La transformation de taille-gree - Treillis de Catalan

II.2 Treillis de Catalan

II.2.2 La transformation de taille-gree

Danse paragraphe, on dénitune nouvelle transformationsur lesarbres binaires qui

peutêtrearatériséeàl'aidedessuitesdedistribution. Celainduitunenouvellestruture

de treillis sur

B _n

Un arbre binaire ave une raine, ordonné, est un arbre non étiqueté danslequel tous

les noeudssont soit une feuille (i.e. unnoeud sans ls) soit un noeud interne

^ayant

deux ls. On note par

B _n

^l'ensemble ^des ^arbres ^binaires ^ave

n

^noeuds ^internes ^(don

ave

n + 1

^feuilles). Îlêst ^bienônnu ^queârd

(B _n ) = | B _n |

^est^égal ^au^nombre ^de^Catalan

2n n

/(n + 1)

^.^L'ensemble

B

^des^arbres^binaires^estréursivementdénipar

B = + BB

ennotationpolonaise.Ilestbienonnuqu'unesuitede

n

^erles^et

(n+1)

^arrés^orrespond

à la notation polonaise d'un arbre de

B _n

^si ^et ^seulement ^si ^dans ^tout ^préxe ^propre ^de

la suite, le nombre de erles est plus grand ou égal au nombre de arrés, et le nombre

total de arrés de la suite est exatement le nombre total de erles plus un. Soit

T _L

^et

T R

^les sous-arbres gauhe et droit de

T ∈ B n

^. ^Alors ^on ^peut ^érire

T = T L T R

^et ^on

dénit l'abre miroir

T ¯ = T ¯ _R T ¯ _L

^. ^Les ^feuilles ^de ^l'arbre

T

^sont ^numérotées ^en ^préordre

transversal (i.e. de la gauhe vers la droite). La suite des profondeurs de

T

^est ^la ^suite

d'entiers

ℓ T = (ℓ T (1), ℓ T (2), . . . , ℓ T (n + 1))

^où

ℓ T (i)

^est^le^niveau^de^la

i

^-ième^feuille, ^i.e.^la

longueur de l'unique hemin entre la

i

^-ième ^feuille ^et ^la ^raine ^{[147 ℄.} ^Soit ^aussi

ℓ ¯

^la ^suite

miroir

ℓ ¯ = (ℓ _T (n + 1), ℓ _T (n), . . . , ℓ _T (1))

^laquelle^est^aussi^la^suite^desprofondeursdel'arbre miroir

T ¯

réursivement dénipar

T ¯ = T ¯ _R T ¯ _L

^et

¯ =

^.^Par ^exemple, ^l'arbre ^déni ^en

notation polonaise par

^a ^la ^suite ^des profondeurs

(1, 3, 4, 5, 5, 4, 4, 3)

^. ^Son ^miroir ^est

^et ^a ^la^suite ^des

profondeurs

(3, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 1)

^.^Maintenant^onsidérons^une^suite

(a(1), a(2), . . . , a(n + 1))

ave un entier

k ∈ [2, n + 1]

^tel ^que

a(k − 1) = a(k) = q

^. ^Le ^proessus ^qui ^onsiste ^à

remplaer la paire

(a(k − 1), a(k)) = (q, q)

^par

q − 1

^dans ^le ^but ^d'obtenir ^une ^nouvelle

suite

(a(1), a(2), . . . , a(k − 2), q − 1, a(k+ 1), . . . , a(n + 1))

êstâppeléûne^rédution.^Ruskey

et Hu[147 ℄ donnent laonditionnéessaireetsusante pour qu'unesuite detaille

(n + 1)

représente un arbre binaire de

B _n

^. ^Une ^suite

(a(1), a(2), . . . , a(n + 1))

^est ^une ^suite ^des

profondeurssietseulement siunesériede

n

^rédutions^de^la^gauhe^vers^la^droite^produit

lasuite

0

De plus, la suite des profondeurs d'un arbre binaire obéit à e qu'on appelle

l'inéga-lité de Kraft ([80 ℄, p. 45). Une ondition néessaire [99, p. 404, ex. 3℄ pour une suite

(a(1), a(2), . . . , a(n + 1))

^pour ^être ^une ^suite ^desprofondeursestque :

n+1 X

i=1

2 ^−a(i) = 1.

