Lycée Louis Barthou Denis Augier
Chapitre 10 : résumé sur le dénombrement.
SoitnPN. On considère un ensemble E fini de cardinal n etA, B et C trois sous ensembles de E.
A Ensembles finis et cardinal.
Un ensembleE non vide est dit être fini s’il existe un entiern(qui sera appelé cardinal de E) et une bijection entre E etJ1, nK.
Par convention l’ensemble vide est fini et de cardinal 0.
• CardpAq ďCardpEq. De plus on a CardpAq “CardpEqsi et seulement siA“E.
• CardpAq “¯ CardpEq ´CardpAq
• CardpAYBq “CardpAq `CardpBq ´CardpAXBq
• CardpAYBYCq “CardpAq`CardpBq`CardpCq´CardpAXBq´CardpAXCq´CardpBXCq`CardpAXBXCq
• CardpAˆBq “CardpAq ˆCardpBq Définition-Proposition 1(Cardinal)
B p-listes avec répétitions.
Pour le cas particulier Ep avec p P N˚, les éléments de l’ensemble Ap sont appelés des p-liste (avec répétitions possibles) d’éléments deAet l’on a :
CardpApq “CardpAqp“np
SoitEet F deux ensembles finis. L’ensemble ApE, Fqdes applications deEdansF, est fini et on a CardpApE, Fqq “CardpFqCardpEq
Définition-Proposition 2
C p-listes sans répétition (rangement de p éléments).
SoitF un ensemble fini de cardinalnPNet soitpPN. On appellep-liste sans répétition deF unep-liste deF où les éléments sont 2-à-2 distincts. On a alors :
• Si pďn, il y a pn´pq!n! p-listes sans répétition d’éléments deF.
• Si pąn, il y a 0p-listes sans répétition d’éléments deF.
• Une n-liste est appelée unepermutation des éléments de F. Le nombre de permutation d’un ensemble à n éléments est :n!
SoitEun ensemble fini de cardinal pPN˚ alors
‚ Nombre d’injections deE dansF “
#0 si CardpFq ăCardpEq
n!
pn´pq!
‚ Le nombre de bijections (appelées icipermutations) deF dans lui-même estn!.
Définition-Proposition 3
D Combinaisons.
SoitEun ensemble fini et kPN. On appellek-combinaison deE toute partie deE à kéléments, et alors :
‚ Le nombre dek-combinaisons deE est le nombre`n
k
˘défini par `n
k
˘“k!pn´kq!n!
Par convention, sikă0 oukąnon pose `n
k
˘“0. On le lit «k parmin».
‚ Soitpa, bq PC2 etnPN˚ : pa`bqn“
n
ř
k“0
`n k
˘akbn´k Définition-Proposition 4
BCPST 1 2019-2020 1
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E Nombre de sous-ensembles.
SoitEun ensemble fini. L’ensemble PpEqest fini et on a : CardpPpEqq “
n
ÿ
k“0
ˆn k
˙
“2CardpEq“CardpApE,rr0,1ssqq “Cardprr0,1ssqCardpEq“2n Proposition 5
F Méthodes.
On sera amenés à calculer des coefficients binomiaux "à la main".
• Retenir les formules du cours :`n
0
˘“`n
0
˘“1,`n
1
˘“` n
n´1
˘“n, "miroir", et`n
k
˘“nk`n´1
k´1
˘
• Savoir construire le triangle de Pascal (et connaitre la formule de Pascal)
• Connaitre les formules :
ˆn k
˙
“ n!
pn´kq!k! “nˆ pn´1q ˆ...ˆ pn´k`1q kˆ pk´1q ˆ...ˆ1 Pour déterminer`10
4
˘:
ˆ10 4
˙
“
4 facteurs
hkkkkkkkikkkkkkkj 10ˆ9ˆ8ˆ7 4ˆ3ˆ2ˆ1 loooooomoooooon
4 facteurs
loomo“on
Simplifier ! ! !
“ 10ˆ3ˆ7
1 “210
Méthode-exemple 1(calcul des coefficients binomiaux)
Dans le cas d’une urne avec 5 boules blanches, 3 noires et 2 rouges. On tire simultanément 5 boules.
‚Le nombre de possibilités totales est simplement`10
5
˘.
‚le nombre de possibilités avec 3 blanches et 2 noires est : ˆ5
3
˙ loomoon
3 B parmi 5
ˆ ˆ3
2
˙ loomoon
2 N parmi 3
ˆ ˆ2
0
˙ loomoon
0 R parmi 2
“10ˆ3ˆ1“30 Méthode-exemple 2(Suite de combinaisons.)
Le nombre d’anagrammes de "anagramme" (attention ici on considère toutes les mots : avec ou sans sens) :
• On réfléchit en termes "d’emplacements". Il y en a 9 ici (puisque 9 lettres)
• On dénombre le nombre de représentants de chaque lettre :
— 3 "a"
— 2 "m"
— 1 pour les 4 autres lettres.
• Il y a`9
3
˘“84 façons de placer les "a".
• Il ne reste plus que 9´3“6 emplacements possibles pour les "m" et donc`6
2
˘“15 façons de placer les 2 "m".
• Ensuite pour le "n" :`4
1
˘“4 (puisqu’il ne reste que 4 emplacements)
• Ensuite pour le "g" :`3 1
˘“3
• Ensuite pour le "r" :`2
1
˘“2
• Ensuite pour le "e" :`1
1
˘“1
Le nombre de possibilités au total est donc : ˆ9
3
˙ ˆ
ˆ6 2
˙ ˆ
ˆ4 1
˙ ˆ
ˆ3 1
˙ ˆ
ˆ2 1
˙ ˆ
ˆ2 1
˙
“84ˆ15ˆ4ˆ3ˆ2ˆ1 Méthode-exemple 3(anagramme)
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