I166. A un degré près ***
On considère deux rayons laser qui partent d’un pointPsitué sur le bord intérieur d’une pièce circulaire.
Ils forment respectivement deux angles dendegrés etn+1 degrés (nentier positif<90˚) avec la tangente enP au mur de la pièce. Dans un plan horizontal, ils se réfléchissent le long de ce mur en laissant une marque rouge à chaque point de contact et reviennent au pointPau bout d’un nombre fini de réflexions.
Q1 Déterminer la valeur dende sorte que le nombre de marques rouges (y compris celle enP) est le plus petit possible.
Q2 On dénombre 45 marques rouges. Déterminer la ou les valeurs possibles den.
Solution de Claude Felloneau
Pour un rayon laser qui part du pointP en formant un angle den degrés avec la tangente enP, deux marques rouges consécutives délimitent un arc dont l’angle au centre associé mesure 2n degrés. Le nombre de marques rouges jusqu’au retour enPest
PPCM(2n, 360)
2n =PPCM(n, 180)
n =180
a avec a=PGCD(n, 180).
Un rayon laser qui part du pointPen formant un angle den+1 degrés avec la tangente enP laisse 180 marques rouges avecb=PGCD(n+1, 180). b
Le nombre de marques communes au deux lasers est le nombre d’entiers qui sont des multiples de 2net 2(n+1) modulo 360 soit 180
PGCD(n(n+1), 180)=180
ab carnetn+1 sont premiers entre eux.
Le nombre total de marques rouges laissées par les deux lasers est N=180
a +180 b −180
ab =180
ab(a+b−1)
Il suffit de tabulerN pour toutes la valeurs entières dencomprises entre 0 et 90 pour conclure que : Q1 La valeur minimale deNest 28, obtenue lorsquen=80.
Q2 Il n’existe aucune valeur dentelle queN=45.
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