Enoncé E658 (Diophante) Le rouge et le noir
Deux polygones convexes P1 et P2, chacun de n côtés étiquetés i = 1,2, . . . , n et j= 1,2, . . . , n, sont situés dans deux plans distincts de l’es- pace. On considère l’ensemble E des segments de droite qui relient chacun des sommets de P1 aux sommets de P2. Tous ces segments ainsi que les arêtes des deux polygones sont tracés à l’encre noire ou à l’encre rouge de telle manière qu’il n’y a pas un seul triangle monochromatique parmi tous les triangles dont un côté est une arête d’un polygone et les deux autres côtés font partie de E. On trace à l’encre rouge l’arête no1 deP1. Donner pour chacun des deux cas 1)n= 2012 et 2)n= 2013 la couleur de l’arête no1783 deP1 et celle de l’arête no1842 deP2.
Nota pour mémoire : Marie-Henri Beyle dit Stendhal, né le 23 janvier 1783 à Grenoble et mort le 23 mars 1842 à Paris.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
L’énoncé ne donne aucune indication sur l’arête prise pour no1 surP2, et suggère donc, pour que l’on puisse répondre, la solution triviale où P2 est monochromatique, les segments de E de l’autre couleur, et P1 de même couleur que P2, ce qui veut dire rouge puisque l’énoncé précise que l’arête no1 deP1 est rouge.
Il n’en est rien dans le cas n = 2012 : la solution triviale n’est pas la solution unique, du fait que 2012 est pair.
En effet, lions la couleur d’une arête de E à la parité de la somme i+j des indices des sommets qu’elle relie. Un triangle utilise deux arêtes de E, reliant par exemple le sommeti de P1 aux sommets j et j+ 1 de P2; ces deux arêtes ne sont pas de même couleur, ce qui exclut tout triangle monochromatique.
Il existe ainsi, en plus de la solution triviale, 24024 choix de couleur pour les arêtes de la figure : 22011 pour P1, dont la couleur de l’arête no1 est imposée ; 22012 pour P2, et 2 pour E.
En particulier, toutes les colorations sont possibles pour l’arête no1783 de P1 et l’arête no1842 deP2.
Ces solutions n’existeraient pas si l’un au moins des polygones avait un nombre impair d’arêtes.
Si P1 et P2 ont respectivement p et q côtés, je représente la couleur des arêtes de E sur un damier rectangulaire de p rangées et q colonnes. Les cases de la rangéei, colonne j, ont la couleur de l’arête qui joint, côtéP1, le sommet commun aux arêtesi et i+ 1, et côté P2, le sommet commun aux arêtes j et j+ 1. Le damier est en fait torique, étant recollé le long des bords opposés. Les indices s’entendent ainsi modulopou modulo q.
J’appelle domino toute paire de cases adjacentes de la même couleur ; il peut être noir ou rouge, et aussi “rangée” ou “colonne” selon que les deux cases appartiennent à la même rangée ou à la même colonne.
La coloration par la parité, évoquée ci-dessus, est celle d’un damier clas- sique et évite tout domino quand pet q sont pairs, car le graphe de l’ad- jacence des cases n’a aucun cycle de longueur impaire. Mais la coloration des arêtes de P1 est dépendante de l’existence de dominos-colonnes, de même que la coloration des arêtes deP2 est dépendante de l’existence de dominos-rangées.
Soit par exemple un domino noir dans la colonne j, rangées i−1 et i.
L’arête i de P1 forme un triangle avec deux arêtes noires de E et doit être rouge. S’il y avait, dans ces deux mêmes rangées, un domino-colonne rouge, on aurait une contradiction.
Supposons par exemple p = 2012, q = 2013. Le nombre des colonnes étant impair, la coloration du damier classique crée dans chaque rangée un domino, alternativement noir et rouge, chevauchant le bord vertical recollé ; cela correspond à l’arête 2013 de P2. Pour éviter la contradiction qui en découle, remplaçons la dernière colonne (2013) par une colonne de cases noires. Il en résulte dans chaque rangée un domino-rangée noir, portant alternativement sur les colonnes 2012-2013 et 2013-1, et en colonne 2013 2012 dominos-colonnes noirs. Cela oblige à colorer toutP1 en rouge, de même que les arêtes 1 et 2013 deP2. Ainsi l’arête 1783 deP1 est rouge, mais la couleur de l’arête 1842 deP2 est indéterminée.