Lemme II.8. [99, p. 404, ex. 3℄ Soit

ℓ T = (ℓ T (1), ℓ T (2), . . . , ℓ T (n + 1))

^une ^suite ^des

profondeurs d'un arbre binaire

T

^et ^soit

T ^′

^un ^sous ^arbre ^de

T

^tel ^que ^la ^raine ^de

T ^′

^est

au niveau

k

^dans

T

^. ^Si

m ₁ < m ₂

^et

(ℓ _T (m ₁ ), ℓ _T (m ₁ + 1), . . . , ℓ _T (m ₂ − 1), ℓ _T (m ₂ ))

^est ^la

sous-suite de

ℓ _T

orrespondantaux feuilles de

T ^′

^alors

m 2

X

i=m 1

2 ^−ℓ ^T ⁽ⁱ⁾ = 2 ^−k .

La suite

2 ^−ℓ ^T = (2 ^−ℓ ^T ⁽¹⁾ , 2 ^−ℓ ^T ⁽²⁾ , . . . , 2 ^−ℓ ^T ⁽ⁿ⁺¹⁾ )

^est ^appelée ^la^suite ^de ^densité ^de ^l'arbre

binaire(lasommedesesvaleursestun).Alorsonluiassoiesasuitededistributionomme

lasuite roissante :

L _T = (2 ^−ℓ ^T ⁽¹⁾ , 2 ^−ℓ ^T ⁽¹⁾ + 2 ^−ℓ ^T ⁽²⁾ , . . . , P ⁱ

j=1

2 ^−ℓ ^T ^(j) , . . . , 1).

Dans la suite de e paragraphe, les suites des profondeurs sont notées en minusules (

ℓ

parexemple)etlessuitesdedistribution enmajusules(

L

^).^On^suppose^que

6

^est^l'ordre

habituelpourdeuxsuitesdetailles

n

^,^i.e.^si

ℓ = (ℓ(1), . . . , ℓ(n+1))

^et

ℓ ^′ = (ℓ ^′ (1), . . . , ℓ ^′ (n + 1))

^,^on ^dit^que

ℓ 6 ℓ ^′

^si

ℓ(i) 6 ℓ ^′ (i)

^pour ^tout

i ∈ [1, n + 1]

Dénition II.9. La transformation de taille-gree

→

^sur

B n

^ave

n > 2

^est ^dénie ^par

le reouvrement

T → T ^′

^s'il ^existe

k > 1

τ ₁ ∈ { , } ^∗

^et

τ ₂ ∈ { , } ^∗

^tel ^que

T = τ ₁ ^k τ ₂

^et

T ^′ = τ ₁ ^k−1 τ ₂ .

^Soit

→ ^∗

^la ^loture ^réexive ^et ^transitive

→

^sur

B _n

La transformation de taille-gree taille en remplaçant une 'petite branhe'

T ₁ =

^de

T

^par ûne ^feuille êt ^gree êtte ^petite ^branhe

T ₁ =

^à ^la ^plae ^de ^la

feuille située juste avant

T ₁

^dans ^la ^notation ^polonaise ^de

T

^. ^V^oir ^la ^gure ^II.4 ^par

exemple.

Proposition II.10. Soient

T, T ^′ ∈ B n

^et

ℓ T

ℓ _T ^′

^leurs^suites ^des profondeurs. Alors on a

T → T ^′

^si^et ^seulement ^s'il ^existe

p > 1

q > 2

^et

2 6 i 6 n

^tels^que

ℓ T = (ℓ T (1), ℓ T (2), . . . , ℓ T (i − 2) , p , q , q , ℓ T (i + 2), . . . , ℓ T (n + 1))

^et

ℓ _T ^′ = (ℓ _T (1), ℓ _T (2), . . . , ℓ _T (i − 2) , p + 1 , p + 1 , q − 1 , ℓ _T (i + 2), . . . , ℓ _T (n + 1)).

