M´emoire pr´esent´e par

M´ emoire pr´ esent´ e par

Jean-Luc Baril

en vue de l’obtention de l’habilitation `a diriger des recherches `a

l’Universit´ e de Bourgogne, Dijon

Sp´ecialit´e : Combinatoire

G´ en´ eration exhaustive et ´ etude de structures de classes combinatoires

Soutenu le 15 juin 2010 devant la commission d’examen compos´ee de

Rapporteurs : Elena Barcucci (Florence, Italie) Toufik Mansour (Ha¨ıfa, Isra¨el) Maurice Margenstern (Metz, France)

Examinateurs : Abderrafia Koukam (Belfort, France) Jean-Marcel Pallo (Dijon, France) Renzo Pinzani (Florence, Italie) Vincent Vajnovszki (Dijon, France)

Laboratoire d’´ Electronique, Informatique et Image de Dijon - LE2I, UMR CNRS 5158

Facult´ e des Sciences et Techniques - B.P. 47870 - 21078 Dijon Cedex

Une aide très importante m'a été apportée par mes trois ollègues ombinatoriiens

Jean Pallo, Vinent Vajnovszki et Olivier Togni; le fait que nous travaillons ensemble

depuisplusieurs annéessur des questions d'algorithmiqueombinatoire m'aonduità leur

fairedenombreux emprunts(parfoisinonsiemment).Jelesremerietoustrèsfortement.

Je remerieégalement les autres membresdu laboratoire LE2I del'université deBour-

gogne (Dijon) pour leur soutien et plus partiulièrement eux ave qui j'ai ollaboré pour

mes tâhes et responsabilités d'enseignements.

Je remerietrèsvivement les rapporteurs, ElenaBarui, Touk Mansour et Maurie

Margenstern pourletempsqu'ilsontpasséàlaletureetl'analysedeemémoire.Tousont

aepté spontanémentettetâhe;jeleurensuistrèsreonnaissant.Jeremerieégalement

AbderKoukam etRenzo Pinzani d'avoir aepté departiiper au jury.

JeremerieleProfesseurJaquesMartinetdel'universitédeBordeauxetj'aiégalement

une pensée partiulière pour Anne-Marie Bergé.

Je tiensà remerier très aetueusement Maïté et Eloïse.

Introdution générale 3

Notations 5

I Génération exhaustive de lasses d'objets ombinatoires 7

I.1 Introdution . . . 7

I.2 Génération CAT . . . 8

I.2.1 Permutations ave unnombre donné d'exédenes. . . 8

I.2.2 Permutations etmots de Fibonai ou deLuas . . . 11

I.2.2.1 Permutations etmots deFibonai généralisés . . . 11

I.2.2.2 Permutations de Luasgénéralisées. . . 13

I.2.2.3 Algorithme etomplexité . . . 14

I.3 Génération enode deGray . . . 15

I.3.1 Mots deLuas

p

-généralisés . . . 15

I.3.2 Dérangements . . . 18

I.3.3 Permutations ayant un nombredonné de yles . . . 20

I.3.4 Permutations ayant un nombre donné de minima gauhe-droite . . . 23

I.3.5 Permutations évitant un ensemblede motifs . . . 27

I.4 Conlusion - perspetives . . . 30

II Etude de strutures énumérées par les nombres de Catalan 33 II.1 Introdution . . . 33

II.2 Treillisde Catalan . . . 34

II.2.1 Le treillis `Phagoyte' . . . 34

II.2.2 La transformation de taille-gree . . . 38

II.3 Distane de rotation . . . 44

II.3.1 Sommet detype (2 :0) . . . 47

II.3.2 Sommet detype (1 :1) . . . 47

II.3.3 Sommet detype (3 :0) . . . 47

II.3.4 Sommet detype (2 :1) . . . 48

II.3.5 Algorithme pour le alul debornesinférieure etsupérieure . . . 48

II.3.6 Résultats expérimentaux . . . 49

II.4 Conlusion. . . 50

IIIMotifs dans les permutations 51

III.1Introdution . . . 51

III.2Dupliation enmiroir du génome . . . 51

III.2.1 Permutations à motifsexlusetle modèlede WM-dupliation . . . . 54

III.2.2 Considérations algorithmiques . . . 56

III.2.2.1 Un hemin de

12 . . . n

^vers

σ ∈ S n

^{obtenu en reulant à} partirde

σ

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56}

III.2.2.2 Un hemin de WM-dupliationsde

12 . . . n

^vers

σ ∈ S _n

^{. . 57}

III.2.3 Autresmodèles de dupliation. . . 58

III.2.3.1 Une WM-dupliation suivie par plusieurs W-dupliations . 58 III.2.3.2 UneW-ouWM-dupliationsuivieparplusieursW-dupliations 58 III.2.4 Futurediretion de reherhe . . . 59

III.3Cloture yliquede

S(k(k − 1) . . . 21)

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59}

III.3.1 La lotureylindrique . . . 64

III.3.2 Disussion etConlusion . . . 65

IVPerspetives 67

Annexes 69

Liste des publiations 75

Bibliographie 81

Ce mémoire a pour objetif de fournir une synthèse d'une partie de mes ativités de

reherhe réaliséespost-thèse.

Commençonsparretraerleparourseetuédepuisl'obtentiondemondotorat.En1996,

j'ai don soutenu une thèse dans le domaine de la théorie des nombres à l'université de

Bordeaux.J'ai obtenuensuite(1998) unpostede professeurertié(PRCE)à l'université

de Dijon au sein de l'équipe d'informatique. Obtenant l'agrégation de mathématiques en

1999, j'interviens alors en qualité de professeur agrégé (PRAG). Une fois la harge d'en-

seignements digérée(384H/an),ma uriositémeguide naturellement vers l'équiped'algo-

rithmique ombinatoire de Dijon. C'est alors que j'amorçe un parours initiatique pour

déouvrir les bases de la ombinatoire. Il est toujours diile de perer les serets d'un

nouveau domainede reherhe, maisl'aide desmembres del'équipe deombinatoire aété

sansauundouteunfateur essentieldansmonapprentissage.Je suisalorsrerutéMaître

deConférenes au laboratoire LE2I deDijon en 2004.C'est à e moment que je deouvre

laforteintération entrel'informatique théorique etlesmathématiques.

En eet,l'informatique théorique apparaît essentiellement sousla forme de deuxou-

rants : l'algorithmique, et la logique. L'algorithmique provient de l'automatisation de la

notionde alul,alors quelalogique formaliselanotionde démonstrationmathématique.

Dansl'antiquité,es deuxnotions apparaissaient déjà.Onpeutiterpar exemple,Ar-

himède etDiophante quiobtiennent unerègledealuldel'airesituéesousuneparabole;

Eulidepourlanotiondesystèmeaxiomatique;etAristotepourlalogiquepropositionnelle.

Plustard, Newton,Leibniz, EulerouGauss, proposent desméthodesdealulnumérique

permettant d'automatiser ertains problèmes issus desmathématiques. Puisla théoriede

laalulabilitéest développée par Turing (1936) [89℄,von Neumann,Kleene, Churh...