Supposons à l’inverse p= 2013,q= 2012 ; prenant le damier 2012×2012 colorié de façon classique, je le coupe sous la millième rangée pour insé-
rer une rangée monochromatique. La partie basse demeure, sans domino- colonne même sur le bord horizontal recollé. La nouvelle millième rangée est formée de dominos-rangées de même couleur, obligeant à colorier P2 de la couleur opposée, de même que les arêtes 1000 et 1001 deP1 en raison des dominos-colonnes créés. Les couleurs des autres arêtes de P1 peuvent être choisies librement (l’arête 1 en rouge, selon l’énoncé), mais les cou- leurs de l’arête 1783 de P1 et de l’arête 1842 de P2 peuvent être choisies indépendamment.
Dans le casp=q= 2013 impair, on peut de même partir du damier 2012×
2012 colorié de façon classique, flanqué d’une rangée et d’une colonne monochromatiques, de même couleur (noire) car chacune comporte des dominos-rangées et des dominos-colonnes de sa couleur. Alors les arêtes de P1 et P2 ont la couleur opposée (rouge, pour respecter la condition sur l’arête 1 de P1). Quant aux autres arêtes deE, on peut changer leur couleur à condition de ne créer aucun domino rouge (c’est le cas de la solution triviale où toutes les arêtes de E sont noires).
Il s’agit de montrer que dans le cas p etq impairs toute coloration est de cette nature, avec P1 etP2 monochromatiques de même couleur.
Notons d’abord qu’un domino monochromatique, par exemple un domino- rangée noir en rangée i, colonnes j−1 et j, ne peut pas être bordé d’un domino-rangée rouge, ni en rangée i−1 ni en rangéei+ 1. De ce fait il existe deux dominos-colonnes noirs en colonnes j−1 ouj, l’un en rangées i−1 et i, l’autre en rangées ieti+ 1 ; l’arêtej de P2 est rouge, de même que les arêtes i−1 eti deP1.
Supposons maintenant P1 monochromatique rouge, et non P2 qui a une arête j noire ; les colonnes j −1 et j du tableau ne peuvent contenir un domino-rangée rouge, qui induirait deux arêtes noires dans P1, ni un domino-rangée noir, qui rendrait l’arête j rouge. Les couleurs dans ces deux colonnes sont donc celles du damier classique ; mais les deux colonnes se referment en anneau de longueur impaire, ce qui rend inévitable deux dominos-colonnes, puis un domino-rangée, d’où contradiction. De même si P2 est monochromatique,P1 l’est aussi, et de même couleur.
Si ni P1 niP2 ne sont monochromatique, le tableau se divise en zones de
deux types : celles correspondant à des arêtes de même couleur enP1etP2, et celles (mixtes) où ces arêtes dont de couleur contraire. Si par exemple il s’agit de parties rouges des deux polygones, la zone peut contenir des dominos noirs, mais les cases rouges doivent être isolées. Si l’une des parties est rouge et l’autre noire, il ne peut exister aucun domino dans la zone, qui est coloriée comme le damier classique.
Examinons une région limite de 4 de ces zones : les arêteside P1 etj de P2 sont noires, les arêtes i+ 1 deP1 etj+ 1 deP2 sont rouges (les autres cas s’y ramènent immédiatement par échange de couleurs ou symétries).
La zone ayant la case (i, j) comme coin inférieur gauche est sans domino et coloriée comme le damier classique ; il en est de même de la zone ayant la case (i, j) comme coin supérieur droit. Cela crée une connexité entre les zones mixtes, à chaque coin commun, et la coloration y respecte la même correspondance avec la parité dei+j.
Le tableau apparaît donc comme une peau de léopard, où les zones non mixtes sont isolées dans une trame d’ensemble qui est coloriée comme le damier classique. Mais cette coloration d’ensemble ne peut pas exister si pou q sont impairs.