{ { {

(4, 4, 3, 3, 4, 5, 5, 1) 1/32 . (2, 4, 8, 12, 14, 15, 16, 32)

Polish notation Feasible sequence Distribution sequence 1/32 . (4, 6, 8, 12, 14, 15, 16, 32)

(3, 4, 4, 3, 4, 5, 5, 1) 1/32 . (4, 8, 10, 12, 14, 16, 24, 32)

(3, 3, 4, 4, 4, 4, 2, 2)

1/32 . (4, 6, 8, 12, 14, 16, 24, 32) (3, 4, 4, 3, 4, 4, 2, 2)

Figure II.4: Trois transformationsde taille-greedans

B ₇

Corollaire II.11. Soient

T, T ^′ ∈ B _n

^et

L _T

L _T ^′

^leurs ^suites ^de distribution. Alors on a

T → T ^′

^si ^et ^seulement ^s'il ^existe

p > 1

q > 2

^et

2 6 i 6 n

^tels ^que

L _T = (L _T (1), . . . , L _T (i − 2), L _T (i − 2) + 2 ^−p , L _T (i − 2) + 2 ^−p + 2 ^−q , L _T (i + 1), . . . , 1)

^et

L _T ^′ = (L _T (1), . . . , L _T (i − 2), L _T (i − 2) + 2 ^−(p+1) , L _T (i − 2) + 2 ^−p , L _T (i + 1), . . . , 1)

Dénition II.12. Soient

T

^et

T ^′

^deux ^arbres ^diérents^dans

B _n

^.^Soit

σ ₁ ∈ { , } ^∗

^le

plus long préxe ommun de

T

^et

T ^′

^dans ^la ^notation ^polonaise. ^Supposons ^que

T = σ 1 σ 2 ^j

| {z }

τ

σ 3

j > 0

^, ^et

σ ₂

^est ^le ^mot ^vide ^ou

σ ₂ ∈ { , } ^∗

^et

σ ₂

^ne ^ontient ^pas ^d'ourene ^de

τ =

^(i.e.

τ =

^est ^l'ourene ^la ^plus^à^gauhe ^de

^dans

T

^après

σ ₁

^),

σ ₃ ∈ { , } ^∗

Alors on a néessairement

T ^′ = σ ₁ σ ^′ ₂

^ave

σ ^′ ₂ ∈ { , } ^∗

On dénit l'arbre

U (T, T ^′ ) ∈ B n

⁽

U

^pour ^UP) ^tel ^que

T → U (T, T ^′ )

^et

U (T, T ^′ ) = σ 1 σ 2

| {z }

τ

^j σ 3 .

De plus, on pose

U(T, T ) = T

Par exemple,si :

T =

T ^′ =

alors

σ ₁ = σ ₂ =

σ ₃ =

^et

j = 1

^. ^On ^obtient

U (T, T ^′ ) =

Lemme II.13. Soient

T

^et

T ^′

^deux^arbres^dans

B _n

^tels^que^leurs^suites^dedistribution

L _T

L _T ^′

^vérient

L _T > L _T ^′

^. ^Alors

U (T, T ^′ )

^existe ^et ^sa^suite ^de distribution

L _U(T,T ^′ ₎

^vérie

L T > L _U(T,T ^′ ₎ > L _T ^′

Dénition II.14. Soient

T

^et

T ^′

^deux ^arbres ^diérents ^dans

B _n

^ave

n > 2

^. ^Soit

σ ₁ ∈ { , } ^∗

^le ^plus^long ^préxe ^ommun ^en^notation^polonaise. ^Supposons ^que

T = σ ₁ σ ₂

ave

σ 2 ∈ { , } ^∗

^.Âlors ôn â néessairement

T ^′ = σ 1 σ ₂ ^′

| {z }

τ

^j σ ₃ ^′

où

j > 0

^, ^et

σ ^′ ₂

^est ^le ^mot ^vide ^ou

σ ₂ ^′ ∈ { , } ^∗

^tel ^que

σ ₂ ^′

^ne ^ontient ^pas ^d'ourr^ene ^de

τ =

^(i.e.