Durant es dernières années (et sans aunune omparaison ave les noms ités préé-

demment), mes travauxsesont orientés danslesdomainesde l'algorithmiquedédiéeà des

problèmes issus de la ombinatoire, la théorie des graphes etl'étude de lasses ombina-

toiresayant une struture de treillis. Laréférene atuelle du domaine de l'algorithmique

ombinatoire est la olletion de volumes The art of Computer Programming de Donald

E. Knuth [98 ℄. Knuth étudie de nombreux algorithmes ainsi que leur omportement en

termedunombre d'opérationsélémentaires. Ildédieainsiunvolume entier àlagénération

de lasses d'objets ombinatoires. On peut aussi iter les travaux de Flajolet, Johnson,

Korsh, Ruskey, Sedgwik, Trotter, Vajnovszki, Walsh,...[77 , 91 , 166, 149 , 155, 100 , 174 ℄.

Pour les référenes onernant les strutures detreillis, onpeut aussionsidérer Davey et

Grätzer[83 ,60℄.Tousmestravauxonernantlesstruturesentreillissontisssusdelasses

ombinatoires énumérées par les nombres de Catalan A000108, [162 ℄. Enn, mes travaux

onernant lathéoriedesgraphesabordent essentiellement lesolorationsde graphes.No-

tonstoutefoisqu'ilexisteévidemment deslienstrèsfortsentreestroisdomaines.Onpeut

iter par exemple le lien entre les yles Hamiltoniens en théorie desgraphes et les odes

de Grayen algorithmiqueombinatoire.

Je n'exposeraipasdanse mémoiremes travauxonernant lesolorations degraphes

dans le but d'obtenir un mémoire axé sur la ombinatoire issue de strutures liées aux

permutations, mots binairesetarbresbinaires.Sitoutefoisleleteursouhaiteobtenir mes

travaux enthéorie desgraphes,je l'invite àonsulter les artiles[27 , 28 ,29,30 ℄.

Le mémoire estorganiséde lafaçon suivante.

Danslepremierhapitre,jeprésenteunegrandepartie(nonexhaustive)demestravaux

de reherhe onernant lagénération exhaustive. Ce hapitre ontient une partie impor-

tante de mes résultats obtenus es dernières années. Je propose ainsiplusieurs nouveaux

algorithmes degénération dont laomplexitéestCAT(Constant Amortized Time),i.e.le

nombre d'opérations est proportionnelau nombre d'objets générés et ei indépendamment

dela tailledesobjets.Onétudieégalementplusieurslassesdontonaobtenulagénération

en ode deGray.

Dansleseondhapitre,j'exposelestravauxonernant l'étudedestruturesomptées

par les nombres de Catalan. En partiulier, je donne deux nouvelles strutures en treillis

pour les parenthèsages bien formése qui induit deux nouvelles struturessur les arbres

binaires.Ons'intéressseaussidansettepartieàlaonstrutiondedistanesurestreillis,

et notamment on donne un algorithme polynomial d'approximation pour le alul de la

distane de rotation entre deux parenthésages dans letreillis de Tamari. Notons que l'on

ne saittoujourspasaujourd'huis'ilexiste unalgorithmealulantentemps polynomialla

distane de rotationentre deuxparenthésages danse treillis.

Dansledernierhapitre,j'exposedeuxontributionsréentesdansledomainedel'étude

desmotifs danslespermutations. Lapremière estissued'unproblème debioinformatique

puisqu'elle onsiste à aratériser les suites du génome obtenues après un nombre donné

de dupliations en miroir. La seonde repond à une question posée par Atkinson :est-e

que lalotureyliquede

S(k(k − 1) . . . 321)

^{possède unebase nie?}

Enn, une onlusion donnera une approhe globale de mes travaux de reherhes en

préisantlesobjetifssouhaitésainsiquelesfuturesdiretionsdereherhes envisagéesen

proposant desquestionsenoreà explorer.

Je présente dans ette partie, les prinipales notations et dénitions utilisées dans e

mémoire.

Onnote

[n]

^l'ensemble

{ 1, 2, . . . , n }

^{.L'ensembledes}permutationssurl'ensemble

[n]

^sera

noté

S _n

^.L'entier

n

^{estappelélatailledela}permutation.Onreprésenteralespermutations ennotation linéaire,i.e.,

σ ∈ S _n

^seranotée

σ ₁ σ ₂ . . . σ _n

^si

σ(i) = σ _i

^{pour tout}

i

^,

1 6 i 6 n

^.

Lapermutation

σ ∈ S _n

^{seraappeléeunylelorsqu'ilexisteunesuited'indies}

i ₁ , i ₂ , . . . , i _n

diérentsdeuxàdeuxdans

[n]

^telsque

σ(i _j ) = i _j+1

^pour

1 6 j 6 n − 1

^et

σ(i _n ) = i ₁

^.Une

tellepermutation pourra aussi être notée

h i ₁ , i ₂ , . . . , i _n i

^.Toute permutation

σ ∈ S _n

^peut

être uniquement déomposée en un produit de yles à supports disjoints. On dira que

σ

a

k

^{yles lorsque ette} déomposition possède

k

^{yles. L'ensemble des} permutations de taille

n

^ayant

k

^{yles seranoté}

S _n,k

^.

Unevaleur

σ i

^estunminimumgauhe-droite(left-to-rightminimumenanglais)sitous les élémentsà sa gauhe dans

σ

^{sont plus grands que}

σ _i

^{.Etant donné que l'ensemble des}

permutations de taille

n

^ayant

k

^{yles est en bijetion ave l'ensemble des}permutations de taille

n

^ayant

k

^minima gauhe-droite, nousutiliserons toujours la notation

S _n,k

^pour

edernier ensemble.

Un dérangement

σ

^{est une} permutation sans point xe, 'est à dire qu'il n'existe pas d'indie

i

^{tel que}

σ(i) = i

^{.L'ensembledes} dérangementsde taille

n

^seranoté

D _n

^{.Dans le}

seondhapitre,

D _n

^{designera l'ensemble desmots de Dyk ave}

n

parenthèses ouvrantes et

n

^fermantes.

Une exédenede

σ

^{estune valeur}

σ _i

^telleque

σ _i > i

^{.L'ensembledes}permutationsde taille

n

^ayant

k

^{exédenes est noté}

E _n,k

^.

Une permutation

σ ∈ S n

^{ontient lemotif}

π ∈ S _k

^{si etseulement s'il existe une suite}

d'indies

1 6 i ₁ < i ₂ < . . . < i _k 6 n

^{tels que}

σ(i ₁ )σ(i ₂ ) . . . σ(i _k )

^{est ordonné omme}

π

^.

Par exemple, la permutation

4132

^{ontient (en gras) le motif}

321

^{mais ne ontient pas}

(ou évite) le motif

231

^{. Si}

T

^{est un ensemble de motifs, on notera}

S n (T )

^{l'ensemble des}

permutationsdans

S _n

^{quiévitent touslesmotifs} appartenant à

T

^{.Unmotif barré}

π ¯ ∈ S _k

est une permutation ayant une barre sur ertaines valeurs. Posons

1 6 r 6 k − 1

^.Soit

π

lapermutation sur

[k]

^{obtenueen enlevant lesbarres de}

π ¯

^et

π ˆ

^lapermutation obtenue de

¯

π

^{en enlevant toutes les}

(k − r)

^{valeurs barrées et} renormalisée omme une permutation de

[k − r]

^{. Alors}

σ ∈ S _n

^{ne ontient pas le motif}

π ¯

^{si tout motif}

π ˆ

^dans

σ

^{peut être}

étendu en un motif

π

^dans

σ

^{.Par exemple, si}

π ¯ = 4¯ 132

^{, alors}

σ = 58132674 ∈ S ₈ (4¯ 132)

(voir, [71, 113 , 160 ℄). Il est aussipossible d'introduire des ':' entreles valeursd'un motif

(exemple

13 : 24

^{).Sideuxvaleursonséutivesdumotif}

π

^{sont séparéespar un':'alors la}

permutation

σ

^{ontient lemotif}

π

^{si les entrées} orrespondantes à eséléments sont aussi adjaentes dans

σ

^{(et bien surdans lemême ordre quedans}

π

^{). Par exemple,}

σ = 13524

ne ontient pasle motif

π = 13 : 24

^{maisontient le motif}

1324

^{. Notons qu'il s'agit d'un}

as partiulierde ladénitiondesmotifs dénis dans[76℄.

