On considère deux rayons laser qui partent d’un point P situé sur le bord intérieur d’une pièce circulaire. Ils forment respectivement deux angles de n degrés et n + 1 degrés (n entier positif <
90°) avec la tangente en P au mur de la pièce. Dans un plan horizontal, ils se réfléchissent le long de ce mur en laissant une marque rouge à chaque point de contact et reviennent au point P au bout d’un nombre fini de réflexions.
Q₁ Déterminer la valeur de n de sorte que le nombre de marques rouges (y compris celle en P) est le plus petit possible.
Q₂ On dénombre 45 marques rouges. Déterminer la ou les valeurs possibles de n.
Si nous mesurons les angles polaires sur le cercle avec P comme origine, le rayon d’angle n degré laissera une première marque d’angle polaire 2n, puis 4n, ... jusqu’à revenir au point P, avec k marques, lorsque 2kn est un multiple de 360.
Si n est premier avec 180, k=180 ; si p=PGCD(n, 180), k=180/p.
Un seul des nombres n et n+1 est pair ; s’il est divisible par 4, les nombres de marques pour n et n+1 seront de parité différente, et seul P sera commun aux séries de marques des deux rayons ; en revanche si le nombre est pair, mais non divisible par 4, les nombres de marques sont tous deux pairs, et il existe un autre point (diamétralement opposé à P sur le cercle) commun aux deux séries de marques.
Q1 : les diviseurs de 180 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180 : le plus grand couple de diviseurs consécutifs est donc 9, 10 auxquels correspondent pour k les valeurs 20 et 18 : pour n=9 nous obtenons donc le minimum de marques, soit 37 (puisque P apparait dans chaque série de marques).
Q2 : Les nombres de marques possibles pour un rayon sont les diviseurs de 180 ; pour obtenir 45 marques avec deux rayons, soit 46 en comptant P deux fois, la seule combinaison possible est 10+36.
On obtient 36 marques pour n=5, 25, 35, 55, 65, 85 et 10 marques pour n=18, 54
Donc pour n=54 (soit n+1=55) nous devrions obtenir 45 marques ; mais en réalité nous n’en obtenons que 44, car les nombres 36 et 10 sont pairs, donc la 18ème marque (sur 36) et la 5ème (sur 10) coïncident...
