(x p ) p∈ Ndénieparx 0 ∈ ]0, a]etx p+1 = ϕ(x p )estdéroissanteetonverge vers0.

Caluldiérentiel 13 mars2014

1)Soit

ϕ : [0, a] → R +

^{unefontionontinuevériant}

ϕ(0) = 0

^et

ϕ(x) < x

^pour

x > 0

^.

(a)Montrerquetoutesuiteitérée

(x p ) p∈ N

^déniepar

x 0 ∈ ]0, a]

^et

x p+1 = ϕ(x p )

^estdéroissanteetonverge vers

0

^.

(b) On suppose que la dérivée

λ = ϕ ^′ (0)

^{existe, et que l'on a un} développement limité de la forme

ϕ(x) = λx − cx ^β + o(x ^β )

^ave

β > 1

^et

c ∈ R ^∗

^{. Montrer que l'on a ou bien}

λ ∈ [0, 1[

^{, ou bien}

λ = 1

et

c > 0

^.

() Onsupposeii

λ ∈ ]0, 1[

^{et on pose}

v p = log(λ ^−p x p )

^{. Montrer d'abord quepourtout}

λ ^′ > λ

^{il existe}

une onstante

C > 0

^{telle que}

x p ≤ C(λ ^′ ) ^p

^{, puis utiliser un} développement limité pour montrer que la série

P (v p+1 − v p )

^est onvergente. Endéduire qu'ilexisteune onstante

α > 0

^{telle que}

x p ∼ αλ ^p

^quand

p → +∞

^.

(d) on suppose ii

λ = 1

^{(et don}

c > 0

^{). Montrer que}

u p = x ^1−β _p+1 − x ^1−β _p

^{onverge vers}

c(β − 1) > 0

et en déduire que

x p ∼ (c(β − 1)p) ^{−1/(β−1)}

^quand

p → +∞

^{(on pourra ommener par montrer que les}

sommespartielles

S p

^d'unesérie

P

u p

^{telle que}

lim u p = ℓ

^vérient

S p ∼ p ℓ

^{). Quelrésultateladonne-t-il}

pour

ϕ(x) = sin x

^{? Combien(environ)}d'itérationssont-ellesnéessaires,partantde

x 0 = 1

^{,pouratteindre}

x p < 10 ⁻⁶

^?

2)Lebut desdeuxexeriesqui suiventest dedonnerunedémonstrationélémentairedireteduthéorème

des fontions impliites en dimension nie, qui n'utilise que le théorème des valeurs intermédiaires pour

les fontions d'une variable (le théorème du point xe dans les espaes de Banah n'est plus utilisé !).

Soit

f (x 1 , . . . , x n )

^{unefontiondelasse}

C ¹

^{dénie surunvoisinaged'unpoint}

a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ R ⁿ

^telle

que

f (a) = 0

^et

_∂x ^∂f

n (a) 6= 0

^.

(a)Montrerparunraisonnementdiretqu'ilexisteunvoisinage

V ^′

^de

a ^′ = (a 1 , . . . , a n−1 )

^dans

R ⁿ⁻¹

^etune

fontion

ϕ : V ^′ → ]a n − ε, a n + ε[

^{tellequ'onait}

ϕ(a ^′ ) = a n

^et

x ∈ V = V ^′ × ]a n − ε, a n + ε[, f (x) = 0 ⇐⇒ x ^′ = (x 1 , . . . , x n−1 ) ∈ V ^′ , x n = ϕ(x ^′ ).

(Onpourraseramenerauasoùl'onaparexemple

∂f

∂x n (a) > 0

^,etfaireessentiellementlemêmeraisonnement quedans

R ²

^{,feuilledeTDn}

^◦

^6,exerie2.)

(b) Soit

k k

^{la norme eulidienne sur}

R ⁿ

^{. En supposant}

kdfk ≤ M

^et

_∂x ^∂f

n (x) ≥ m > 0

^{sur levoisinage}

onsidérédupoint

a

^,montrerque

ϕ

^estnéessairementlipshitziennederapport

λ = M/m

^sur

V ^′

^.

()Montrer(diretement)que

ϕ

^{admetdesdérivéespartielles}

_∂x ^∂ϕ

j

,

1 ≤ j ≤ n − 1

^{,etlesalulerenfontion}

des dérivées partielles de

ϕ

^{. En déduire que}

ϕ

^{est de lasse}

C ¹

^{, puisque}

ϕ

^est

C ^k

^si

f

^{est elle-mêmede}

lasse

C ^k

^,

k ≥ 1

^.

3)Soit

(f i (x 1 , . . . , x n )) 1≤i≤p

^unefamillede

p

^fontionsdiérentiablesdelasse

C ^k

^,

k ≥ 1

^{,dansunvoisinage}

d'un point

a ∈ R ⁿ

^{. On suppose que}

f i (a) = 0

^{et qu'il existe des indies}

j 1 < . . . < j p

^{pour lesquels le}

déterminant

det( _∂x ^{∂f i} _j (a)) 1≤i≤p,j=j ₁ ,...,j p

^d'ordre

p

^{soitnonnul. Onposeenn}

f =





 f 1

.

.

.

f p





 : V → R ^p .

(a) Montrer qu'après permutation des oordonnées

(x 1 , . . . , x n )

^et remplaement du système d'équations

f (x) = (f i (x)) 1≤i≤p = 0

^{parun systèmeéquivalent}

Af (x) = 0

^(où

A

^{est une matrie}

p × p

inversible),on peut seramener au as où

j 1 = 1

^,

. . .

^,

j p = p

^et

( _∂x ^{∂f i}

j (a)) 1 ≤ i, j ≤ p

^{est la matrieunité d'ordre}

p

^{. On}

supposeraégalement

a = 0 ∈ R ⁿ

^.

(b) On se plae sous leshypothèses réalisées au (a). Montrer que l'équation

f p (x 1 , . . . x n ) = 0

^{se résout}

demanièreuniqueauvoisinagedel'originesouslaforme

x p = ψ(x 1 , . . . , x p−1 , x p+1 , . . . , x n )

^ave

ψ(0) = 0

et

ψ

^delasse

C ^k

^{. Calulerlesdérivéespartielles de}

ψ

^en

0

^{, puismontrer par}substitutionque lesystème

(f i (x)) 1≤i≤p = 0

^{équivaut àun système}

(g i (x ^′ )) 1≤i≤p−1 = 0

^où

x ^′ = (x 1 , . . . , x p−1 , x p+1 , . . . , x n )

^{. Caluler}

lesdérivéespartiellesdes

g i

^{parrapportaux}

x j

^,

1 ≤ j ≤ p − 1

^{,et démontreralorslethéorèmedesfontions}

impliitesparréurrenesur

p

^.