τ

^est ^l'ourene ^de

^la ^plus^à ^gauhe ^dans

T ^′

^après

σ ₁

^),^et

σ ^′ ₃ ∈ { , } ^∗

Ondénit l'arbre

D(T, T ^′ ) ∈ B _n

⁽

D

^pour^DOWN)^tel ^que

D(T, T ^′ ) → T ^′

^et

D(T, T ^′ ) = σ 1 σ ₂ ^′ ^j

| {z }

τ

σ ^′ ₃ .

Deplus, on pose

D(T, T ) = T

Par exemple,si :

T =

T ^′ =

alors

σ ₁ =

σ ₂ ^′ =

σ ^′ ₃ =

^et

j = 1

^. ^On ^obtient

D(T, T ^′ ) =

Lemme II.15. Soient

T

^et

T ^′

^deux ^arbres ^dans

B _n

^tels ^que ^leurs ^suites ^de distribution

L _T

^et

L _T ^′

^vérient

L _T > L _T ^′

^. ^Alors

D(T, T ^′ )

^existe ^et ^sa ^suite ^de distribution

L _D(T,T ^′ ₎

vérie

L _T > L _D(T,T ^′ ₎ > L _T ^′

ThéorèmeII.16. Soient

T

^et

T ^′ ∈ B _n

L _T

^et

L _T ^′

^leur ^suites ^de distribution.Alors on a

T → ^∗ T ^′

^si^et ^seulement ^si

L _T > L _T ^′ .

ThéorèmeII.17. Pour tout

n

^, ^l'ensemble partiellement ordonné

(B _n , → ^∗ )

^est ^un ^treillis.

Notons qu'il existe des relations entre les treillis de Catalan déjà onnus. En eet,

rappelons que si

T

^et

T ^′

^sont ^deux ^éléments ^dans ^le ^treillis ^de ^Kreweras ^(partition

non-roisées)tels que

T 6 T ^′

^, âlors ôn â

T 6 T ^′

^dans^le ^treillis ^de ^Tamari. ^Si

T 6 T ^′

^dans ^le

treillisde Tamari, alors

T 6 T ^′

^est ^aussi^vrai^dans^le^treillis ^de ^Stanley^.^Si

T 6 T ^′

^dans^le

treillis 'phagoyte' dénidans lasetion préédente [21 ℄, alors

T 6 T ^′

^est ^aussi^vrai ^dans

letreillis deKreweras.L'ensembledesreouvrementsdutreillis 'phagoyte'estinlu dans

l'ensembledesreouvrementsdutreillisdeKreweras.Cependant,letreillis'taille-gree'ne

semble pasavoir desrelations similaires ave d'autres treillis.Voirles gures II.5etII.6.

Le treillis

(B _n , → ^∗ )

^possède ^un ^plus^grand ^élément

1

^et^un ^plus ^petit ^élément

0

^et^leur

suitesdesprofondeurssontrespetivement

ℓ 1 = (n, n, n − 1, . . . , 2, 1)

^et

ℓ 0 = (1, 2, . . . , n − 1, n, n)

(B n , → ^∗ )

^est^symétrique ^ar

T → ^∗ T ^′

^si ^et^seulement ^si

T ¯ ^{′ ∗} → T ¯

^.^Le ^treillis

(B n , → ^∗ )

n'est pasmodulairepuisqu'il ontient despentagones (voirles guresII.5et II.6).

1/16 . (4, 8, 12, 14, 16) 1/16 . (2, 4, 8, 12, 16)

1/16 . (4, 5, 6, 8, 16)

1/16 . (4, 6, 7, 8, 16)

1/16 . (8, 9, 10, 12, 16) 1/16 . (2, 3, 4, 8, 16) 1/16 . (1, 2, 4, 8, 16)

1/16 . (2, 4, 6, 8, 16)

1/16 . (4, 6, 8, 12, 16)

1/16 . (4, 8, 10, 12, 16)

1/16 . (8, 10, 11, 12, 16)

1/16 . (8, 10, 12, 14, 16)

1/16 . (8, 12, 13, 14, 16)

1/16 . (8, 12, 14, 15, 16) (4,4,3,2,1)

(3,4,4,2,1)

(3,3,3,3,1)

(2,4,4,3,1)

(2,3,4,4,1)

(2,3,3,2,2) (3,3,2,2,2)

(2,2,3,3,2)

(1,4,4,3,2)

(1,3,4,4,2)

(1,3,3,3,3)

(1,2,4,4,3)

(1,2,3,4,4) (2,2,2,3,3)

Figure II.5: Le treillis'taille-gree'

B ₄

^.^Chaqueârbreêstôdé^par ^ses^suite ^de

profon-deurs etde distribution.

