G116 Le rouge et le noir [**** à la main et avec ordinateur]
Solution de Daniel Collignon
Nous désignons par G(R, N) l’espérance mathématique du gain avec R cartes rouges et N noires.
G(R, N) >= 0 car dans le pire des cas, si le jeu nous est défavorable, nous ne jouons pas.
Du graphe précédent, nous en dérivons la relation de récurrence :
G(R, N) = max {0 ; (1+G(R-1, N))*R/(R+N) + (-1+G(R, N-1))*N/(R+N)}
Naturellement G(R, 0) = R puisqu’on ne prend aucun risque à jouer jusqu’au bout.
A l’inverse G(0, N) = 0 puisqu’on ne prend aucun risque à jouer à un jeu défavorable.
De la relation de récurrence, nous calculons les premières valeurs à l’aide d’un tableur, ce qui permet de répondre aux points a et b
R
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10…
0 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 1 0,00 0,50 1,33 2,25 3,20 4,17 5,14 6,13 7,11 8,10 9,09 2 0,00 0,00 0,67 1,50 2,40 3,33 4,29 5,25 6,22 7,20 8,18 3 0,00 0,00 0,20 0,85 1,66 2,54 3,45 4,39 5,35 6,31 7,28 4 0,00 0,00 0,00 0,34 1,00 1,79 2,66 3,56 4,49 5,43 6,39 5 0,00 0,00 0,00 0,00 0,44 1,12 1,91 2,76 3,66 4,58 5,52 6 0,00 0,00 0,00 0,00 0,07 0,55 1,23 2,01 2,86 3,75 4,66 7 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,15 0,66 1,34 2,11 2,95 3,83 8 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,23 0,75 1,43 2,21 3,04 9 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,30 0,84 1,52 2,30 10
… 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,36 0,92 1,61
Plus précisément, nous avons : G(3, 3) = 17/20 = 0,85
G(3, 4) = 12/35 # 0,34 G(4, 3) = 58/35 # 1,66
…
G(26,26) = 622/237 # 2,62 R/X
N/X
+1
-1
Pour le point c, n’étant pas inspiré on peut essayer une interpolation sur un graphique des 254 premières valeurs (dont l’allure rappelle celui de la fonction racine carrée). A priori je parierai sur quelque chose du style sqrt(n)/2 (courbe en jaune).
0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
