Enoncé I166 (Diophante) A un degré près
On considère deux rayons laser qui partent d’un pointP situé sur le bord intérieur d’une pièce circulaire. Ils forment respectivement deux angles de n degrés etn+ 1 degrés (nentier positif<90°) avec la tangente en P au mur de la pièce. Dans un plan horizontal, ils se réfléchissent le long de ce mur en laissant une marque rouge à chaque point de contact et reviennent au point P au bout d’un nombre fini de réflexions.
Q1 Déterminer la valeur de n de sorte que le nombre de marques rouges (y compris celle en P) est le plus petit possible.
Q2 On dénombre 45 marques rouges. Déterminer la ou les valeurs possibles de n.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Les angles au centre séparant deux marques consécutives sont de 2ndegrés et 2n+ 2 degrés selon leur source. Après un nombre suffisant de tours du manège, les marques sont espacées de 2u = P GCD(2n,360) degrés et 2v=P GCD(2n+ 2,360) degrés ; elles coïncident aux multiples communs de ces espacements.
Formons la liste desP GCD(m,180) pour m= 1 à 90 ;u etv en sont des termes consécutifs : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 4, 9, 10, 1, 12, 1, 2, 15, 4, 1, 18, 1, 20, 3, 2, 1, 12, 5, 2, 9, 4, 1, 30, 1, 4, 3, 2, 5, 36, 1, 2, 3, 20, 1, 6, 1, 4, 45, 2, 1, 12, 1, 10, 3, 4, 1, 18, 5, 4, 3, 2, 1, 60, 1, 2, 9, 4, 5, 6, 1, 4, 3, 10, 1, 36, 1, 2, 15, 4, 1, 6, 1, 20, 9, 2, 1, 12, 5, 2, 3, 4, 1, 90.
u0 = 180/u et v0 = 180/v sont le nombre des marques pour chaque source, en ne comptant P qu’à la fin pour chacune. Les marques com- munes aux deux sources correspondent aux multiples communs de 2uet 2v. Leur espacement est 2P P CM(u, v), leur nombre est 180/P P CM(u, v) = P GCD(u0, v0) (P n’étant compté qu’à la fin) et conduit au nombre de marquesu0+v0−P GCD(u0, v0).
Question 1
Pour n = 80, u = 20, v = 9, d’où u0 = 9, v0 = 20 et le nombre total des marques est 9 + 20−1 = 28. On ne peut obtenir moins qu’avec u0 ou v0 <14,uou v >14, mais les termes ≥15 n’ont pas de voisin assez grand dans la liste, et 28 marques est le minimum.
Question 2
Je vais identifier les valeurs de nconduisant à u0+v0−P GCD(u0, v0)≤45,
avecuetvtermes consécutifs de la liste. Le premier membre étant minoré par 180/uet 180/v, les termesu, v <5 sont à écarter.
Parcourant la liste avc cette restriction, on obtient les nombres de marques suivants : 28 (n= 80), 36 (n= 9), 40 (n= 35), 44 (n= 54), 48 (n= 24 ou 84), 60 (n= 5 ou 65). Elargissant la recherche à min(u, v) = 4, on obtient 48 (n= 44), 54 (n= 15 ou 75), 60 (n= 8 ou 27), 72 (n= 4 ou 55 ou 64).
Il ne peut y avoir exactement 45 marques.