Une liste

L

^{est un ensemble d'éléments totalement ordonnés. La liste}

L

^{est la liste}

L

^{onsidérée (ou lue) du dernier élément au premier. Les éléments}

prem( L )

^et

der( L )

désignent respetivement lespremiers etderniersélémentsdelaliste. Si

L

^et

L ^′

^sontdeux

listes alors on dénit laliste

L ◦ L ^′

^{ommeétant la} onaténation desdeux listes

L

^et

L ^′

telle que

prem( L ) = prem( L ◦ L ^′ )

^.

Soit

(L _n ) _n>1

^{une famille de listes}

L _n

^{d'éléments de taille}

n

^{. Si pour tout}

n > 1

^deux

objetsonséutifsdelaliste

L n

^{dièrentsurunnombredepositions}indépendant de

n

^,on

dit quelaliste esten ordrede ode deGray.

Génération exhaustive de lasses

d'objets ombinatoires

I.1 Introdution

Dansehapitre,ons'intéresseàdesalgorithmespermettantdegénérerexhaustivement

(etsans répétition) les objets d'une lasse ombinatoire. L'intérêt de tels algorithmes est

multiple : l'obtention d'une liste omplète d'objets (en un temps aeptable) peut être

utilepour la vériation où ladéouverte depropriétés ou onjetures,pour la résolution

pratique de ertains problèmes NP-omplets,... La omplexité des algorithmes est don

ruiale. Elle peut être onstante en moyenne ou dans le pire des as. Une omplexité

onstante en moyenne signie que le nombred'opérations eetuées est proportionnel au

nombre d'objets à générer (CAT - onstant amortized time) et ei indépendamment de

lataille des objets; une omplexité onstante dans le pire des as signie que le passage

d'unobjetà sonsuesseursefaittoujours en untemps onstantindépendant de lataille

desobjets(loopless).Lorsquedeuxobjetsonséutifsdièrentsurunnombredepositions

indépendant de la taille, on dit que la liste est en ordre de ode de Gray. Un algorithme

looplessliste néessairement les objets en ordre de ode de Gray; laréiproque n'est pas

forément vraie.

Il existe de nombreux travaux onernant la génération exhaustive eae de lasses

ombinatoires. Par exemple, ilexiste desalgorithmes eaes pour lagénération desper-

mutations[91, 166, 155,148 ℄, involutions [174 ℄, up-down permutations[100 , 152℄, permu-

tations ave un nombre donné d'inversions [151 ℄... Il est toujours intéressant de relire le

survol de Carla Savage [154 ℄ pour les travauxréalisés avant 1997 onernant les odesde

Gray. Ontrouveradanse mémoire denombreuses référenesplus réentes.

Plusieurs méthodes diérentes ont été utilisées pour l'obtention de tels algorithmes.

On peut bien sur iter la méthode de Johnson-Trotter [91, 166 ℄ pour la génération des

permutations en ordre de ode de Gray. Il y a également des méthodes ad-ho liées à la

struture partiulière desobjets à générer, maisprinipalement, deux méthodes sont très

souvent utilisées :laméthode réursive etlaméthodeECO.

Laméthoderéursiveonsisteàdénirlalistedesobjetsdetaille

n

^{enfontiondeslistes}

des objets de tailles inférieuresà

n

^{. Par exemple,la lasse}

B _n

^{desmots binaires de taille}

n

^{peut s'érire} réursivement sous la forme

B _n = B _n−1 .0 B _n−1 .1

^{, ave}

B ₁ = { 0, 1 }

^,

où

^est l'opérateur de onaténation des listes, et

B n−1

^{est la liste}

B n−1

^onsidérée

dans l'ordre inverse (de lan au début). On obtient ainsi,

B ₂ = { 00, 10, 11, 01 }

^et

B ₃ = { 000, 100, 110, 010, 011, 111, 101, 001 }

^{. Voir par exemple [84 ℄. Dans et exemple, la liste}

fournie estaussien ordre deode de Gray.

La méthode ECO (Enumeration of Combinatorial Objets), introduite par Pinzani

et al. [15 ℄ pour l'énumération de lasses ombinatoires, onsiste à donner des règles de

suession pour étendre un objetde taille

n

^{à plusieurs objets de tailles}supérieures.Plus formellement, onpartde (

b

^),

b ∈ N ⁺

,eton fournit desrèglesde suession

Ω

^:

{ (k) (e 1 (k))(e 2 (k)) . . . (e _k (k)), k ∈ N } ,

où

e _i : N ⁺ −→ N ⁺

; il s'agit d'expliquer l'évolution des suesseurs

(e ₁ (k))

^,

(e ₂ (k))

^,...,

(e _k (k))

^{en fontion de}

(k)

^,

k ∈ N ⁺

.Les entiers positifs

(b)

^,

(k)

^,

(e _i (k))

^{sont appelés éti-}

quettes. Cela induit un arbre de génération où

(b)

^est l'étiquette de la raine et haque noeudétiqueté

(k)

^possède

k

^{suesseursétiquetés}

(e ₁ (k))

^,

(e ₂ (k))

^,...,

(e _k (k))

^{.Par onsé-}

quent,

(Ω)

^{induit une suite d'entiers positifs}

(a _n ) _n>0

^ou

a _n

^{est le nombre de noeuds sur}

le niveau

n

^{dans l'arbre de} génération. Par exemple, la règle de suession

Ω

^{dénie par}

(2) (2)(2)

initialiséepar l'étiquette

(2)

^{induit lasuite}

a _n = 2 ⁿ

^{,i.e.,haqueniveau}

n

^de

l'arbre degénérationassoiéontient

2 ⁿ

^{noeuds.Lesnombresde Catalanpeuvent êtreob-}

tenus paretteméthodeàl'aidede larègledesuession

(k) (2)(3) . . . (k + 1)

initialisée par l'étiquette

(2)

^.

La première partie de e hapitre traîte de la génération CAT alors que la seonde

traîte delagénération en odede Gray.

I.2 Génération CAT

Dansette setion,nousdonnonslesdiérents résultatsobtenus onernant lagénéra-

tionCAT(onstantamortizedtime)deertaineslassesd'objetsombinatoires.Rappelons

quelagénérationCATonsisteàgénéreruneetune seulefoishaqueélément d'unelasse

en un temps proportionnel au nombre d'objets mais indépendant de la taille des objets.

