2 I " ! Bg P P P P P B F F F F F F " " ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

(1)

1

FORCES MAGNÉTIQUES - corrigé des exercices

A. EXERCICES DE BASE

I. Principe d’un ampèremètre “absolu”

1.

• Le champ magnétique à l'intérieur d'un solénoïde est quasi-uniforme, orienté selon l'axe et de norme B = µ₀ n I = 12,6 mT.

2.

• L'élément conducteur “utile” de la balance est horizontal à l'équilibre (par construction) et perpendicu- laire à l'axe de la bobine (donc au champ

!

B) ; il subit donc alors une force verticale (vers le haut ou vers le bas) de norme F = I Δℓ B = 2,51 mN.

• À l'équilibre, le moment de cette force est compensé par celui du poids des masses placées sur le plateau de la balance. Si toutefois la balance n'est pas exactement équilibrée “à vide” (sans courant ni masse), alors il peut y avoir un décalage :

M

⁽

!

F) +

M

⁽

!

P) +

M

déc. = 0.

• En inversant le sens du courant, on inverse le sens de

!

F et celui de son moment. Le nouvel équilibre donne :

M

^(-

!

F) +

M

⁽

!

"

P ) +

M

_déc. = 0 ; on en déduit par différence : 2

M

⁽

!

F) =

M

⁽

!

"

P ) -

M

⁽

!

P).

• Faute d'indication dans l'énoncé, on doit supposer que les bras du fléau de la balance sont égaux ; la compensation correspond à l'égalité des normes : 2 F = Δm g.

• La surcharge nécessaire est donc : Δm =

!

2I"!B g ^.

◊ remarque : l'énoncé dit qu'il s'agit d'une surcharge ; mais le signe de la variation Δm dépend du sens de

!

F dans le premier équilibre ; on suppose donc que le sens choisi est celui qui correspond.

• L'application numérique donne : Δm = 512 mg.

3.

• L'énoncé indique que l'équilibre est ensuite rétabli en ajoutant une surcharge ; ceci suppose que dans le sens inverse Pʼ > P, donc initialement

M

⁽

!

F) et

M

⁽

!

P) sont de même signe, donc le décalage est ici nécessaire (et doit être assez grand) pour que l'expérience soit possible.

• Avec une balance “normale” (décalage souvent non nul mais faible), on pourrait compenser en modifiant le courant, mais non changer son signe.

• Inversement, lorsque cela est possible, l'avantage de ne changer que le sens est de ne faire interve- nir, en valeur absolue, qu'une seule intensité I du courant ; ceci permet de mesurer ce dernier par comparai- son avec des masses connues. Un tel ampèremètre est “absolu” en ce sens qu'il ne nécessite pas de com- paraison entre le courant étudié et des “courants de référence” : c'est le même courant qui est utilisé pour créer le champ magnétique qui cause la force.

II. Action d’un champ magnétique uniforme sur un cadre 1.

•.

2.

•.

(2)

2

III. Mesures relatives de champs magnétiques

• Puisque l'axe de rotation de l'aiguille de la boussole est vertical et que le moment magnétique

!

m

^est

horizontal, seule la composante horizontale de

!

B contribue au moment algébrique selon l'axe vertical.

• En plus des forces magnétiques, l'aiguille est soumise à son poids et à la réaction de l'axe, mais ces forces ont un moment nul par rapport à l'axe.

• En notant J le moment d'inertie de l'aiguille, le théorème du moment cinétique peut donc s'écrire sous la forme : J θ^•• =

m

B sin(θ).

• Pour les petites oscillations, cela correspond à un oscillateur harmonique de période T = 2π

!

J

m

^B^.

On peut ainsi en déduire :

!

B₂ B₁⁼

!

T₁ T₂

"

#$ %

&

'

2

.

IV. Composante horizontale du champ magnétique terrestre 1.

•.

2.

•.

V. Roue de Barlow

• Le moment subi par un élément infinitésimal

!

d! est :

!

d

M

⁼

!

OM

⨯

!

dF avec

!

dF = I

!

d!

⨯

!

B.

• En coordonnées cylindriques, avec une direction axiale selon l'axe de la roue :

!

B = B

!

u_z ;

!

d! = dr

!

u_r + r dθ

!

u_" ;

!

dF = I B . [- dr

!

u_" + r dθ

!

u_r] ;

!

OM = r

!

u_r ;

!

d

M

^{= -}^I^{B r dr}

!

u_z.

• Au total :

!

M

⁼

!

d

M ( )

^M

O A

"

^{= -}

!

1 2 I B R²

!

u_z.

• Le résultat ne dépend pas du trajet du courant car les projections selon

!

u_" du mouvement des

charges donnent des contributions selon

!

u_r aux forces de Laplace ; ces contributions ont un moment nul.

B. EXERCICES D'APPROFONDISSEMENT VI. Principe de l’ampèremètre absolu de Kelvin 1.

•.

2.

•.

3.

•.

4.

a).

b).

5.

a).

b).