de deux (Ft)-martingales locales M et N en ´ecrivant

< M, N >_t = 1

2 (< M + N >_t − < M >_t − < N >_t).

Le crochet < M, N > est aussi l’unique processus `a variation finie tel que le processus M N− < M, N > soit une martingale locale.

Enfin, la proposition suivante donne enfin de < M, N > une importante construction trajectorielle :

Proposition 1.6 Soient M et N deux martingales locales continues. Alors p.s. pour tout t ≥ 0,

< M, N >_t = lim

n→+∞

2ⁿ

i=1

(M_tⁿ

i − M_tⁿ

i−1)(N_tⁿ

i − N_tⁿ

i−1) o`u {t<sup>n</sup><sub>i</sub> , i = 0. . . 2<sup>n</sup>} d´esigne la subdivision r´eguli`ere sur [0, t].

< I(θ) >_t =

_t

0

θ_s² ds et < I(θ), I(ϕ) >_t=

_t

0

θ_sϕ_sds.

On dit que deux martingales continues sont orthogonales si leur crochet est nul, c’est-`a-dire si leur produit est une martingale. Par exemple, deux Browniens ind´ependants sont des martingales

orthogonales.

2 Cas particulier: Int´ egrale de Wiener

2.1 D´ efinition

On note L²(IR⁺) l’ensemble des (classes d’´equivalence des) fonctions bor´eliennes f de IR⁺ dans IR de carr´e int´egrable, c’est-`a-dire telles que _+∞

0 |f(s)|² ds < ∞. C’est un espace de Hilbert pour la norme

||f||₂ =

_∞

0

f²(s)ds

_1/2 .

2.1.1 a. Fonctions en escalier Pour f = 11_]u,v] , on pose _+∞

0 f(s)dB_s = B(v) − B(u).

Soit f une fonction en escalier, f(s) = _i=n

i=1 f_i−111_]ti;ti+1](s) on

pose _+∞

0

f(s)dB_s =

i=n i=1

f_i−1 (B(t_i) − B(t_i−1)) .

La variable al´eatoire I(f) ^def= _+∞

0 f(s)dB_s est une variable gaussienne d’esp´erance nulle et de variance _+∞

0 f²(s)ds.

L’int´egrale est lin´eaire : I(f + g) = I(f) + I(g). Si f et g sont des fonctions en escalier E(I(f) I(g)) =

R⁺ f(s)g(s) ds. Le processus I est un processus gaussien, c’est une martingale.

2.1.2 b. Cas g´en´eral

Si f ∈ L²(IR⁺), il existe une suite f_n de fonctions en escalier qui converge (dans L²(IR⁺)) vers f, c’est-`a-dire qui v´erifie

_∞

0 |f_n − f|²(x)dx →n→∞ 0.

Dans ce cas, la suite f_n est de Cauchy dans L²(IR⁺). La suite de v.a. F_n = _∞

0 f_n(s)dB_s est une suite de Cauchy dans l’espace de Hilbert L²(Ω) (en effet ||F_n − F_m||2 = ||f_n − f_m||2 →n,m→∞ 0), donc elle est convergente. On pose

I(f) ^def=

_∞

0

f(s)dB_s = lim

n→∞

_∞

0

f_n(s)dB_s la limite ´etant prise dans L²(Ω).

On dit que I(f) est l’int´egrale stochastique (ou int´egrale de Wiener) de f par rapport `a B.

Le sous-espace de L²(Ω) form´e par les v.a. _∞

0 f(s)dB_s co¨ıncide avec l’espace gaussien engendr´e par le mouvement Brownien.

2.2 Propri´ et´ es

• L’application f → I(f) est lin´eaire

I(f + g) = I(f) + I(g) et isom´etrique de L²(IR⁺) dans L²(Ω)

E (I(f)I(g)) =

IR⁺

f(s)g(s)ds.

• La variable I(f) est une v.a. gaussienne centr´ee de variance

IR⁺ f²(s)ds appartenant `a l’espace gaussien engendr´e par (B_t, t ≥ 0) et elle v´erifie pour tout t

E

B_t

IR⁺

f(s)dB_s

=

_t

0

f(s)ds . (2.1) La propri´et´e (2.1) est en fait une caract´erisation de l’int´egrale

stochastique au sens o`u si pour tout t, E(ZB_t) = _t

0 f(s)ds, alors Z =

_∞

0

f(s)dB_s.

