Montrer que(un) et (vn)convergent

MPSI 2 Semaine 21

Exercice 1 Exercices de colle

1. Soitun tendant vers`etvn tendant vers`⁰, avec` < `⁰. Montrer queun< vn à partir d’un certain rang.

2. Montrer qu’une suite à valeurs entières converge si et seulement si elle est stationnaire.

3. Soit(un)une suite bornée. Étudier la monotonie devn= sup_p≥nup et wn = inf_p≥nup.

4. Soit(un)et(vn)deux suites réelles telles que(un+vn)et(un−vn)convergent. Montrer que(un) et (vn)convergent.

5. Soit(xn)et (yn)deux suites convergentes. Étudiermax(un, vn)et min(un, vn).

6. Soit(un)une suite complexe telle que(u²_n)et (u³_n)convergent. Montrer que (un)converge. L’hy- pothèse "(u²_n)converge" est-elle suffisante pour conclure que(un)converge ?

7. SoitA={(−1)ⁿ+_n+1¹ |n∈N}.A est-il borné ? Étudier ses bornes supérieures et inférieures.

8. Soitaet b deux réels strictement positifs etE={(−1)ⁿa+_n^b , n∈N^∗}. Est-il minoré, majoré ? Déterminer ses bornes inférieure et supérieure si elles existent.

9. Calculer les bornes supérieure et inférieure, si elles existent, de E=n

n+m+1

2m+n+3 |(n, m)∈N²o . 10. SoitAune partie de Ret a6∈Avérifianta= supA. Montrer∀ε >0,∃(x, y)∈A²,0< y−x < ε.

11. SoitA une partie de R, non vide et bornée etB ={|x−y|, (x, y)∈A²}. Démontrer queB est bornée etsup(B) = sup(A)−inf(A).

12. Soitf de[0; 1]dans lui-même, croissante. Montrer qu’elle admet un point fixe (f(a) =a).

13. Déterminer inf

(x₁+· · ·+x_n) 1

x1

+· · ·+ 1 xn

|x₁, . . . , x_n>0

. (Indication : utilisez les in- égalités entre moyennes.)

14. Montrer que les carrés de nombres rationnels sont denses dansR₊. 15. Montrer, pourxety réels,E(x) +E(y)≤E(x+y)≤E(x) +E(y) + 1.

16. Montrer, pourxréel etn∈N^∗,0≤E(nx)−nE(x)≤n−1, puisE

E(nx) n

=E(x).

17. Pourx∈Ret n∈N^?simplifier

n−1

X

k=0

E

x+k n

.

18. Pournetpentiers, calculerE

n+p 2

+E

n−p+ 1 2

. 19. SimplifierE(x) +E(−x).

20. On pose{x}=x−E(x). Calculer{x}+{−x}.

21. Montrer que{n√

2−E(n√

2)|n∈Z}est dense dans[0; 1]. (On notexn={n√

2}=n√

2−E(n√ 2) et on étudieraxn+k−xnpour en déduire que pour toutε >0, il existe un terme de (xn)inférieur à ε, puis on conclura comme pour la densité des rationnels.)

22. Montrer que, pourn∈N, il existe un entierptel que(2 +√

3)ⁿ+ (2−√

3)ⁿ= 2p. En déduire que E((2 +√

3)ⁿ)est un entier impair.

23. Démontrer, pourn∈N,E 3

2 n

>

3 2

n

−1 + 1 2ⁿ⁺¹.

24. Soit(un)une suite réelle qui ne diverge pas vers+∞. Montrer que l’on peut en extraire une suite bornée.

25. On poseE₀ = [0; 1], E₁ premier tiers deE₀, E₂ deuxième tiers de E₁ ... E_n = [a_n;b_n]. Étude de (a_n)et(b_n). (On pourra s’intéresser àa_3n.)

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26. Soitu_n tel que, pour tous entiers k etn dansN^∗, on ait 0≤u_n≤ ^k_n+_k¹. Quelle est la limite de un? (On pourra songer à une inégalité entre moyennes.)

27. Soit(un)une suite telle qu’il existek >1tel queun+1≥kunet telle queu0>0, étudier sa limite.

28. Soit(un)une suite réelle telle que, pour tous entiers naturels non nulsnetp, on ait0≤un+p≤^n+p_np . Montrer queun tend vers 0.