Proposition II.18. Soient

T

^et

T ^′

^deux^arbres ^dans

B _n

^tels^que

T → ^∗ T ^′

^, ^alors

(i) U ( ¯ T , T ¯ ^′ ) → T ^′

(ii) T → D( ¯ T , T ¯ ^′ )

(iii)

^le ^hemin

T ^′ ← D(T, T ^′ ) ← D(T, D(T, T ^′ )) ← D(T, D(T, D(T, T ^′ ))) ← . . . ← T

est unplus long heminentre

T

^et

T ^′

(iv)

^le ^hemin

T → U (T, T ^′ ) → U (U (T, T ^′ ), T ^′ ) → U (U (U (T, T ^′ ), T ^′ ), T ^′ ) → . . . → T ^′

est unplus ourt heminentre

T

^et

T ^′

Corollaire II.19. Soit

C

^le ^hemin^déni ^par ^:

1 ← D(0, 1) ← D(0, D(0, 1)) ← D(0, D(0, D(0, 1))) ← . . . ← 0.

T

^appartient ^à

C

^si ^et ^seulement ^si

T

^vérie ^la ^ondition

(A)

^dénie ^par ^:

T

^a ^soit ^une

unique ourene de

^, ^soit ^deux ^ourrenes ^de

^telles ^qu'il ^n'existe ^pas ^de

feuillesentreellesennotationpolonaisede

T

^.^De^plus,^si

T

^et

T ^′

appartiennent auhemin

C

^et ^vérient

T → T ^′

^, ^alors

T ^′

^est ^obtenu ^à ^partir ^de

T

^par ^une transformationde taille-gree del'ourene

^la ^plus ^à ^droite ^dans

T

Corollaire II.20. Soit

C ^′

^le ^hemin^déni ^par ^:

0 → U (0, 1) → U (U (0, 1), 1) → U (U (U (0, 1), 1), 1) → . . . → 1.

0 0

Figure II.6 : Le treillis 'taille-gree'

B ₅

^.^Chaque ârbre êstôdé ^par ^ses ^suites ^des

pro-fondeursetde distribution.

T → T ^′

^est ^sur ^le ^hemin

C ^′

^alors

T ^′

^est ^obtenu ^à ^partir ^de

T

^par ^la transformation de taille-gree la plus à gauhe dans

T

Remarque 1 Par le Corollaire II.19, leplus long hemin entre

0

^et

1

^a ^une ^longueur ^de

2 ⁿ − (n + 1)

^. ^Ce^sont ^les ^nombres ^Euleriens ^donnés ^par ^la^suite ^A000295 ^dans^[162℄. ^Le

plusourthemin entre

0

^et

1

^a^une ^longueur ^de

(n − 1) ²

Maintenant nous montrons que les éléments max-(resp. min) irrédutibles dans

B _n

sonténumérésparlesnombresEuleriens.Rappelonsque

x ∈ B _n

^est^un^élément^max-(resp.

min)-irrédutiblesi

x = a ∨ b

^(resp.

x = a ∧ b

⁾ ^implique

x = a

^ou

x = b

ThéorèmeII.21. Lenombred'élémentsmax-(resp.min)-irrédutiblesdansletreillis

'taille-gree'

(B n , → ^∗ )

^est ^donné ^par ^les ^nombres ^Euleriens

2 ⁿ − (n + 1)

ThéorèmeII.22. Le nombre

cov(n)

^de reouvrements dans

B _n

^est ^égal ^à

_n−1 ²ⁿ

Une nouvelle struture a été dénie sur les arbres binaires via une transformation

naturelle.Lasimpliitédeladénitiondelatransformationde'taille-gree'estenontraste

ave ladiulté de lapreuvedu théorème quiaratérise ettetransformation.