2.3 Processus li´ e ` a l’int´ egrale stochastique

De la mˆeme fa¸con on d´efinit _t

0 f(s)dB_s pour f telle que _T

0 |f(s)|² ds < ∞, ∀T, ce qui permet de d´efinir l’int´egrale

stochastique pour une classe plus grande de fonctions. On notera L²_loc cette classe de fonctions.

Th´eor`eme 2.1 Soit f ∈ L²_loc et M_t = _t

0 f(s)dB_s.

a) Le processus M est une martingale continue, la v.a. M_t est d’esp´erance 0 et de variance _t

0 f²(s) ds.

b) Le processus M est un processus gaussien centr´e de covariance _t∧s

0 f²(u)du `a accroissements ind´ependants.

c) Le processus (M_t² − _t

0 f²(s)ds , t ≥ 0) est une martingale.

d) Si f et g sont dans L²_loc, on a E( _t

0 f(u)dB_{u s}

0 g(u)dB_u) =

_t∧s

0

f(u)g(u)du.

2.4 Int´ egration par parties

Th´eor`eme 2.2 Si f est une fonction de classe C¹, _t

0

f(s) dB_s = f(t)B(t) − _t

0

f(s)B_s ds.

On peut aussi ´ecrire cette formule

d(B_tf(t)) = f(t)dB_t + B_tf(t)dt .

3 Exemples

3.1 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck

Th´eor`eme 3.1 L’´equation de Langevin

V_t = − _t

0

aV_sds + σB_t + V₀, (3.1) a pour unique solution

V_t = e^−taV₀ +

_t

0

e^−(t−s)aσdB_s. (3.2) On ´ecrit l’´equation (3.1) sous forme condens´ee

dV_t + aV_tdt = σdB_t, V₀ donn´e

les donn´ees du probl`eme sont la variable al´eatoire V₀, le Brownien B et les constantes a et σ.

Proposition 3.2 Le processus V , appell´e processus

d’Ornstein-Uhlenbeck est gaussien d’esp´erance et de covariance E(V_t) = e^−taV_,

cov[V_s, V_t] =

_s

0

e^−(s−u)aσ²e^−(t−u)a du , s ≤ t En particulier, si V₀ est une constante (v = 0)

cov[V_s, V_t] = σ²

2ae^−a(s+t)(e^2as − 1) et Var(V_t) = σ²

2a(1 − exp−2at).

En ´ecrivant

V_s = e^−saV₀ + _s

0

e^−(s−u)aσdB_u V_se^(s−t)a = e^−taV₀ +

_s

0

e^−(t−u)aσdB_u on en d´eduit, pour s ≤ t

V_t = V_se^−(t−s)a + _t

s

e^−(t−u)aσdB_u ou encore

V_t+s = V_se^−ta + _t

0

e^−(t−u)aσdB_u

o`u le processus B d´efini par B_u = B_s+u − B_s est un MB ind´ependant de F_s (donc de V_s).

En particulier

E(f(V_t+s)|F_s) = E(f(V_se^−ta + Y )|F_s) = E(f(V_t+s)|V_s) (dans cette

´egalit´e Y est une v.a. ind´ependante de F_s) ce qui ´etablit le caract`ere markovien de V .

Le calcul explicite peut se faire en utilisant que E(f(V_s^(x)e^−ta + Y )|F_s) = Ψ(V_s^(x))

avec Ψ(y) = E(f(ye^−ta + Y )) = E(f(V_t^(y))) o`u V ^(x) est la solution de l’´equation de valeur initiale x, soit

V_t^(x) = e^−tax + _t

0 e^−(t−s)aσdB_s.

Proposition 3.3 La variable al´eatoire

_t

0

V_sds est une v.a.

gaussienne, de moyenne V₀^1−e_a^−at et de variance

− σ²

2a³ (1 − e^−at)² + σ²

a² (t − 1 − e^−at a ).