29. Soit(un)n∈N^∗ une suite réelle telle que∀(n, p)∈(N^∗)²,|un+up−un+p| ≤ _n+p¹ . Montrer que(un) est une suite arithmétique.

30. Soit(u_n)une suite croissante. On suppose que la suitev_n, formée des moyennes arithmétiques des (n+ 1) premiers termes, tend vers`. Étudier(u_n)sans utiliser le théorème de Cesàro.

31. Soit (un)_n∈N une suite réelle à termes strictement positifs, telle que(√ⁿ

un)_n∈N converge vers un réel `. Montrer que, si` <1 , alors(un)_n∈N converge vers 0.

32. Soitun telle que √ⁿ

un tend vers`. Que peut-on dire si` <1,` >1,`= 1? 33. Trouver la limite de √ⁿ

n³+ 1.

34. Soit (u_n) et (v_n) deux suites telles que 0 ≤ u_n ≤1, 0 ≤ v_n ≤1 et u_nv_n → 1. Que dire de ces suites ? (On pourra montrer qu’elles n’ont qu’un seul point d’accumulation.)

35. Soit (un) et (vn) deux suites réelles telles que u²_n+unvn+v_n² →0. Démontrer que (un) et (vn) convergent vers 0. (On pourra majoreru²_n etv_n² parC(u²_n+unvn+v_n²).)

36. On suppose que les suites réelles(un)et(vn)vérifientlim(u²_n+unvn+ 2v²_n) = 0. Que dire de(un) et (vn)?

37. Soit (an) et (bn) deux suites à termes strictement positifs telles qu’à partir d’un certain rang an+1/an≤bn+1/bn. Démontrer que sibn tend vers 0, alorsanaussi et que si an diverge vers+∞, bn aussi.

38. Étudier la limite de la suiteu_n+1= 1 +_u¹

n. 39. Soit(u_n)une suite réelle telle que _1+u^un

n →0. Montrer que (u_n)converge vers 0.

40. Étude de(un)définie paru0>0et un+1=un+u²_n.

41. Soit(un)réelle, bornée telle que∀n∈N^∗,un≤ ¹₂(un+1+u_n−1). Montrer que(un+1−un)converge.

Quelle est sa limite ? Montrer que(un)converge.

42. Soitx0>√

α >1 etxn+1=^α+x_1+xⁿ

n =xn+^α−x_1+x²ⁿ

n. Montrer que(xn)converge vers√

α. (On pourra montrer que(x2n)et (x2n+1)sont adjacentes.)

43. Soit an = Pn k=0

1

k! et bn =an+ _n.n!¹ . Montrer que ces suites sont adjacentes. Montrer que leur limite est irrationnelle.

44. Convergence des_n=Pn k=1

1 n²+k². 45. Soitun=

n

X

k=0

1

n k

. Prouver que(un)converge et donner sa limite.

46. Soit (un) une suite convergente. On suppose que la suite sn donnée par sn = Pn

k=0uk converge vers un réelS. On posevn= _n¹Pn

k=1kuk. Étudier limvn.

47. Trouver les fonctions deRdansRtelles que∀x∈R, ∀r∈Q,|f(x)−f(r)| ≤7(x−r)². 48. Pourn∈N, on posef_n(x) =xⁿ(1−x). Déterminerlim_n→+∞sup_x∈[0,1]f_n(x).

49. Trouvera,b etc tels que √³

x³−6x²=ax+b+^c_x+o ¹_x .

50. (Théorème de Baire) SoitU_n une famille de parties denses dans R telles que, pour toutx∈ U_n,

∃ε >0,]x−ε;x+ε[⊂U_n. Montrer que l’intersection des U_n est non-vide. (On pourra construire une suite de segments emboités [a_n;b_n] telle que [a_n+1;b_n+1] ⊂]a_n;b_n[ et s’assurer que ]a_n;b_n[ appartienne à∩_k≤nU_k.)

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Exercice 2 Suites

1. Montrer queu_n= ³ⁿ⁻¹_2n+3 est croissante et majorée, puis qu’elle converge vers3/2.

2. Soitaetb deux réels strictement positifs, étudieru_n=^a_aⁿ_n^−b_+bⁿ_n.

3. Soit aet b deux réels tels que a < bet xdans[a;b]. Démontrer que, pour tout entier n, il existe un unique entier k_n vérifiant0≤k_n ≤2ⁿ eta+k_n^b−a_2n ≤x≤a+ (k_n+ 1)^b−a_2n . En déduire que x est limite d’une suite(un)d’éléments de la formeun =a+knb−a

2ⁿ avec0≤kn≤2ⁿ.

