MPSIA 2012/2013 Devoir surveill´e n˚22 Pour le vendredi 18 Avril 2013
Probl` eme
Ce probl`eme comprend 3 parties. Les calculatrices de type«coll`egeii sont autoris´ees.
Partie A Questions pr´ eliminaires.
1. On consid`ere la suite (an) d´efinie pour tout entier naturelnpar :
an= Z π2
0
sinn(t) dt.
(a) ´Etablir une relation de r´ecurrence liantan etan+2.
(b) En d´eduire, pourn= 2p,p∈N∗, la relationa2p= 1.3.5...(2p−1) 2.4.6...(2p) ·π
2. Pr´eciser la valeur dea2ppourp∈ {1; 2; 3}.
2. Dans cette question, on veut d´eterminer, pour u ∈ [0; 1], un encadrement de la fonctionu7→√
1−u.
(a) Soitgla fonction d´efinie sur [0; 1] par :g(u) = 1−1 2u−1
8u2−√ 1−u.
Etudier les variations de´ g; en d´eduire un encadrement deg(u) pouru∈[0; 1].
(b) Soithla fonction d´efinie par : h(u) = 1−1 2u−1
8u2−√ 1−u.
D´emontrer que pour toutu∈[0; 1], 06 1
16u36h(u)6 3 8u3. (c) D´eduire de ce qui pr´ec`ede un encadrement de√
1−upouru∈[0; 1].
Partie B Une ´ etude de fonction
On consid`ere la fonctionf d´efinie sur [−1; 1] par :f(x) = Z π2
0
q
1−x2sin2(t) dt.
L’objet de cette partie est l’´etude def et la construction de sa courbe repr´esentative (C) dans le plan rapport´e au rep`ere orthonormal
O,−→ i ,−→
j .
1. D´eduire des r´esultats de la premi`ere partie que l’on a pour tout r´eelx∈[−1; 1] : π
2
1−1 4x2− 3
64x4− 15 128x6
6f(x)6 π 2
1−1
4x2− 3
64x4− 5 256x6
.
2. (a) Calculerf(0) etf(1).
(b) D´eterminer `a l’aide de la calculatrice une valeur approch´ee par d´efaut def(x), pourx∈
1 2; 1
√2;
√3 2
.On prendra soin de donner `a chaque fois la pr´ecision de l’approximation.
3. (a) ´Etablir que f est paire et que pour tout x ∈ [−1; 1], f(x) = Z π2
0
p1−x2cos2(t) dt.
(b) D´emontrer que pour tout r´eel a ∈ [0,1[,f est continue sur [−a;a] (question d´elicate, on pourra utiliser l’in´egalit´e des accroissements finis `au7→√
1−u).
En d´eduire quef est continue sur ]−1; 1[.
(c) Pour tout couple (x1, x2)∈[0; 1]2 avecx1 < x2, comparerf(x1) etf(x2). En d´eduire le sens de variation def.
4. D´eterminer le d´eveloppement limit´e def, `a l’ordre 5, au voisinage de 0. Pr´eciser f0(0).
5. Donner le tableau de variations def et construire (C).
Partie C Applications de l’´ etude pr´ ec´ edente
Les r´esultats de cette partie seront exprim´es en utilisant la fonctionf ´etudi´ee dans la deuxi`eme partie.
1. Soit 0< b < ades r´eels. On consid`ere l’ellipse d´efinie param´etriquement par : x(t) =acos(t)
y(t) =bsin(t). t∈[0,2π].
(a) On rappelle que la longueur d’une telle courbe est L = Z 2π
0
q
x0(t)2+y0(t)2 dt.
D´emontrer queL= 4af(e), o`ueest l’excentricit´e de l’ellipse.
(b) Donner une valeur approch´ee deLpoura=√
2 etb= 1. On donnera bien sˆur la pr´ecision de l’approximation.
2. Soitx∈]0; 1[. On consid`ere la fonctionF d´efinie sur [0;x[ par :
F(X) = Z X
0
r 1−t2 x2−t2 dt.
En utilisant le changement de variable d´efini par t = xsin(θ), ´etablir que lim
X→x−F(X) =f(x).
Application : d´eterminer lim
α→1−
Z α
0
r3−u2 1−u2 dt.
3. Exprimer `a l’aide def l’int´egrale :
I= Z π2
0
q
1 + 3sin2(t) dt.
