I166. A unn degr´ e pr` es
Situation g´en´erale
Chaque rayon laser d´ecrit un polygone r´egulier, convexe ou en ´etoile, `an1cˆot´es pour le 1er, parcouru par bonds dek1cˆot´es `a la fois, et `an2cˆot´es pour le 2`eme, parcouru par bonds dek2cˆot´es.n1etk1d’une part,n2etk2d’autre part, sont premiers entre (sinon le rayon ne parcourt qu’une partie desn1oun2sommets).
Les anglesα1et α2avec la tangente au cercle valent180o/n1et180o/n2, et on a :
k2α2=k1α1+ 1(en degr´es) k2180
n2
= k1180 n1
+ 1 n1n2= 180(k2n1−k1n2)
La recherche des solutions, effectu´ee par ordinateur, fournit les r´eponses suiv- antes :
Q1/ Plus petit nombreN de traces (y compris l’origine) : N =n1+n2−P GCD(n1, n2)
28 traces avecn1 = 9, par bonds de 4cˆot´es `a la fois, etn2 = 20 par bonds de9cˆot´es `a la fois (angles de d´epart =80o et81o).
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Q2/45traces :
pas trouv´e de solution , mais on a 44 traces avec n1 = 10, par bonds de 3 cˆot´es `a la fois, etn2 = 36par bonds de 11cˆot´es `a la fois (angles de d´epart = 54o et55o).
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