TES 5 Interrogation 2A : Correction 19 septembre 2017 Exercice 1 :
Soient deux suitesuet v d´efinies pour tout entiernpar :
1. un+1=un−5 etu0= 3 2. vn+1= 3×vn etv0= 2 1. Calculer les 3 premiers termes de chaque suite.
2. Donner la nature de chaque suite.
3. Exprimer un en fonction denetvn en fonction den.
Solution:
1. u0=−2,u1=−7 etu2=−10 et v0= 2,v1= 6 etv2= 18 2. uest arithm´etique etv est g´eom´etrique
3. un= 3−5net vn= 2×3n
Exercice 2 :
Montrer que la suite d´efinie pour tout entiernparun = 2× 12n
est g´eom´etrique.
Solution: un+1= 2× 12n+1
= 2× 12n
×12 = 12×un
Exercice 3 :
Dans une r´eserve naturelle, on ´etudie l’´evolution de la population d’une race de singes en voie d’extinction `a cause d’une maladie.
Une ´etude sur cette population de singes a montr´e que leur nombre baisse de 15 % chaque ann´ee.
Au 1erjanvier 2004, la population ´etait estim´ee `a 25000 singes.
A l’aide d’une suite, on mod´elise la population au 1erjanvier de chaque ann´ee. Pour tout entier natureln, le termeun de la suite repr´esente le nombre de singes au 1erjanvier de l’ann´ee 2004 +n. On a ainsiu0= 25000.
1. Donner la formule permettant d’obtenir l’effectif de cette population de singes au 1erjanvier 2005 ;
Solution:
u1= 25000×0,85
2. Justifier que, pour tout entier natureln, on a un = 25000×0,85n.
Solution: Une baisse de 15% se traduit par une multiplication de 0,85, c’est-
`
a-dire un+1 = 0,85×un. Donc uest une suite g´eom´etrique de raison 0,85 et de premier termeu0= 25000, On a donc un = 25000×,85n
3. Suivant ce mod`ele, on souhaite savoir, `a l’aide d’un algorithme, au bout de combien d’ann´ees apr`es le 1erjanvier 2004 le nombre de singes sera inf´erieur `a 5000.
Compl´eter les lignes L4, L5 et L6 de l’algorithme ci-dessous.
L1 : Variables uun r´eel,nun entier L2 : Initialisation uprend la valeur 25000
L3 : nprend la valeur 0
L4 : Traitement Tant queu >5000 faire
L5 : uprend la valeuru×0,85
L6 : nprend la valeur n+ 1
L7 : Fin Tant que
L8 : Sortie Affichern
