Sup PCSI2 — Contrˆole 2003/03
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.
Exercice 1 : questions diverses
Q1 Soientk>2 etf : x∈R7→xk. Notonsg= (f◦f)′ eth=f′◦f′. Explicitezg(x) et h(x). Conclusion ? Q2 La fonctionϕ: R7→Rv´erifieϕ(x+ 1)> ϕ(x) pour tout r´eelx. Cette fonctionϕest-elle croissante ? Q3 Calculez la limite de la suite de terme g´en´eral Sn= X
16k6n
1 pn(n+k). Q4 Calculez la limite de la suite de terme g´en´eral Tn= X
06k6n+1
1
p(n+ 1)(2n+k). Q5 Calculez la limite ℓde la suite de terme g´en´eralWn= X
06k6n
kek/2n n(n+ 3). Q6 R´esolvez (dans R) l’´equation arctan(x) + arctan(3x) =π/2.
Exercice 2 : calcul des puissances successives d’une matrice carr´ ee
◮Nous d´esirons obtenir une expression simple deAn, o`uAest la matrice
1 3 −1
0 −2 1
0 0 3
etn∈N.
◮Pour 16i63 et 16j 63, nous noterons (An)i,j le coefficient situ´e ligneiet colonne j dans la matrice An.
Q1 Sans aucun calcul, que pouvez-vous affirmer concernant la matriceAn? Q2 Calculez A2,A3 etA4.
Q3 Donnez (preuves `a l’appui) les expressions deαn= (An)1,1,βn= (An)2,2 etγn= (An)3,3.
◮Notonsxn= (An)1,2.
Q4 Exprimezxn+1 en fonction dexn. Q5 En d´eduire une expression simple dexn.
Q6 Donnez de mˆeme une expression simple de yn= (An)2,3.
Q7 Au vu des matrices calcul´ees `a la question 2, quelle formule peut-on deviner pourzn= (An)1,3? Q8 D´emontrez cette formule !
Q9 Finalement, donnez l’expression deAn en fonction den.
Q10 Justifiez rapidement l’affirmation suivante : la matriceAn est inversible.
Q11 Rempla¸cons n par (−n) dans l’expression ´etablie `a la question 9 : nous obtenons une matrice Bn. Cette matrice est-elle l’inverse deAn?
Tournez S.V.P.
Probl` eme : nombres harmoniques et constante d’Euler
Partie 1
◮Pourn∈N∗, notons Hn= X
16k6n
1
k etrn =Hn−lnn.
Q1 Pourk>2, ´etablissez Z k+1
k
dt t 6 1
k 6 Z k
k−1
dt t . Q2 En d´eduire lnn6Hn61 + lnn.
Q3 Quel est le sens de variation de la suite (rn)n>1?
Q4 Montrez que la suite (rn)n>1 converge ; nous noteronsγ sa limite.
◮Pourk>2, notonsvk= Z k
k−1
t−k+ 1 t2 dt.
Q5 Justifiez l’encadrement 06vk6 1 k−1−1
k. Q6 Montrez que la suite de terme g´en´eralVn= X
26k6n
vk converge.
Q7 Pourn>1, justifiez : lim
p→∞
³ Xp
k=n+1
vk
´=rn−γ.
Q8 En d´eduire 06rn−γ6 1 n. Partie 2
◮L’encadrement qui conclut la premi`ere partie montre que la convergence versγde la suite de terme g´en´eral rn est trop lente ; nous nous proposons donc d’acc´el´erer cette convergence.
Q9 Pourk>2, notonsIk= Z 1
0
x(1−x)(1−2x)
(x+k−1)4 dx. Au moyen d’int´egrations par parties r´ep´et´ees (et dˆument justifi´ees), ´etablissez :
Ik= 2vk+1 k− 1
k−1+1 6
³ 1
(k−1)2− 1 k2
´
Q10 Toujours pourk>2, notonsJk = Z 1
0
x2(1−x)2
(x+k−1)5dx. Justifiez : Jk =vk+1
2
³1 k− 1
k−1
´ + 1
12
³ 1
(k−1)2 − 1 k2
´
Q11 Quel est le maximum de la fonctionx∈[0,1]7→x(1−x) ? Q12 Toujours pourk>2, ´etablissez : 06Jk6 1
64
³ 1
(k−1)4 − 1 k4
´.
Q13 En d´eduire, pourn>1 : 06rn−γ− 1 2n+ 1
12n2 6 1 64n4 Q14 Quel d´eveloppement asymptotique deHn pouvez-vous en tirer ?
[Contr^ole 2003/03] Compos´e le 11 juin 2008