4. Soit(u_n)une suite telle que ∃k <1,|u_n+1| ≤k|u_n|à partir d’un certain rang ; étudier sa limite.

Exercice 3 Continuité

1. Trouver les points de (dis)continuité des fonctionsx7→p

x−E(x)etx7→E(x) +p

x−E(x).

2. Soit f une fonction continue sur un intervalle et à valeurs dans {−1; +1}. Montrer que f est constante. En déduire que sif etg sont deux fonctions continues sur un intervalle et ne s’annulant pas, telles que|f|=|g|, on a f =gouf =−g.

3. Montrer que la fonction1Q (fonction caractéristique deQ, i.e. valant 1 sur les rationnels et 0 sur les irrationnels) est discontinue en tout point.

4. Soit f la fonction définie par f(x) = 0 si x6∈ Qet f(x) = 1/q si x=p/q ∈Q(avecp∧q = 1).

Montrer quef est continue exactement en les irrationnels.

5. Soitf continue de[0; 1]dans lui-même telle que, pour tousx,y dans[0; 1], on ait|f(x)−f(y)| ≥

|x−y|. Montrer quef est l’une des fonctions x7→xoux7→1−x. (Considérerf(0) etf(1).) 6. Soitaun réel etf une fonction continue deRdans lui-même telle quef(1) =aet, pour tous réels

xety,f(x+y) =f(x) +f(y). Montrerf(n) =napourndansZ, puisf(1/q) =a/q pourqdans N^∗et enfinf(r) =rapourr∈Q. Conclure, en utilisant la continuité def et la densité deQdans R, quef est linéaire.

7. Soit g de R dans lui-même définie par g(x) = sin(x) 1 +x² − 1

x⁴+ 1 + 1

x⁶+ 1. Trouver M > 0 tel que, si |x| > M, on ait |g(x)| ≤ 1/100 (on ne demande pas le meilleur M possible) et montrer g(−1)<−₁₀₀¹ <₁₀₀¹ < g(1). En déduire queg est bornée surRet atteint ses bornes.

8. Les conclusions de l’exercice précédent sont-elles valides pour la fonctionx7→1/(1 +x²)? 9. Soitf deI= [a;b]dans lui-même. Montrer quef, en considérantf(x)−x, admet un point fixe (i.e.

tel quef(c) =c). Montrer que ce point fixe est unique lorsquef est décroissante. Montrer que c’est encore le cas sif estk-lipschitzienne aveck <1(i.e.|f(x)−f(y)| ≤k|x−y|). Montrer enfin quef a au plus deux points fixes lorsqu’elle est strictement convexe (i.e.f((1−t)x+ty)<(1−t)f(x)+tf(y) lorsque 0< t <1 etx6=y).

10. Soit f de R^∗₊ dans R, continue en 1 et vérifiant f(xy) = f(x) +f(y). Montrer f(1) = 0 et f(1/x) =−f(x)pourx >0. Montrer quef est continue surR^∗₊(on écrirax+h=x(1 +h/x)). En posantf(2) =a, calculerf(2ⁿ),f(2^1/q)et enfinf(2^p/q)pourn,pet qentiers (q6= 0). En déduire qu’il existe une constante C telle que f(r) = Cln(r) pour tout rationnelr. Conclure, enfin, que f =Cln en utilisant la continuité def.

11. SoitAl’ensemble des fonctions continues deRdansRvérifiant, pour tousxetyréels,f ^x+y₂

=

1

2(f(x) +f(y)). Montrer(f, g)∈A²⇒f−g∈Aet queAcontient les fonctions affines. Soitf dans Aeta < btels quef(a) =f(b) = 0; montrer quef a+k^b−a₂n

= 0si0≤k≤2ⁿ. En conclure que f est nulle sur [a;b], puis surR. Montrerf ∈A⇒f est affine.

12. Montrer qu’une fonction continue sur un intervalle vérifiantf ^x+y₂

≤ ¹₂(f(x) +f(y))est convexe.