3.2 Mod` ele de Vasicek

dr_t = a(b − r_t)dt + σdB_t. (3.3)

La forme explicite de la solution est r_t = (r₀ − b)e^−at + b + σ

_t

0

e^−a(t−u)dB_u. L’´egalit´e

r_t = (r_s − b)e^−a(t−s) + b + σ

_t

s

e^−a(t−u)dB_u, s ≤ t

´etablit le caract`ere Markovien de r.

• Si r₀ est une constante, r_t est une variable gaussienne de moyenne (r₀ − b)e^−at + b, et de variance ^σ_2a²(1 − exp −2at).

• En particulier, ce n’est pas une variable positive.

• Le processus r est gaussien de covariance Cov(r_s, r_t) = ^σ_2a²e^−a(s+t)(e^2as − 1) pour s ≤ t.

Proposition 3.4 Pour tout s < t, l’esp´erance et le variance conditionnelle de r sont

E(r_t|r_s) = (r_s − b)e^−a(t−s) + b var_s (r_t) = σ2

2a(1 − e^−2a(t−s)) Proposition 3.5 La variable _t

0 r_sds est une variable gaussienne de moyenne

E(

_t

0

r_sds) = bt + (r₀ − b)1 − e^−at a et de variance − σ²

2a³(1 − e^−at)² + σ²

a² (t − 1 − e^−at a ).

On en d´eduit E(exp −

_t

s

r_u du|F_s) = exp(−M(t, s) + 1

2V (t, s)).

Ces calculs sont utiles pour valoriser des z´ero-coupons en finance : si B(t, T) est la valeur d’un ZC de maturit´e T, on a

B(t, T) = E(exp

−

_T

t

r_udu

|F_t) et

B(t, T) = exp

b(T − t) + (r_t − b)1 − e^−a(T−t) a

− σ²

4a³ (1 − e^−a(T−t))² + σ²

2a² (T − t − 1 − e^−a(T−t)

a )

4 Processus d’Itˆ o

Ce sont des processus ´ecrits sous la forme X_t = x +

_t

0

b_s ds +

_t

0

σ_s dB_s (4.1)

o`u b est un processus F^B_t -adapt´e tel que

_t

0 |b_s|ds < +∞ p.s.

pour tout t ≥ 0, et σ un bon processus local. On utilise la notation formelle

dX_t = b_t dt + σ_t dB_t X₀ = x .

Le coefficient b s’appelle la d´erive (ou le drift) du processus, et σ son coefficient de diffusion.

Le processus

t → x +

_t

0

b_s ds

est la partie `a variation finie de X, et le processus t →

_t

0

σ_s dB_s

la partie martingale de X (c’est a priori une martingale locale). La d´ecomposition (4.1) du processus X est unique, au sens o`u si X admet une autre d´ecomposition

X_t = x +

_t

0

˜b_s ds +

_t

0

˜

σ_s dB_s,

alors b ≡ ˜b et σ ≡ σ.˜ En particulier, X sous la forme (4.1) est une martingale locale si et seulement si b ≡ 0.

En fait, cette repr´esentation des martingales locales dans une filtration Brownienne est caract´eristique, ind´ependamment de ce que le processus soit a priori un processus d’Itˆo :

Th´eor`eme 4.1 [Th´eor`eme de repr´esentation des

martingales locales] Soit B un mouvement brownien et M une F_t^B-martingale locale continue. Alors il existe x ∈ IR et θ bon processus local tel que

M_t = x +

_t

0

θ_s dB_s.

Ce th´eor`eme est extr´emement important en Finance (march´e complet).

Si X¹ et X² sont deux processus d’Itˆo de d´ecomposition X_tⁱ = x +

_t

0

bⁱ_s ds +

_t

0

σ_sⁱ dB_s

pour i = 1,2, leur crochet est par d´efinition le crochet de leurs parties martingales. Autrement dit

< X¹, X² > = < I(σ¹), I(σ²) >=

_t

0

σ_s¹σ_s²ds.

5 Formule d’Itˆ o

On se donne un processus d’Itˆo r´eel X de d´ecomposition (4.1) et une fonction f : IR → IR suffisamment r´eguli`ere.

Th´eor`eme 5.1 [Premi`ere formule d’Itˆo] Supposons f de classe C². Alors

f(X_t) = f(x) +

_t

0

f(X_s)dX_s + 1 2

_t

0

f(X_s)σ_s²ds.