[Danse paragraphe,nousne onsidéreronspasles générationsen odede Gray;eneet,

esgénérationssontaussiCATmaispossèdentlapropriètésupplémentairequedeuxobjets

onséutifsdièrent d'un nombrede positions indépendant de lataille.℄

Denombreuxalgorithmesdegénérationseaesexistentdanslalittérature.Parexemple,

onpeutseréfèrerauxdeuxsurvolssuivants[98,155 ℄pourlagénérationdeplusieurslasses

de permutations.

On présente i-dessous deux algorithmes de génération CAT permettant de générer

eaement les permutations ayant un nombre donné d'exédenes, les permutations et

les mots de Fibonai etde Luas.

I.2.1 Permutations ave un nombre donné d'exédenes

Ce paragraphe est issu de l'artile [20 ℄. Soit une permutation

σ ∈ S n

^{. On représente}

σ = σ ₁ σ ₂ . . . σ _n

^{ennotation linéaire.La valeur}

σ _i

^{est uneexédene de}

σ

^si

σ(i) > i

^.

Les permutations ayant un nombre donné d'exédenes ont été très étudiées dans le

domaine de la ombinatoire énumérative [39, 72 , 116 , 140 ℄. Foata et Shützenberger [78 ℄

donnent plusieurs propriétés fondamentales pour es objets. De nombreuses appliations

à l'analyse des algorithmes sont obtenues par Knuth [98℄ et à la ombinatoire des mots

par Lothaire [108℄. La statistique relative aux exédenes sur les permutations est appe-

lée statistique Eulerienne. Je donne dans e paragraphe un algorithme eae (CAT) de

générationdespermutationsave

k

^exédenes(

k > 0)

^.Onnote

E _n,k

^{l'ensembledespermu-}

tationsdetaille

n

^ayant

k

^{exédenes.Onproèdeparlaméthoderéursiveenremarquant}

que

E _n,k

^{peutêtreonstruit à partirde}

E _n−1,k

^et

E _n−1,k−1

^.

Soit

γ ∈ E _n−1,k

^une permutation de taille

(n − 1)

^ayant

k

^exédenes,

n > 2

^,

0 6 k 6 n − 2

^;soit

i

^unentier,

1 6 i 6 n − 1

^{.Sion notepar}

σ

^lapermutation dans

S n

^{obtenue à}

partirde

γ

^{en remplaçant}

γ (i)

^par

n

^etenajoutant

γ (i)

^{surladroite de}

γ

^{,alors ona :}

(

a

^{) si}

γ (i)

^{estune exédenedans}

γ

^,alors

σ ∈ E _n,k

^;

(

b

^)sinon,

σ ∈ E _n,k+1

^.

Deplus, (

c

^{) si}

σ

^{estobtenue de}

γ

^{en ajoutant}

n

^{sursadroite,alors}

σ ∈ E _n,k

^.Réipro-

quement,haque permutation de

E _n,k

^,

n > 2

^{, peutêtre uniquement obtenue par l'une de}

estroisonstrutions (

a

^),(

b

^{) et(}

c

^).

Ainsi, nousdénissonsdeux fontions

φ _n

^et

ψ _n

^{ommesuit :}

Dénition I.1. Pour

0 6 k 6 n − 2

^{, unentier}

i ∈ [n − 1]

^etune permutation

γ ∈ E _n−1,k

^,

on dénit une permutationde taille

n

^:

σ = φ _n−1 (i, γ)

^par

σ(j) =







n

^si

j = i γ (i)

^si

j = n γ (j)

^sinon.

Ondénit aussi

ψ n−1

^de

E _n−1,k

^vers

S n

^{quitransforme}

γ ∈ E _n−1,k

^enunepermutation

σ ∈ E _n,k

^{obtenue de}

γ

^enajoutant

n

^{sur sa droite.}

Par exemple,si

γ = 3142 ∈ E _4,2

^,ona

φ ₄ (3, γ) = 31524 ∈ E _5,2

^;

φ ₄ (2, γ) = 35421 ∈ E _5,3

et

ψ ₄ (γ) = 31425 ∈ E _5,2

^.Plus généralement, on peutremarquer:

φ _n−1 (i, γ) = ψ _n−1 (γ) · h i, n i = h γ(i), n i · ψ _n−1 (γ).

Pour des raisonsde larté,on omettra l'indie

n

^dans

φ _n

^et

ψ _n

^.

Lemme I.2. Soient

n, m, ℓ, k

^{quatre entiersnaturels tels que}

1 6 m < n

^,

0 6 ℓ 6 m − 1

^,

et

0 6 k 6 n − 1

^{. Soitaussi}

γ ∈ E _m,ℓ

^.

- S'il existe

i

^,

1 6 i 6 m − 1

^{, tel que}

γ(i)

^{est une exédene de}

γ

^{, alors il y a une}

permutation

σ ∈ E _n,k

^{telle que}

σ

^{est obtenue de}

φ(i, γ)

(respetivement

ψ(γ)

^{) en}

appliquantplusieursfoislesfontions

φ

^et

ψ

^{sietseulementsi:}

(i) ℓ 6 k

^et

m+1 − ℓ 6 n − k

^.

- Maintenantnousonsidérons

i

^,

1 6 i 6 m

^,telque

γ(i)

^{n'est pasune exédene de}

γ

^,

alors ilya unepermutation

σ ∈ E _n,k

^telleque

σ

^{estobtenue de}

φ(i, γ )

^enappliquant

plusieurs foisles fontions

φ

^et

ψ

^{sietseulement si:}

(ii) ℓ + 1 6 k

^et

m − ℓ 6 n − k

^.

- Si

σ ∈ E _n,k

^{est obtenue de}

γ ∈ E _m,ℓ

^{par la première onstrution et}

τ ∈ E _n,k

^{par la}

seonde, alors

σ

^et

τ

^{sontdiérentes.}

Maintenant nousexpliquonsles prinipalesdiultéspour l'implémentation de lapro-

édure gen

(m, ℓ)

^{donnéeengureI.1.Laproéduregen}

(1, 0)

^génèreréursivement toutes les permutations

σ ∈ E _n,k

^{. En eet, supposons que lorsque l'on exéute l'appel réur-}

sif gen

(m, ℓ)

^{, la} permutation ourante est

σ ∈ E _m,ℓ

^{et ses exédenes sont en positions}

i ₁ , i ₂ , . . . , i _ℓ

^{.Le tableau}

t ₁

^{ontient es}

ℓ

^positions

i ₁ , i ₂ , . . . , i _ℓ

^{.D'unautreoté lesindies}

dans

[m] \{ i 1 , i 2 , . . . , i _ℓ }

^{sont stokés dans}

t 2

^{de taille}

r = m − ℓ

^{. Grâe au lemme I.2, la}

proédure gen

(m, ℓ)

^génèrelespermutations de

E _m+1,ℓ

^{ou de}

E _m+1,ℓ+1

^{enappliquant sur}

σ

^lesfontions

φ

^et/ou

ψ

^{.Pour obtenir :}

-

ψ(σ) ∈ E _m+1,ℓ

^{;onajoute l'indie}

(m + 1)

^{sur ladroite de}

t ₂

⁽

t ₂ [r + 1] = m + 1

^{) et}

on exéutegen

(m + 1, ℓ)

^.

-

φ(i _j , σ)

^ave

j ∈ [ℓ]

^{;on ajoute}

(m + 1)

^{surla droite de}

t ₂

⁽

t ₂ [r + 1] = m + 1

^{). On}

atualise

σ = σ · h t ₁ [j], m + 1 i

^{eton exéutegen}

(m + 1, ℓ)

^.

