G116: Le rouge et le noir
Notons E(X,N) l’espérance de gain lorsqu’il reste X cartes dont N noires. On a alors intérêt à jouer si E(X,N)>0.
Puisque l’on a alors R/X=1-N/X probabilité de tirer une rouge (en gagnant 1) et N/X de tirer une noire (en perdant 1), on aura la relation de récurrence :
E(X,N)=Sup[0 ;(1-N/X)(E(X-1,N)+1)+N/X(E(X-1,N-1)-1)], (ce qui veut dire que l’on ne joue pas si l’expression du second terme est négative)
Cette relation , accompagnée des relations E(X,0)=X permet la résolution du problème.
On trouve ainsi E(4,2)=2/3, E(5 ,2)=3/2, E(5,3)=1/5 ; E(6,3)=17/20, E(7,3)=58/35, E(7,4)=12/35, E(8,4)=1,…
En utilisant un tableur, on trouve que E(2n, n) dépasse 2 pour 2n=32 et vaut 2, 624 pour 2n=52.
Lorsque n augmente, l’espérance semble croître approximativement comme a√n avec a voisin de 0,37.