Desproblèmes doivent enore être résolus.

Existe-t-il un algorithme eae et non-réursif pour aluler la fontion de Möbius du

treillis 'taille-gree'des arbres binaires ommedans [131 ℄?On onjetureque lafontion

de Möbius prendsesvaleursdans

{− 1, 0, +1 }

Est-equ'ilexisteunalgorithmeentemps polynomialalulantlalongueurminimaled'un

hemin entre deux arbres binaires dans le treillis [117 ℄? Si un tel algorithme existe, une

nouvelle distane de hemin le plus ourt serait obtenue et pourrait être ajoutée dansle

ataloguedesdistanesdéjàexistantessurlesensemblesdeCatalan[81 ,130 ,132 ,128,161℄.

Dénissonslavaluation

v

^sur

(B _n , → ^∗ )

^par^:

v(T )

^est^la^longueur ^du^plus^long^hemin^entre

T

^et

1

^.^On^onjeture^que

v

^vérie^que^pour^tout

T

^et

T ^′

v(T )+v(T ^′ ) 6 v(T ∨ T ^′ )+v(T ∧ T ^′ )

T < T ^′ = ⇒ v(T ) > v(T ^′ )

^.^Si^tel^était ^le^as, ^alors

d(T, T ^′ ) = v(T ) + v(T ^′ ) − 2v(T ∨ T ^′ )

serait une distanesur

(B _n , → ^∗ )

^{[32 ,} ^41℄.

Guttmann, Krattenthaler et Viennot [86℄ énumèrent les

k

^-haînes ^dans ^les ^treillis ^de

Stanley.Kreweras [103 ℄ énumère les

k

^-haînes ^dans ^les^treillis ^des^partitionsnon-roisées.

Plus généralement,Chapotonprouvedans[47℄ quela suite A000260de [162 ℄ énumère le

nombre d'intervalles dans le treillis de Tamari, i.e. le nombre de paires

(T, T ^′ )

^telles ^que

T 6 T ^′

^:^voir^aussi^[82, ^p.^27℄. ^Bernardi ^et^Bonihon ^[34℄ onstruisent desbijetions entre l'ensembledesintervallesdeestreillis etertaines triangulations (realizers).Onaobtenu

expérimentalement lenombred'intervalles pour lestreillis taille-gree de petites tailles:

1, 3, 15, 101, 818, 7486, 74648, 793005, 8843056, 102464586, ...

Cette suite n'apparaît pas dans [162 ℄. Est-il possible d'obtenir la fontion génératrie de

ette suite?

Dans le document Mémoire présenté par (Page 46-52)

La transformation de taille-gree

II.2 Treillis de Catalan

II.2.2 La transformation de taille-gree

B n

B n

n

n + 1

(B n ) = | B n |

2n n

/(n + 1)

B

B = + BB

n

(n+1)

B n

T L

T R

T ∈ B n

T = T L T R

T ¯ = T ¯ R T ¯ L

T

T

ℓ T = (ℓ T (1), ℓ T (2), . . . , ℓ T (n + 1))

ℓ T (i)

i

i

ℓ ¯

ℓ ¯ = (ℓ T (n + 1), ℓ T (n), . . . , ℓ T (1))

T ¯

T ¯ = T ¯ R T ¯ L

¯ =

(1, 3, 4, 5, 5, 4, 4, 3)

(3, 4, 4, 5, 5, 4, 3, 1)

(a(1), a(2), . . . , a(n + 1))

k ∈ [2, n + 1]

a(k − 1) = a(k) = q

(a(k − 1), a(k)) = (q, q)

q − 1

(a(1), a(2), . . . , a(k − 2), q − 1, a(k+ 1), . . . , a(n + 1))

(n + 1)

B n

(a(1), a(2), . . . , a(n + 1))

n

0

(a(1), a(2), . . . , a(n + 1))

n+1 X

i=1

2 −a(i) = 1.