-

φ(i, σ)

^ave

i / ∈ { i ₁ , i ₂ , . . . , i _ℓ }

^{; i.e., pour haque}

j 6 r

^{, on pose}

temp = t ₂ [j]

^{. On}

ajoute

temp

^{sur la droite de}

t ₁

⁽

t ₁ [ℓ + 1] = temp

^{) et on remplae}

t ₂ [j]

^par

m + 1

^;

alors on atualise

σ = σ · h temp, m + 1 i

^{eton exéutegen}

(m + 1, ℓ + 1)

^.

Aprèshaqueappelréursif,onatualise

t ₁

^,

t ₂

^et

σ

^{pourretrouverleurvaleuravantl'appel.}

Ces opérations requièrent une omplexité

O (1)

^.Voirl'algorithme en gureI.1.

procedure gen(m, ℓ) r := m − ℓ

if

m = n

^thenoutput

σ

^;

else

if

ℓ 6 k

^and

m + 1 − ℓ 6 n − k

^then

t 2 [r + 1] := m + 1

gen(m + 1, ℓ)

foreah

v ∈ [ℓ]

σ := σ · ht 1 [v], m + 1i gen(m + 1, ℓ) σ := σ · ht 1 [v], m + 1i

if

ℓ + 1 6 k

^and

m − ℓ 6 n − k

^then

foreah

v ∈ [r]

t 1 [ℓ + 1] := t 2 [v]

temp := t 2 [v]; t 2 [v] := m + 1 σ := σ · htemp, m + 1i gen(m + 1, ℓ + 1) σ := σ · htemp, m + 1i t 2 [v] := temp;

endproedure

E 4,1 E 4,2 E 5,1

1 4231 1 3241 1 52341 14 52134

2 1432 2 3412 2 15342 15 13245

3 1243 3 4321 3 12543 16 15243

4 3214 4 1342 4 12354 17 14235

5 4213 5 2431 5 42315 18 15234

6 1324 6 2143 6 52314 19 21345

7 1423 7 3421 7 14325 20 51342

8 2134 8 3142 8 15324 21 41325

9 4132 9 2314 9 12435 22 51324

10 3124 10 4312 10 12534 23 31245

11 4123 11 2413 11 32145 24 51243

12 52143 25 41235

13 42135 26 51234

Figure I.1 : Algorithme degénération pour lespermutations ave unnombrexéd'ex-

édenes et leslistes

E _4,1

^,

E _4,2

^et

E _5,1

^.

L'algorithme produit les permutations de

E _n,k

^{en temps amorti onstant (CAT); en}

eet, dans la proédure le nombre de aluls est proportionnel au nombre d'appels ré-

ursifs. Deplus, haque appel réursif produitau moins un objetou produit deux autres

appels réursifs. Une implementation Java de et algorithme peut être vue à l'adresse

http://www.u-bourgogne.fr/jl.baril/applet.html.

I.2.2 Permutations et mots de Fibonai ou de Luas

Leontenudeettepartieestissudel'artile[17 ℄.NousutiliseronsiilaméthodeECO

(Enumeration ofCombinatorial Objets)dénieen1999 parPinzanietal.[15℄.Ils'agitde

fournirdesrègles desuessions permettant de onstruire unarbrede génération dont les

noeudsd'unniveau

n

^{sont lesobjets de lalasse}ombinatoire onsidérée.Onprésentei- dessousdesalgorithmes de génération baséssur ECO permettant de générer eaement

(CAT) lesmotsde Fibonai etdeLuas

p

-généralisés.L'arbre degénérationobtenu nous permet d'obtenir plusieurs bijetions entre es lasses et des lasses de permutations à

motifexlus.NousobtenonsainsilagénérationCATdenouvelleslasses depermutations.

I.2.2.1 Permutations et mots de Fibonai généralisés

Unmotde Fibonai

p

-généraliséde taille

n

^{estunmot binairedetaille}

n

^{n'ayant pas}

p

^{uns onséutifs. Par exemple, le mot}

110001010111

^{est un mot de Fibonai}

4

^généra-

lisé de taille

12

^{. Soit}

F _n,p

^{l'ensemble des mots de Fibonai}

p

-généralisés de taille

n

^{. La}

ardinalitéde ette ensemble est donnéepar lasuite deFibonai généralisée

f _n,p

^dénie

par

f _n,p = f _n−1,p + . . . + f _n−p,p

initialisée par

f _n,p = 0

^si

n = 0

^et

f _1,p = 1

^{. En fait, on a}

plus préisément :

| F _n,p | = f _n+2,p

^{. On dénira par la suite e qu'est une} permutation de Fibonai généralisée.

Le théorème suivant donne les règles de suessions pour la suite

f _n,p

^{de Fibonai}

p

-généralisée.

ThéorèmeI.3. Pour

p > 2

^{,un systèmederèglesde suession}

(Ω p )

^{pour la suite}

f n,p

^de

Fibonai

p

-généralisée est donné par :

(Ω _p )



 

 

 



 

 

 



(2 _p−1 )

(2 _p−1 ) (2 _p−1 )(2 _p−2 ) (2 p−2 ) (2 p−1 )(2 p−3 ) . . .

(2 ₁ ) (2 _p−1 )(1) (1) (2 p−1 ).

Par un simple alul utilisant les matries de prodution [64℄, on déduit la fontion

génératrie dela suiteengendrée par

Ω p

^{[71 ℄:}

f _p (z) = 1 + z + z ² + . . . + z ^p−1 1 − z − z ² − . . . − z ^p = 1

z ·

1 1 − P p

i=1 z ⁱ − 1

.

Puisque

f _p (z) _p→∞ −→ _1−2z ¹

^,

Ω _p

^{produitunesortede ontinuitédisrèteentrelessuitesde}

Fibonai

p

-généralisées(

p > 2

^{) etlasuite}

2 ⁿ

^.

Proposition I.4. L'arbre degénération de

(Ω _p )

^{peut être odé par les mots deFibonai}

p

-généralisés, i.e.,les motsbinaires n'ayant pas

p

^{uns onséutifs. Un mot de taille}

n

^est

obtenuà partird'un mot detaille

(n − 1)

^{eninsérant la valeur0 ou1 endernière position}

(Voir gure I.2).

Dans toute la suite une position (ou site) dans un mot (ou une permutation) est un

emplaement dansunmotavantlapremièrelettreouaprèsladernièrelettreouentredeux

lettresdumot.Lorsquel'onpermetl'insertiond'unelettresurunepositiond'unmot,alors

on dira quelaposition estun site atif.

(2 ) (2 ) ₂ (2 ) ₂

(2 ) ₂ (2 ) ₁ (2 ) ₂

(2 ) ₂

(2 )

(2 )

(2 ) (2 ) (2 )

(2 )

(2 )

(2 ) (2 )

(2 ) _{2 1}

2 1 2 (1)

1 2

2

λ

1 (2 ) ₂ (1) ₁ (2 ) _{2 2}

(2 ) 2

(2 ) ₂ (1)

(2 ) ₁

0 1

00 01 10 11

000 001 010 011 100 101 110

0000 0001 0011 0100 0101 0110 1000 1001 1010 1011

(1)

1100 1101 (2 )

0010

2

Figure I.2: Lesinqpremiersniveauxdel'arbredegénérationodéparlesmotsdeFibonai

3-généralisés.