13. Montrer qu’une fonction continue surRet périodique est bornée.

14. Montrer qu’une fonction continue sur R admettant 1 et √

2 comme périodes est nécessairement constante.

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Exercice 4 Suites récurrentes

1. Soitf continue de[a;b]dans lui-même etu0∈[a;b]. On poseun+1=f(un). Montrer que si f est croissante, alors (un) est monotone et tend vers une limite` telle quef(`) =`. Montrer que si f est décroissante, alors les suites extraites (u2n)et(u2n+1)sont monotones convergentes.

2. Appliquer les résultats de l’exercice précédent àx0= 0etxn+1=^x_xⁿ⁺¹

n+2;y0= 0etyn+1= cos(yn); z0= 1/2et zn+1= (1−zn)².

3. Soitf une fonction définie surRetk-lipschitzienne pour un certain0< k <1((i.e.|f(x)−f(y)| ≤ k|x−y|). Montrer quef est continue et que pour tout réela, la suite récurrente définie parx₀=a et x_n+1=f(x_n)converge vers une limite`vérifiantf(`) =`.

4. Soit la suite définie paru₀>0 etu_n+1= 1 +√

u_n. Montrer qu’elle est convergente, et déterminer sa limite.

5. Soit la suite définie paru06= 0etun+1=un+_u¹

n−1. Étudier sa convergence selon le signe deu0. 6. Soita >0 etf(x) = 2 +a/xdéfinie surR^∗₊. Montrer que f a une unique point fixe. Montrer que

les suites (u2n)et(u2n+1)sont monotones convergentes, puis que(un)converge.

7. On poseu1=√

2etun+1=p 2 +√

un. Montrer que(un)converge.

8. Soit α > 0 et x₁ >√

α. On pose x_n+1 = ¹₂ x_n+_x^α

n

. Montrer que (x_n)est monotone et tend vers √

α. On pose ε_n = x_n −√

α, montrer ε_n+1 = _2x^ε2n

n < ₂^ε√2n_α. En posant β = 2√

α, montrer ε_n < β

ε₁ β

2ⁿ

et en déduire, pourα= 3etx₁= 2,ε₆<4.10⁻³².

9. Remplacer la formule de récurrence précédente parxn+1=^p−1_p xn+^α_px^1−p_n , pourp∈N^∗et étudier la suite ainsi obtenue.

10. (Suites homographiques) Soit la suite définie paru_n+1 = ^au_cu^n+b

n+d avec (a, b, c, d)∈C⁴. Donner les u₀ pour lesquels la suite est bien définie (on ne cherchera pas une description explicite). Montrer qu’il est équivalent de dire que (un+1,1) est un vecteur directeur de la droite image de la droite engendrée par(un,1)par l’application linéaire représentée par la matriceA=

a b c d

. Montrer qu’en général il existe deux complexesαtels quedet(A−αI2) = 0. Dans ce cas, on les noteα1etα2

et on notez1etz2 les complexes tels que(zi,1)∈Ker(A−αiI2). Montrer(azi+b)/(czi+d) =zi. Étudier la suitevn= (un−α1)/(un−α2)et en déduire le comportement de la suite (un).

11. Étudier les cas particuliers de l’exercice précédent.

Exercice 5 Accélération de convergence

1. Soit(un)_n∈N^∗ la suite réelle donnée par le périmètre du polygone régulier à2ⁿ⁺¹côté inscrit dans le cercle unité et dont un des sommets est (1,0). Donner une expression de un et montrer qu’on peut la calculer sans connaitre la valeur deπ.

2. Montrer x−x³

6 ≤sin(x)≤xpour tout réel xet en déduire que la suite converge vers2πet qu’il existeθ dans]0; 1[etC dansR^× tels queun−2π∼Cθⁿ.

3. On posevn =u_n+1−θu_n

1−θ , pourndansN^∗. Montrer que vn converge vers2πplus vite queun et préciser un équivalent de vn−2π.

4. Soit(un)_n∈N une suite réelle convergeant vers un réel`. On suppose que la sutie de terme général un+1−`

un−` converge vers un certainθdans]0; 1[. On pose θn=un+2−un+1

un+1−un

etvn =un+1−θnun

1−θn

. Montrer quev_n converge vers`plus vite queu_n.

5. Faire l’étude de la suite récurrente définie par un+1 =u⁻¹_n + 1et de premier terme 1, grâce à ce qui précède.

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