ℓ T = (ℓ T (1), ℓ T (2), . . . , ℓ T (n + 1))

T

T ′

T

T ′

k

T

m 1 < m 2

(ℓ T (m 1 ), ℓ T (m 1 + 1), . . . , ℓ T (m 2 − 1), ℓ T (m 2 ))

ℓ T

T ′

m 2

X

i=m 1

2 −ℓ T (i) = 2 −k .

2 −ℓ T = (2 −ℓ T (1) , 2 −ℓ T (2) , . . . , 2 −ℓ T (n+1) )

L T = (2 −ℓ T (1) , 2 −ℓ T (1) + 2 −ℓ T (2) , . . . , P i

j=1

2 −ℓ T (j) , . . . , 1).

ℓ

L

6

n

ℓ = (ℓ(1), . . . , ℓ(n+1))

ℓ ′ = (ℓ ′ (1), . . . , ℓ ′ (n + 1))

ℓ 6 ℓ ′

ℓ(i) 6 ℓ ′ (i)

i ∈ [1, n + 1]

→

B n

n > 2

T → T ′

B _n

B _n

(B _n ) = | B _n |

B _n

T _L

T ¯ = T ¯ _R T ¯ _L

ℓ ¯ = (ℓ _T (n + 1), ℓ _T (n), . . . , ℓ _T (1))

T ¯ = T ¯ _R T ¯ _L

B _n

2 ^−a(i) = 1.

T ^′

T ^′

m ₁ < m ₂

(ℓ _T (m ₁ ), ℓ _T (m ₁ + 1), . . . , ℓ _T (m ₂ − 1), ℓ _T (m ₂ ))

ℓ _T

T ^′

2 ^−ℓ ^T ⁽ⁱ⁾ = 2 ^−k .

2 ^−ℓ ^T = (2 ^−ℓ ^T ⁽¹⁾ , 2 ^−ℓ ^T ⁽²⁾ , . . . , 2 ^−ℓ ^T ⁽ⁿ⁺¹⁾ )

L _T = (2 ^−ℓ ^T ⁽¹⁾ , 2 ^−ℓ ^T ⁽¹⁾ + 2 ^−ℓ ^T ⁽²⁾ , . . . , P ⁱ

2 ^−ℓ ^T ^(j) , . . . , 1).

ℓ ^′ = (ℓ ^′ (1), . . . , ℓ ^′ (n + 1))

ℓ 6 ℓ ^′

ℓ(i) 6 ℓ ^′ (i)

T → T ^′

τ ₁ ∈ { , } ^∗

τ ₂ ∈ { , } ^∗

T = τ ₁ ^k τ ₂

T ^′ = τ ₁ ^k−1 τ ₂ .

→ ^∗

B _n

T ₁ =

T ₁ =

T ₁

T, T ^′ ∈ B n

ℓ _T ^′

T → T ^′

ℓ _T ^′ = (ℓ _T (1), ℓ _T (2), . . . , ℓ _T (i − 2) , p + 1 , p + 1 , q − 1 , ℓ _T (i + 2), . . . , ℓ _T (n + 1)).

B ₇

T, T ^′ ∈ B _n

L _T

L _T ^′

T → T ^′

L _T = (L _T (1), . . . , L _T (i − 2), L _T (i − 2) + 2 ^−p , L _T (i − 2) + 2 ^−p + 2 ^−q , L _T (i + 1), . . . , 1)

L _T ^′ = (L _T (1), . . . , L _T (i − 2), L _T (i − 2) + 2 ^−(p+1) , L _T (i − 2) + 2 ^−p , L _T (i + 1), . . . , 1)

T ^′

B _n

σ ₁ ∈ { , } ^∗

T ^′

T = σ 1 σ 2 ^j

σ ₂

σ ₂ ∈ { , } ^∗

σ ₂

σ ₁

σ ₃ ∈ { , } ^∗

T ^′ = σ ₁ σ ^′ ₂

σ ^′ ₂ ∈ { , } ^∗

U (T, T ^′ ) ∈ B n

T → U (T, T ^′ )

U (T, T ^′ ) = σ 1 σ 2

^j σ 3 .