Si f est `a d´eriv´ees born´ees, et σ born´e, le processus f(X_t) − _t

0 f(X_s)b_s ds − ¹_{2 t}

0 f(X_s)σ_s²ds est une martingale.

Cette formule s’´ecrit sous forme condens´ee df(X_t) = f(X_t)dX_t + 1

2f(X_t)σ_t²dt

=

f(X_t)b_t + 1

2f(X_t) σ_t²

dt + f(X_t)σ_tdB_t

= f(X_t)b_tdt + 1

2f(X_t)dX_t + f(X_t)σ_tdB_t. On utilise souvent la notation

df(X_t) = f(X_t)dX_t + 1

2f(X_t)dX_t · dX_t avec la table de multiplication

dt dB_t

dt 0 0

dB_t 0 dt

En particulier, t → f(X_t) est un processus d’Itˆo de d´erive _t

0

f(X_s)b_s + 1

2f(X_s)σ_s²

ds et de partie martingale

_t

0

f(X_s)σ_s dB_s.

Quand les d´eriv´ees sont born´ees, l’int´egrale stochastique

apparaissant dans la formule est une vraie martingale, et on en d´eduit :

E [f(X_t)] = E [f(X₀)] +

_t

0

E

f(X_s)b_s + 1

2f(X_s)σ_s²

ds E

f(X_t)| F_s^B

= f(X_s) + E

_t

s

f(X_u)b_u + 1

2f(X_u)σ_u²

du F_s^B

Th´eor`eme 5.2 [Deuxi`eme formule d’Itˆo] Soit f une fonction d´efinie sur IR₊ × IR de classe C¹ par rapport `a t, de classe C<sup>2</sup> par rapport `a x. On a

f(t, X_t) = f(0, X₀)+

_t

0

f_t(s, X_s)ds+

_t

0

f_x (s, X_s)dX_s+1 2

_t

0

f_xx (s, X_s)σ_s²ds.

On peut ´ecrire cette formule sous forme diff´erentielle : df(t, X_t) =

f_t(t, X_t) + 1

2f_xx (t, X_t)σ_t²

dt + f_x (t, X_t)dX_t

= f_t(t, X_t)dt + f_x(t, X_t)dX_t + 1

2f_xx (t, X_t)dXt.

=

f_t(t, X_t) + f_x(t, X_t)b_t + 1

2f_xx (t, X_t)σ_t²

dt +f_x(t, X_t)σ_tdB_t

Exemple fondamental: Le mouvement brownien g´eom´etrique, ou processus log-normal est d´efini par l’´equation

X_t = x + µ

_t

0

X_s ds + σ

_t

0

X_s dB_s avec µ, σ ∈ IR. On montre que

X_t = xexp

µt + σB_t − σ²t/2 .

Dans le cas o`u µ et σ sont des fonctions d´eterministes : X_t = x +

_t

0

µ(s)X_s ds +

_t

0

σ(s)X_s dB_s

X_t = X₀ exp−

_t

0

µ(s)ds +

_t

0

σ(s)ds − 1 2

_t

0

σ²(s)ds .

Th´eor`eme 5.3 [Troisi`eme formule d’Itˆo] Soient X¹ et X² deux processus d’Itˆo issus de x₁ (resp. de x₂) de coefficient de d´erive b¹ (resp. b²), de coefficient de diffusion σ¹ (resp. σ²) et port´es respectivement par deux Browniens B¹ et B² corr´el´es avec coefficient ρ. On suppose que bⁱ, σⁱ sont F_t^Bi-adapt´es. Soit f une fonction de IR² dans IR de classe C² `a d´eriv´ees born´ees. On a f(X_t¹, X_t²) = f(x₁, x₂) +

_t

0

f₁(X_s¹, X_s²)dX_s¹ +

_t

0

f₂(X_s¹, X_s²)dX_s²

+1 2

_t

0

f₁₁ (X_s¹, X_s²)

σ_s¹₂

+ 2ρf₁₂ (X_s¹, X_s²)σ_s¹σ_s² + f₂₂ (X_s¹, X_s²)

σ_s²₂ ds o`u f<sub>i</sub> d´esigne la d´eriv´ee par rapport `a x_i et f_ij la d´eriv´ee seconde

par rapport `a x_j puis x_i, i, j = 1,2.

