+ + F p p p ! F p = = ! + A − 1,01.10 ⎛⎝⎜⎞⎠⎟ P F ! − 1,00.10 F + P + mgA A − m − mg g ! Pa mg = + = 0 ! 0,100.9,811,00.10 = 0 0 Pa = 1,00981.10 Pa

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E

Ces deux exercices de catégorie A permettent de vérifier l’apprentissage du cours. Le premier revient sur le travail du poids d’un corps, le second sur le travail des forces électrocinétiques. C’est aussi l’occasion de réutiliser particulièrement l’ensemble des questions associées à l’observation d’une transformation thermodynamique ainsi que d’autres notions introduites dans les chapitres précédents.

N.B. La difficulté d’un exercice dépend de l’histoire et de la personnalité des chercheurs ou chercheuses. Ne pas confondre difficulté et catégorie.

Exercices de catégorie A

Exercice T12.EA1 : Masse M supplémentaire sur un piston

Un gaz considéré comme parfait est enfermé dans un corps de pompe. Son état est caractérisé par les valeurs de sa quantité de matière, de sa pression, de son volume et de sa température (n, p, V, T). Le piston est horizontal, sa masse et son aire sont respectivement notées m et A. Toutes les parois sont diathermanes. La pression atmosphérique P⁰ et la température T⁰ règnent dans le laboratoire. L’équilibre thermodynamique est réalisé. À l’instant de date ti vous posez délicatement en un seul geste une masse M sur le piston. Voir figure 1.

T12.Ex Figure 1 : Masse supplémentaire sur piston.

Données : n = 5,00. 10^-2 mol ; P0 = 1,00. 10⁵ Pa ; T0 = 3,00. 10² K ; M = 0,500 kg ; m = 0,100 kg ; A = 1,00.10^-3 m² ; g = 9,81 N.kg^-1 ; R = 8,32 J.mol^-1.K^-1.

a. Aux instants de dates t < ti exprimez littéralement la pression, la température et le volume du gaz.

Puis calculez-les numériquement.

b. Décrivez l’évolution du système {corps de pompe, piston, masse M, gaz} pour t > ti. Cette transformation est-elle réversible ? proche de la réversibilité ? progressive ?

c. À un instant de date t^f le système a atteint son état d’équilibre thermodynamique final. Exprimez alors littéralement la pression, la température et le volume du gaz. Puis calculez-les numériquement.

d. Exprimez littéralement puis calculez numériquement le travail du poids du piston lesté par la masse M et de la force pressante atmosphérique au cours de la transformation.

e. Calculez numériquement la somme de ces travaux. Retrouvez ce résultat par une autre méthode.

a. Dans le référentiel du laboratoire le piston est alors en équilibre mécanique donc la résultante des forces qui lui sont appliquées est nulle. Ces forces sont les forces pressantes exercées par le gaz et l’atmosphère ainsi que son poids :

La projection de cette relation sur l’axe vertical ascendant donne :

Les forces pressantes sont égales au produit de la pression exercée par l’aire de la surface pressée donc :

Finalement la pression du gaz s’écrit :

Numériquement :

La précision des données conduit à écrire :

L’effet de surpression dû au piston, de l’ordre de 1%, est faible.

F!_p+ ! F_P

0 +mg!=! 0

+F_p−F_P

0−mg=0

+p_iA−P₀A−mg=0

p_i =P₀+mg A

p_i = 1,00.10⁵+0,100.9,81 1,00.10⁻³

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

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Le gaz est en équilibre thermodynamique avec l’atmosphère de température T0. Donc sa température vaut :

Le gaz en équilibre thermodynamique vérifie son équation d’état :

Numériquement :

b. La surpression provoquée par la masse supplémentaire entraîne un déséquilibre qui se traduit par la descente du piston et la compression du gaz. Ces conséquences cessent lorsque la pression du gaz s’est adaptée à la situation, que les frottements ont amorti le mouvement et que les échanges thermiques sont réalisés. Le système est alors à nouveau en équilibre thermodynamique.

Cette transformation est réelle donc irréversible.

Elle n’est pas proche de la réversibilité car même si les frottements sont rendus fluides en lubrifiant le système, la différence de pression entre l’atmosphère et le gaz, cause de la transformation, n’est pas négligeable et ne peut être rendue négligeable sans dénaturer la transformation.

Le mouvement peut être ralenti en augmentant les frottements donc la transformation peut éventuellement être progressive sans pour autant devenir proche de la réversibilité.

c. En transposant le calcul de la pression initiale du gaz, il vient :

Numériquement :

Le gaz est à nouveau en équilibre thermodynamique avec l’atmosphère de température T0. Donc sa température vaut encore :

Le gaz en équilibre thermodynamique vérifie son équation d’état :

Numériquement :

d. Le point d’application des forces se déplace d’une distance h égale au déplacement du piston :

Numériquement, en utilisant des valeurs non arrondies pour éviter les erreurs... d’arrondi :

Finalement, avec la précision utilisée :

Les vecteurs-poids et le déplacement sont colinéaires et de même sens. Le travail des poids est moteur. Il s’écrit donc :

Numériquement :

La force pressante atmosphérique est constante et s’exerce uniformément sur la surface du piston. Son travail s’écrit :

Numériquement :

La somme de ces deux travaux vaut donc :

e. La résultante des poids et de la force pressante atmosphérique équivaut à l’action d’une pression extérieure effective qui s’écrit :

Son travail s’écrit :

On retrouve, bien entendu la même expression littérale et la même valeur numérique.