L'arbre de génération préédent induit une bijetion entre

F _n,p

^{etdeux ensembles de}

permutations à motifsexlus (voir ladénition d'unmotif dansune permutation dansle

paragraphe NotationsetDénitions).Ceiexpliquelaraisonpourlaquelleonpeutappeler

permutation de Fibonai

p

-généralisée une permutation appartenant à l'un de es deux ensembles de permutations.

Théorème I.5. L'arbre degénérationde

(Ω _p )

^{peut être odé par les} permutations

π

^dans

S _n (321, 312, 234 . . . (p + 1)1)

^{.Lessites atifsde}

π

^{sontles deuxdernièrespositionssi l'éti-}

quette de

π

^{est (}

2 _i

^{); sinon seulement la dernière position est un site atif. (Voir gure}

I.3).

(2 ) (2 ) ₂ (2 ) ₂

(2 ) ₂

(2 )

(2 )

(2 ) (2 ) (2 ) (2 )

(2 )

(2 )

(2 ) (2 )

(2 ) _{2 1}

2 1 2 (1)

1

2 1 (1) (2 ) ₂

2

1

1

(2 ) (2 ) ₂

(2 ) _{2 2 2} (1) ₂

(2 )

(2 ) ₂ (1)

(2 ) ₁ (2 )

1234_5_ 2134_5_ 2135_4_ 2143_5_ 21453_ 2314_5_ 2315_4_

123_4_ 124_3_ 132_4_ 1342_ 213_4_ 214_3_

12_3_ 13_2_ 21_3_ 231_

1_2_ 2_1_

_1_

1 1235_4_ 1243_5_ 12453_ 1324_5_ 1325_4_

231_4_

1342_5_

Figure I.3 : Lesinqpermiersniveauxdel'arbredegénérationde

(Ω ³ )

^{odéparlespermuta-}

tionsdeFibonai

3

-généralisées

S n (321, 312, 2341)

^{.Lessites atifssont}représentésensoulignés.

Théorème I.6. L'arbre de génération de

(Ω p )

^{peut être odé par les} permutations de Fi- bonai généralisées

π

^dans

S _n (231, 312, (p + 1)p . . . 321)

^.Unepermutation

π

^atoujoursun

site atif sur sa dernière position; de plus, dans le as où le label est (

2 _i

^{), un autre site}

atif sesitue juste avant l'entrée maximale dela permutation

π

^.

I.2.2.2 Permutations de Luas généralisées

Un mot de Luas

p

-généralisé est un mot de Fibonai

p

-généralisé n'ayant pas

p

uns onséutifs lorsqu'on onsidère le mot irulairement. Par exemple, le mot

1010011

n'est pas un mot de Luas

3

-généralisé puisque

111

^{est ontenu dans le mot (onsidéré}

irulairement). Soit

L _n,p

^{l'ensemble des mots de Luas}

p

-généralisés de taille

n

^{. Pour}

n < p

^{on impose par onvention que le mot}

1 ⁿ

^{est dans}

L _n,p

^{. La ardinalité de}

L _n,p

^est

donnéepar lasuite

ℓ n,p

^déniepar:

ℓ n,p = ℓ n−1,p + . . . + ℓ n−p,p

initialiséepar

ℓ n,p = 2 ⁿ − 1

si

0 < n 6 p

^{.En faiton apréisément}

| L _n,p | = ℓ _n,p + 1

^si

n < p

^,et

| L _n,p | = ℓ _n,p

^sinon.Le

théorèmesuivant donne les règlesde suessionpour lasuite de Luas

p

-généralisée.

ThéorèmeI.7. Pour

p > 2

^{, un système de règles de suession}

(Φ _p )

^{pour la suite de}

Luas

p

-généralisée est :

(Φ _p )



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2 ^′ _p−1 )

(2 ^′ _p−1 ) (2 _p−1 )(2 ^′ _p−2 ) (2 ^′ _p−2 ) (2 p−2 )(2 ^′ _p−3 ) . . .

(2 ^′ ₁ ) (2 ₁ )(1 ^′ ) (1 ^′ ) (1)

(2 _p−1 ) (2 _p−1 )(2 _p−2 ) (2 p−2 ) (2 p−1 )(2 p−3 ) . . .

(2 ₁ ) (2 _p−1 )(1) (1) (2 p−1 ),

e qui signieque

(Φ p )

^{produit la suite}

ℓ p,n

^si

n > p

^et

ℓ p,n + 1 = 2 ⁿ

^sinon.

Par un simple alul utilisant les matries de prodution [64℄, la fontion génératrie

delasuite assoiéeà

(Φ _p )

^{est :}

ℓ _p (z) =

P p−1

i=0 (z ⁱ − i · z ^2p−i ) 1 − z − z ² − . . . − z ^p .

Onobtientune ontinuité disrèteentrelasuite de Luas

p

-généralisée estlasuite

2 ⁿ

^.

L'arbre degénération obtenune peutpasêtre odédiretement par lesmots deLuas

de

L _n,p

^{.Cependant,onpeutoderetarbreenutilisantunensemble}

K _n,p ⊆ F _n,p

^;

K _n,p

^est

l'ensemblelesmotsde

F _n,p

^{quiontiennentaumoinsdeux}

0

^{s dansleurpréxedelongueur}

p + 1

^.

Proposition I.8. L'arbre degénération de

(Φ _p )

^{peut être odé par les motsdel'ensemble}

K p,n

^{. Un mot de taille}

n

^{est obtenu d'un mot de taille}

n − 1

^{en insérant 0 ou 1 sur la}

dernière position.

L'arbredegénérationinduitaussiunebijetionentre

L n,p

^{etdesensemblesdepermuta-}

tionsàmotifsexlusdontlesélémentsserontappeléspermutationsdeLuas

p

-généralisées.

Théorème I.9. Soit

T _p =



 



 



134 . . . (p + 1)2 : (p + 3)(p + 2) 134 . . . p2 : (p + 2)(p + 3)(p + 1) . . .

132 : 56 . . . (p + 3)4.

Le système de règles de suession

(Φ _p )

^{produit un arbre de génération odé par les}

permutations deLuas

p

-généralisées

S _n (321, 312, 234 . . . (p + 1)1, T _p )

^{.Lessites atifssont}

les deux dernières positions si l'étiquette est (

2 _i

^{) ou (}

2 ^′ _i

^{); sinon, seulement la dernère}

positionest ative (voir gure I.4).

(2 )

(2 ) ₂ (2 ) ₁ (2 ) ₂

(2 ) 2 2

(2 )

(2 ) (2 )

(2 )

(2 )

(2 ) (2 )

(2 ) _{2 1}

2 1

1

2 1 (1) (2 )

2

2

213_4_

1 (2 ) ₂ (2 )

(2 ) _{2 2}

(2 ) ₂ (1)

1234_5_ 2134_5_

123_4_ 124_3_ 132_4_ 1342_

12_3_ 13_2_ 21_3_ 231_

1_2_ 2_1_

_1_

1235_4_ 1243_5_ 12453_ 1324_5_ 1325_4_ 1342_5_

(2’ )

(2’ )

1 (1’)

(1 ) 2314_

2314_5_

2135_4_

2143_

(1 )

2143_5_

Figure I.4 : Les inq premiers niveaux de l'arbre de génération de

(Φ 3 )

^{. Chaque noeud est}

odéparune permutationdeLuasdans

S n (321, 312, 2341, 1342 : 65, 132 : 564)

^.

