I166. A un degré près
On considère deux rayons laser qui partent d’un point P situé sur le bord intérieur d’une pièce circulaire. Ils forment respectivement deux angles de n degrés et n + 1 degrés (n entier positif < 90°) avec la tangente en P au mur de la pièce. Dans un plan horizontal, ils se réfléchissent le long de ce mur en laissant une marque rouge à chaque point de contact et reviennent au point P au bout d’un nombre fini de réflexions.
Q
1Déterminer la valeur de n de sorte que le nombre de marques rouges (y compris celle en P) est le plus petit possible.
Q
2On dénombre 45 marques rouges. Déterminer la ou les valeurs possibles de n.
Commençons par déterminer les coordonnés du point R1 :
Le triangle POR1 est isocèle en O, et on a : 𝑃𝑂𝑅̂ = 2𝑛, donc R1 1 est l’image de P par la rotation de centre O et d’angle 2n.
(cos(2𝑛) −sin(2𝑛) sin(2𝑛) cos(2𝑛) ) ( 0
−1) = (𝑥𝑅1 𝑦𝑅1) On obtient :
(𝑥𝑅1; 𝑦𝑅1) = (sin(2𝑛) ; − cos(2𝑛))
Dans la figure ci-contre, on se place dans un repère d’origine le centre d’un cercle de rayon 1.
Les points R1, R2,… sont les points de réflexions sur le cercle d’une unique source provenant de P(0 ;-1) avec un angle n compris entre 1° et 88°.
Le but est d’abord de déterminer les coordonnées des points de réflexions sur le cercle.
Bien entendu, nous allons utiliser le principe de Descartes (l’angle du rayon incident par rapport à la normale au point d’impact est égal à l’angle du rayon réfléchi par rapport à cette même normale).
Compte tenu de la loi de Descartes, on peut obtenir, dans cette configuration, le point R2 soit par symétrie axiale d’axe (OR1) du point P, soit par rotation de centre o et d’angle 2n du point R1. Choisissons cette dernière transformation.
On a donc : 𝑅2 = 𝑅𝑜𝑡𝑂(2𝑛, 𝑅1) soit :
(cos(2𝑛) −sin(2𝑛) sin(2𝑛) cos(2𝑛) ) (
sin(2𝑛)
−cos(2𝑛)) = ( 𝑥𝑅2 𝑦𝑅2)
On a alors :
{𝑥𝑅2= cos(2𝑛) sin(2𝑛) + sin(2𝑛) cos(2𝑛) 𝑦𝑅2= 𝑠𝑖𝑛2(2𝑛) − 𝑐𝑜𝑠2(2𝑛)
Soit :
{𝑥𝑅2 = sin(2 × 2𝑛)
𝑦𝑅2 = −cos(2 × 2𝑛) Si Rk est le kième point de réflexion, on a :
{𝑥𝑅𝑘 = sin(2𝑘𝑛)
𝑦𝑅𝑘 = −cos(2𝑘𝑛)
Quant au 2ème rayon d’angle n+1 les points de réflexions seront :
{𝑥𝑇𝑘= sin(2𝑘(𝑛 + 1))
𝑦𝑇𝑘 = −cos(2𝑘(𝑛 + 1))
Avec ces coordonnées, passons maintenant à la programmation.
Dans ce document est joint un fichier Excel dans lequel sont calculées les coordonnées des points Rk de réflexions pour un angle de degré n, et les coordonnées Tk de réflexions pour un angle n+1.
L’algorithme est très simple : Il calcule les coordonnées tant que le point n’est pas revenu en P.
Ce fichier Excel comporte deux feuilles : sur la première (« points rouges ») sont calculées les coordonnées de chacun des points Rk et Tk avec, dans un premier temps le nombre « brut » de réflexions.
Il suffit de rentrer l’angle n souhaité dans la cellule correspondante et d’appuyer sur « OK »
En cliquant ensuite sur « Nombre de points rouges » le programme décompte le nombre de doublons éventuels entre Rk et Tk. Ce qui donne finalement le nombre de points rouges.
Le résultat obtenu est automatiquement inséré dans l’onglet bilan.
A propos de bilan, voici donc les réponses aux questions Q1 et Q2 :
Q1 : l’angle n donnant le minimum de points rouges est de 80° le nombre de points rouges est de 28 Q2 : Pour un angle n de 54°, on obtient 44 points rouges (et non 45)
Le nombre de 45 points rouges est inatteignable ! (cf le tableau Excel dans la feuille « bilan » aucun résultat ne correspond à cette valeur)