T_i=T₀ numériquement T_i =3,00.10²K

V_i = nRT_i p_i = nRT₀

p_i

V_i = 0,0500.8,32.3,00.10² 1,00981.10⁵ m³ V_i =1, 235876.10⁻³m³!1, 24.10⁻³m³

p_f = P₀+(m+ M)g A

p_f = 1,00.10⁵+0,600.9,81 1,00.10⁻³

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

p_f =1,05886.10⁵Pa=1,06.10⁵Pa

T_f =T₀ numériquement T_f =3,00.10²K

V_f = nRT₀ p_f

V_f = 0,0500.8,32.3,0.10²

1,05886.10⁵ m³=1,178626.10⁻³m³ V_f !1,18.10⁻³m³

h=V_f −V_i A

h=1,178626−1,235876

1,00.10⁻³ m=0,057249986 m h!0,0572 m=5,72cm

W_T[(M+m)g!]= +(M+m)gh

W_T[(M+m)g]! =(0,5+0,1).9,81.0,057249986 J W_T[(M+m)g]! =0,336973 J"0,337 J

W_T(! F_P

0)=−P₀ΔV = P₀Ah W_T(!

F_P

0)=1,00.10⁵.1,00.10⁻³.0,057249986 J W_T(!

F_P

0)=5,7249986 J"5,72 J W_T

[

F_P

0)= +(M+m)gh+P₀Ah W_T

[

F_P

0)"6,06 J

p_{ext eff} = P₀+(M+m)g A W_T(!

F_P

ext eff)=−P_{ext eff}ΔV = P_{ext eff}Ah

W_T(! F_P

ext eff)= P₀+(M+m)g

A

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= P₀Ah+(M+m)gh

"6,06 J

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Exercice T12.EA2 : Chauffage par une résistance

Une enceinte rigide et adiabatique contient une masse M d’eau. Un résistor de résistance R est plongé dans l’eau. Il est alimenté par une source de tension idéale de tension à vide E0. L’interrupteur K est ouvert. Les résistances des fils de connexion et de l’interrupteur sont négligeables. Voir figure 2. L’équilibre thermodynamique est réalisé. À l’instant de date t1 vous fermez l’interrupteur K. À l’instant de date t2 = t1 + Dt vous le rouvrez. Données : M = 0,5 kg ; R = 0,1 kW ; E0 = 12 V ; t2 = t1 + 1 min

T12.Ex Figure 2 : Chauffage par une résistance.

a. Précisez quel système cède de l’énergie et sous quelle forme. S’il s’agit d’un travail, nommez les forces qui ont effectué ce travail. À quel système cette énergie est-elle cédée ?

b. Décrivez l’évolution des systèmes : pile, résistor, eau.

c. Exprimez littéralement puis calculez numériquement le travail reçu par le résistor.

d. La capacité thermique du système {eau, résistor} dans cette transformation est notée C. Elle vaut 3,00 kJ.K^-1. Exprimez littéralement puis calculez numériquement la variation de température de ce système.

a. La pile cède de l’énergie sous forme du travail des forces électrocinétiques au reste du circuit électrique. Toutes les résistances sauf celle du résistor sont négligeables donc il reçoit pratiquement toute cette énergie.

Cette énergie se partage en deux : Une partie cédée à l’eau par le résistor sous forme de chaleur ce qui provoque l’échauffement de l’eau ; L’autre, emmagasinée par le résistor, provoque son propre échauffement.

b. L’énergie cédée par la pile n’apparaît pas miraculeusement. « La pile s’use ! ». Les réactifs chimiques de la pile réagissent et se transforment en produits de cette réaction. L’énergie libérée par la réaction chimique est transformée en énergie électrocinétique. Le résistor et l’eau s’échauffent, leur énergie interne augmente.

c. Pour exprimer le travail des forces électrocinétiques il faut connaître l’expression de la puissance électrocinétique. Pour la déterminer, il faut étudier le circuit électrique. Voir figure 3 ci- dessous. Le résistor est étudié en convention récepteur et la pile en convention générateur.

T12.Ex Figure 3 : Étude du circuit électrique.

La loi de Kirchhoff sur les intensités indique que la même intensité parcourt l’ensemble du circuit. La loi de Kirchhoff sur les tensions s’écrit :

Donc la puissance électrocinétique s’écrit : Le travail des forces électrocinétiques s’écrit : Et le travail cherché :

Numériquement :

d. La définition de la capacité thermique donne :

Numériquement :

Le principe de ce dispositif de laboratoire est aussi celui des bouilloires électriques : Donc elles fonctionnent !

E₀= RI d'où I= E₀ R

Pélectrocinétique =

point de vue

!

de la pile

!

!

2

R W_T(!

Félectrocinétiques)=PélectrocinétiqueΔtoùΔt=t₂−t₁

W_T(!

Félectrocinétiques)= E₀²

R (t₂−t₁) W_T(!

Félectrocinétiques)=12²

0,160 J=86,4 kJ W_T(!

Félectrocinétiques)=CΔT ΔT =W_T(!

Félectrocinétiques) C

ΔT = 86,4.10³

3.10³ K=28,8 K