Théorème I.10. Soit

T _p ^′ =



 



 



1(p + 1)p . . . 32 : (p + 3)(p + 2) 1p(p − 1) . . . 32 : (p + 3)(p + 2)(p + 1) . . .

132 : (p + 3)(p + 2) . . . 54.

L'arbre de génération de

(Φ _p )

^{peut être odé par les} permutations de Luas

π

^dans

S _n (231, 312, (p + 1)p . . . 321, T _p ^′ )

^{. Une} permutation

π

^{a toujours un site atif en dernière}

position; de plus, dans le as où l'étiquette est (

2 _i

^{) ou (}

2 ^′ _i

^{), elle en possède un autre qui}

est juste avantl'entrée maximale de

π

^.

I.2.2.3 Algorithme et omplexité

Touslesensemblesétudiéspréédemment peuventêtregénérés de façonplusou moins

eae. Je donne ii seulement les algorithmes de génération des ensembles de Luas

S _n (321, 312, 234 . . . (p + 1)1, T _p )

^et

S _n (231, 312, (p + 1)p . . . 321, T _p ^′ )

^{.Unrésuméde laom-}

pléxité des algorithmes trouvés est présenté à la n de e paragraphe dans la table I.1.

Notonsquelefaitdepouvoirgénérer

K n,p

^en

O (1)

^{nouspermet degénérerfailement}

L n,p

en

O (p)

^.

l1gen(i, k)

if

i = n

^thenoutput

σ

^;

else

if

k 6 = 0

^then

f 1gen(i + 1, k)

^;

σ = σ · h i, i + 1 i

^;

l1gen(i + 1, k − 1)

^;

σ = σ · h i, i + 1 i

^;

else

f 1gen(i + 1, 0)

^;

end;

l2gen(i, k, t)

if

i = n

^thenoutput

σ

^;

else

if

k 6 = 0

^then

f 2gen(i + 1, k, i + 1)

^;

for

j = i

^downto

t σ = σ · h j, j + 1 i

^;

l2gen(i + 1, k − 1, t)

^;

for

j = t

^to

i

σ = σ · h j, j + 1 i

^;

else

f 2gen(i + 1, 0, i + 1)

^;

end;

Ensembles généré Complexitéen moyenne

F p,n O (1)

S _n (321, 312, 234 . . . (p + 1)1) O (1) S _n (231, 312, (p + 1)p . . . 321) O (p)

K _p,n O (1)

L _p,n O (p)

S _n (321, 312, 234 . . . (p + 1)1, T _p ) O (1) S _n (231, 312, (p + 1)p . . . 321, T _p ^′ ) O (p)

Table I.1 : Complexitémoyenne pour lagénérationde haquelasse.

I.3 Génération en ode de Gray

Le ontenu de ette partie est issu des inq artiles [19 , 26 , 25 , 24, 31℄. Elle présente

desodesde Graypour l'ensemble

L _n,p

^{desmotsde Luas}

p

-généralisésdénis préédem- ment, pour l'ensemble desdérangements, i.e, l'ensembledes permutations n'ayant pasde

point xe, pour l'ensemble despermutations ayant un nombredonné de yles,ou de mi-

nimagauhe-droite, etenn pour une famille large de lasses de permutations évitant un

ensemble de motifs.

I.3.1 Mots de Luas

p

-généralisés

Rappelonsquel'ensemble

L n,p

^{desmotsdeLuas}

p

-généralisésdetaille

n

^{estl'ensemble}

desmots binaires de taille

n

^{ne ontenant pas}

p

^{uns onséutifs (les mots étant onsidé-}

rés irulairement). Par exemple, le mot

100011

^{est dans}

L _6,4

^{mais n'est pas dans}

L _6,3

^.

L'ensemble des mots de Fibonai

p

-généralisés est enore noté

F _n,p

^{. Remarquons qu'un}

ode de Gray est déjà onnu pour

F n,p

^{[167 ℄. Nousavons (dansle paragraphe préédent)}

obtenu unegénérationen

O (p)

^de

L _n,p

^{.NousdonnonsiiunodedeGraypour}

L _n,p

^etun

algorithme de générationen

O (1)

^.

Dans un premier temps on obtient une ondition pour qu'il existe un ode de Gray

pour

L _n,p

^{tel quedeuxélémentssuessifs dièrent d'uneet uneseule position. Pour ela,}

il est néessaire que la diérene du nombre de mots de Luas ayant un nombre pair de

uns ave lenombre de mots deLuas ayant unnombre impairde uns,soit ompriseentre

-1et 1.

Soient

{ φ _n } n>0

^et

{ λ _n } n>0

^{lessuitesdediérenesdeparité}orrespondantesauxsuites généralisées de FibonaietLuas :

φ _n = card(F _n,p ^′′ ) − card(F _n,p ^′ )

^,et

λ _n = card(L ^′′ _n,p ) − card(L ^′ _n,p ).

ou

F _n,p ^′′

^(resp.

L ^′′ _n,p

^{) est l'ensemble des mots de Fibonai (resp. Luas) ayant un nombre}

pair de uns, et

F _n,p ^′

^(resp.

L ^′ _n,p

^{) estl'ensemble desmots de Fibonai (resp.Luas) ayant}

un nombreimpair de uns.

Lemme I.11. 1.

φ _n

^vérie

φ n = φ n−1 − φ n−2 + · · · + ( − 1) ^p+1 φ n−p ,

^pour

n > p + 1,

^(I.1)

2.

λ _n

^{est liéà}

φ _n

^par

λ _n = φ _n−2 − 2 · φ _n−3 + · · · + ( − 1) ^p+1 p · φ _n−p−1 ,

^pour

n > p + 2.

^(I.2)

Proposition I.12. Si

φ(z)

^et

λ(z)

^{sontlesfontions} génératries pourles suites

{ φ _n } n > 0

et

{ λ _n } n>0

respetivement alors 1.

φ(z) = φ ₀ + z · ( − z) ^p−1 · 1 + z

1 − ( − z) ^p+1 ,

^(I.3)

2.

λ(z) = X p+1

j=0

λ _j z ^j + z ^p+2 · ( − 1) ^p+1 · 1 − (p + 1)( − z) ^p + p( − z) ^p+1

(1 − ( − z) ^p+1 ) · (1 + z) .

^(I.4)

Corollaire I.13. La suite

{ λ _n } n≥p+2

^{est périodique de période}

2(p + 1)

^{. De plus, si on}

dénit

λ _n = λ _n+2(p+1)

^{pour tout}

n = 0, 1, . . . , p + 1

^{alors safontion génératrie est}

λ(z) = ( − z) ^p+1 + (p + 1)z + p

(1 − ( − z) ^p+1 ) · (1 + z) .

^(I.5)

Corollaire I.14. La suite des diérenes deparitésorrespondant aux mots deLuasvé-

rie

λ _n,p =

( − 1) ⁿ⁺¹

^si

(p + 1) 6 | n,

( − 1) ⁿ · p

^si

(p + 1) | n.

^(I.6)

Théorème I.15. Sil'ensemble

L _n,p

^{admetun ode deGray alors}

(p + 1) 6 | n

^.

Considéronslarelationd'ordresuivanteutiliséepourobtenir unode deGraypourles

motsde Fibonai généralisés[167℄.