Proposition 5.4 [Formule d’int´egration par parties]

X_t¹X_t² = x₁x₂ +

_t

0

X_s¹ dX_s² +

_t

0

X_s² dX_s¹ + ρ

_t

0

σ_s¹σ_s² ds.

d(X¹X²)_t = X_t¹dX_t² + X_t²dX_t¹ + dX¹, X²_t .

6 Formule de Black & Scholes

On consid`ere un march´e financier comportant un actif dit sans

risque de taux constant r et de prix S_t⁰ = e^rt et un actif risqu´e dont le prix S v´erifie

dS_t = b S_t dt + σ S_t dB_t soit

S_t = S₀ exp

σB_t + (b − σ²/2)t

On fixe un horizon T > 0 et on souhaite donner le prix d’un actif financier qui versera h(S_T) `a la date T.

Le cas d’un call Europ´een de maturit´e T et de strike K correspond au cas h(x) = (x − K)⁺.

On proc`ede par duplication (hedging): on forme un portefeuille

constitu´e d’ α parts de l’actif sans risque (le montant de la richesse investie dans cet actif est αe^rt) et de β_t parts de l’actif risqu´e.

On va trouver un portefeuille auto-financant de valeur terminale h(S_T). La valeur de ce portefeuille `a la date t est

V_t = α_tS_t⁰ + β_tS_t .

La condition d’auto-financement se formalise par dV_t = α_tdS_t⁰ + β_tdS_t ; soit

dV_t = rV_tdt + β_tS_t ((b − r)dt + σdB_t)

On suppose que la valeur du portefeuille `a la date t est une fonction d´eterministe du temps et de la valeur de l’actif risqu´e, soit V (t, S_t).

En utilisant la deuxi`eme formule d’Itˆo, on calcule dV_t =

∂V

∂t (t, S_t) + b S_t ∂V

∂x (t, S_t) + σ²S_t² 2

∂²V

∂x² (t, S_t)

dt +

σS_t ∂V

∂x (t, S_t)

dB_t.

En identifiant avec la condition d’auto-financement, σβ_tS_t = σS_t ∂V

∂x (t, S_t) soit β_t = ∂V

∂x (t, S_t), ce qui entraˆıne alors

rS_t ∂V

∂x (t, S_t) + ∂V

∂t (t, S_t) + σ²S_t² 2

∂²V

∂x² (t, S_t) − rV (t, S_t) = 0 avec pour condition terminale V (T, S_T) = h(S_T).

Comme S_t est une v.a. qui peut prendre toutes les valeurs de IR⁺, on en d´eduit que V satisfait l’EDP

rx^∂V

∂x (t, x) + ^∂V

∂t (t, x) + ¹₂σ²x^{2 ∂2V}

∂²x (t, x) − rV (t, x) = 0

(6.1)

avec pour condition terminale V (T, x) = h(x).

Dans le cas d’un call europ´een h(x) = (x − K)⁺, et pour σ > 0, cette ´equation se r´esout alors en :

N − ^−r(T−t)N

o`u N est la fonction de r´epartition d’une v.a. gaussienne standard : N(x) = 1

√2π

_x

−∞

e^−u2/2du, et avec les notations

d₁ = 1 2σ√

T − t

ln

xe^r(T−t)/K

+ 1

2σ²(T − t)

et d₂ = d₁−σ√

T − t.

La quantit´e

∂C

∂x (t, S_t) = N(d₁)

qui repr´esente la couverture du march´e, soit le nombre de parts de l’actif sous jacent utilis´ees pour r´epliquer l’option s’appelle le Delta de l ’option et repr´esente aussi la sensibilit´e du prix de l option par rapport au prix du sous jacent.

Comme cons´equence de la formule d’Itˆo appliqu´ee aux EDS, on verra plus tard une formule probabiliste pour le prix du call :

C(t, S_t) = e^r(t−T)E

(S_T − K)⁺ | F_t

lorsque le S a pour dynamique

dS_t = rS_tdt + σS_tdB_t .

Cette interpr´etation est fondamentale en Finance, et fait intervenir un changement de probabilit´e.