Dénition I.16. Onditque

x

^{estpluspetitque}

y

^{enordreloalrééhi,noté par}

x ≺ y

^,

si

P i

j=1 (1 − x j )

^{est impair et}

P i

j=1 (1 − y j )

^{est pair, où}

i

^{est la position la plus à gauhe}

telle que

x _i 6 = y _i

^.

Soit alors

L n,p

^{laliste ordonnée obtenue ave ette relationd'ordre. Onpeutmontrer}

que:

ThéorèmeI.17.

L n,p

^{est est unode de Gray optimal. Plus} préisément, 1. Si

(p + 1) 6 | n

^alors

L n,p

^{est un}

1

^{-ode de Gray pour}

L _n,p

^.

2. Si

(p + 1) | n

^alors

L n,p

^{est un}

2

^{-ode de Gray pour}

L _n,p

^{et il y a exatement}

p − 1

mots vériant

d(x, succ(x)) = 2

^.

La table suivante présente les odes de Gray obtenus pour l'ensemble

L _n,p

^lorsque

(n, p) = (4, 2)

^et

(n, p) = (4, 3)

^.

L 4,2 L 4,3

0 1 00 0 1 1 0

0 1 0 1 01 00

0 0 01 0 1 01

0 00 0 00 01

0 01 0 0 0 0 0

1 01 0 00 10

1 00 0 0 0 1 1

1 0 1 0

10 00

10 0 1

1 10 0

Table I.2: Leslistes

L 4,2

^et

L 4,3

^{.Lesmodiations de bitssont en gras.}

Un algorithme de génération CAT pour ette liste est naturellement obtenu par une

simpleadaptationde l'algorithme présentédans[167 ℄.

I.3.2 Dérangements

Un dérangement de taille

n

^{est une} permutation

π ∈ S _n

^{sans point xe, 'est à dire}

telle que

π(i) 6 = i

^{pour tout}

i ∈ [n] = { 1, 2, . . . , n }

^{. Si}

D _n

^{est l'ensemble de tous les}

dérangements de taille

n

^{,unerelation de réurrenepour}

d _n = card(D _n )

^{estdonnéepar :}

d _n = (n − 1)(d _n−1 + d _n−2 )

^(I.7)

pour

n > 2

^,ave

d ₁ = 0

^et

d ₂ = 1

^{,voirpar exemple [58, p.180℄ou [165, p.67℄.}

LaonstrutionduodedeGrayi-dessouspourl'ensemble

D _n

^{estbaséesurunepreuve}

ombinatoire delarelation (I.7) i-dessus.

Dénition I.18. 1. Pour

n > 3

^{, un entier}

i ∈ [n − 1]

^{, et un dérangement}

τ ∈ D _n−1

^,

on dénit une permutation

σ = φ _n (i, τ )

^{de taille}

n

^par

σ(j) =







n

^si

τ (j) = i i

^si

j = n τ (j)

^sinon.

2. Pour

n > 4

^{, un entier}

i ∈ [n − 1]

^{et un dérangement}

τ ∈ D _n−2

^{on dénit une}

permutation

σ = ψ _n (i, τ)

^detaille

n

^par

σ(j) =



 

 

 



 

 

 



i

^si

j = n

n

^si

j = i

τ (j)

^si

j < i

^et

τ (j) < i τ (j) + 1

^si

j < i

^et

τ (j) > i τ (j − 1)

^si

j > i

^et

τ (j − 1) < i τ (j − 1) + 1

^si

j > i

^et

τ (j − 1) > i.

Remarque :Si

σ ∈ D n

^,

n > 4

^,et

i = σ(n)

^,alors

1. si

σ(i) 6 = n

⁽

n

^{n'estpasdansune}transposition dans

σ

^)alors

σ = φ n (i, τ )

^ave

τ

^lapermu-

tationreprésentéeparles

n − 1

^{premièresentréesde}

h i, n i · σ

^;

2. si

σ(i) = n

⁽

n

^{est dansune} transposition dans

σ

^)alors

σ = ψ n (i, τ )

^ave

τ

^lapermutation représentéeparlaformenormaledelasuite

(σ(1), σ(2), . . . , σ(i − 1), σ(i + 1), . . . , σ(n − 1))

^.

⋄

Soit

D n

^{lalistepour l'ensemble}

D _n

^{dénie par :}

D n = φ(1, D n−1 ) ◦ ψ(1, D n−2 )

◦ ψ(2, D n−2 ) ◦ φ(2, D n−1 )

◦ φ(3, D n−1 ) ◦ ψ(3, D n−2 )

.

.

.

= ⁿ⁻¹

i=1

φ(i, D n−1 ) ◦ ψ(i, D n−2 ) (i+1)

(I.8)

pour

n > 3

^,et

D 1 = ψ(1, ∅ ) = ψ(2, ∅ ) = ∅

^et

D 2 = (2, 1)

^.Laliste

D n

^estlaliste

D n

^luedu

dernierélément au premier.Ondénit aussi

( D n ) ⁽ⁱ⁾ = D n

^si

i

^{est pairet}

( D n ) ⁽ⁱ⁾ = D n

^si

i

est impair.

LagureI.5i-dessousillustreladénitionduodedeGrayenreprésentant

D n

^parun

parours de sous-listes lues dans l'ordre habituel ou dans son sens inverse. Des exemples

delistes sont donnésdansla tableI.3i-dessous.

: : (1;Dn 1)

(2;Dn1)

(1;Dn2) (2;Dn2)

(n 1;Dn1)

(n 1;Dn2)

:

:

:

: :

(1;Dn 1)

(2;Dn 1)

(3;Dn 1)

(1;Dn 2)

(2;Dn 2)

(3;Dn 2) (n 1;Dn 1)

(n 1;Dn 2)

(a) (b)

Figure I.5 : Laliste

D n

^:(a)

n

^{estpair, (b)}

n

^{est impair.}

Table I.3 : Les listes

D 4

^et

D 5

^{. Dans}

D 5

^les sous-listes

φ(i, D 4 )

^et

ψ(i, D 3 )

^,

1 6 i 6 4

^,

sont respetivement engras eten italiques.

D 4 D 5

1 2341 1 23451 12 35412 23 25413 34 23154

2 3421 2 34251 13 45132 24 54213 35 31254

3 4321 3 43251 14 51432 25 45213 36 21534

4 3412 4 34521 15 41532 26 54123 37 51234

5 3142 5 35421 16 54132 27 51423 38 25134

6 4312 6 43521 17 43152 28 45123 39 53124

7 2413 7 24531 18 31452 29 24153 40 31524

8 4123 8 45231 19 34152 30 41253 41 35124

9 2143 9 25431 20 43512 31 21453 42 53214

10 54231 21 34512 32 41523 43 35214

11 53421 22 53412 33 24513 44 23514

ThéorèmeI.19. Deuxdérangementssuessifsdanslaliste

D n

^{dièrentenauplusquatre}

positions.

La démonstration de e résultat onsiste à étudier les diérentes transitions entre les

sous-listesde ladénitionréursive de

D n

^.

UnegénérationCATdelaliste

D n

^{peutêtreobtenueaprèsquelques}onsidérationsassez tehniquesquejepréfèreoulterdanse mémoire.J'inviteleleteurintéresséàseréférer

àl'artileorrespondant[31℄.Ontrouveraégalementdansepapierunegénéralisation aux

permutationsave unnombre depointsxes situésentredeux onstantes.