Analyse Num´ erique

Analyse Num´ erique

Corrig´ e du TD 7

EXERCICE 1 Normes vectorielles

1.1 D´efinitions Soit un entier n >0.

a. Montrer que les applications suivantes d´efinies sur Rⁿ sont des normes sur Rⁿ,

x7→ kxk₁ =

n

X

i=1

|x_i|,

x7→ kxk₂ = n

X

i=1

|x_i|²

1 2 , x7→ kxk_∞= max

i=1,...,n

|x_i|.

i. x7→ kxk₁ =

n

X

i=1

|x_i| est une norme sur Rⁿ

•Positivit´e

Pour x=^t(x₁, ..., x_n) ∈Rⁿ, on a|x_i| ≥0∀i∈ {1, ... , n}, donckxk₁≥0.

Soit x = ^t(x1, ..., xn) ∈ Rⁿ tel que kxk₁ = 0. Alors ∀i∈ {1, ... , n},|x_i| = 0 , i.e. ∀i ∈ {1, ... , n}, xi = 0, qui montre quex= 0.

•Homog´en´eit´e

Soientx=^t(x₁, ..., x_n) ∈Rⁿ etλ∈R. On a kλ xk₁ =

n

X

i=1

|λ x_i|=|λ|

n

X

i=1

|x_i|=|λ| kxk₁.

•In´egalit´e triangulaire

Soient x = ^t(x1, ..., xn) ety = ^t(y1, ..., yn) ∈ Rⁿ. Comme |x_i+yi| ≤ |x_i|+|y_i|,∀i ∈ {1, ... , n}, on obtient en sommant sur les i

kx+yk₁ ≤ kxk₁+kyk₁.

ii.x7→ kxk₂ = n

X

i=1

|x_i|²

1

2 est une norme sur Rⁿ

•Positivit´e

Soitx=^t(x₁, ..., x_n) ∈Rⁿ. On a |x_i|² ≥0∀i∈ {1, ... , n}, donc kxk₂ ≥0.

Si x = ^t(x1, ..., xn) ∈ Rⁿ est tel que kxk₂ = 0, alors ∀i ∈ {1, ... , n},|x_i|² = 0 , i.e.

∀i∈ {1, ... , n}, xi= 0, qui prouve quex= 0.

•Homog´en´eit´e

Soientx=^t(x1, ..., xn) ∈Rⁿ etλ∈R. On a

kλ xk₂= n

X

i=1

|λ x_i|²

1 2 =

|λ|²

n

X

i=1

|x_i|²

1

2 =|λ| kxk₂.

•In´egalit´e triangulaire

On montre deux in´egalit´es auxiliaires.

– Premi`ere in´egalit´e

Pour tous a , b∈Ron aab≤ 1

2(a²+b²) car (a−b)² ≥0.

– Deuxi`eme in´egalit´e

Soient x=^t(x1, ..., xn) ety=^t(y1, ..., yn) ∈Rⁿ.

Si x 6= 0 et y 6= 0 alors on a la chaˆıne d’in´egalit´es suivante par application directe de la premi`ere in´egalit´e

n

X

i=1

|xi| kxk₂

|y_i| kyk₂

≤

n

X

i=1

1 2

|xi| kxk₂

2

+ |y_i|

kyk₂ 2

= 1 2

Pn i=1|x_i|²

kxk²₂ + P_n

i=1|y_i|² kyk²₂

= 1 2

kxk²₂

kxk²₂ + kyk²₂ kyk²₂

= 1, donc on a

n

X

i=1

|xi| |y_i| ≤ kxk₂kyk₂. (1.1) L’in´egalit´e (1.1) est encore vraie pour x = 0 ou y = 0. Elle est dite in´egalit´e de Cauchy-Schwarz ou encore de Bunyakovski-Cauchy-Schwarz ou bien encore de H¨older.

Soientx=^t(x1, ..., xn) ety=^t(y1, ..., yn) ∈Rⁿ.

Par application de l’in´egalit´e (1.1) de Cauchy-Schwarz on obtient

n

X

i=1

|x_i+yi|²=

n

X

i=1

|x_i|²+

n

X

i=1

|y_i|²+ 2

n

X

i=1

|x_iyi|

≤ kxk₂+kyk₂+ 2kxk₂kyk₂

=

kxk₂+kyk₂ 2

.

(1.2)

En prenant la racine carr´ee de l’in´egalit´e (1.2) ci-dessus on a

kx+yk₂ ≤ kxk₂+kyk₂. (1.3) L’in´egalit´e (1.3) est dite de Minkowski.

iii.x7→ kxk_∞= max

i=1,...,n

|x_i| est une norme sur Rⁿ

•Positivit´e

Pour x=^t(x₁, ..., x_n) ∈Rⁿ, on a|x_i| ≥0∀i∈ {1, ... , n}, donckxk_∞= max

i=1,...,n

|x_i| ≥0.

Soitx=^t(x1, ..., xn) ∈Rⁿtel quekxk_∞= 0. Alors max

i=1,...,n

|x_i|= 0, puis∀i∈ {1, ... , n},|x_i|= 0 , i.e.∀i∈ {1, ... , n}, x_i = 0, qui prouve quex= 0.

•Homog´en´eit´e

Soientx=^t(x₁, ..., x_n) ∈Rⁿ etλ∈R. On a la chaˆıne d’implications suivante

|λ x_i|=|λ| |x_i| ∀i∈ {1, ... , n} =⇒ max

i=1,...,n

|λ x_i|=|λ| max

i=1,...,n

|x_i| ⇐⇒ kλ xk_∞=|λ| kxk_∞.

•In´egalit´e triangulaire

Soientx=^t(x1, ..., xn) ety=^t(y1, ..., yn) ∈Rⁿ. On a les implications suivantes

|x_i+yi| ≤ |x_i| + |y_i| ∀i∈ {1, ... , n} =⇒ max

i=1,...,n

|x_i+yi| ≤ max

i=1,...,n

|x_i|+ max

i=1,...,n

|y_i|

⇐⇒ kx+yk_∞≤ kxk_∞+kyk_∞.

Remarque Dans ce qui pr´ec`ede, on n’a jamais prouv´e l’´egalit´e k0k = 0, parce que non seulement c’est une ´evidence mais aussi elle est contenue dans la propri´et´e d’homog´en´eit´e, dans laquelle il suffit de faireλ= 0 pour obtenir le r´esultat.

b. Montrer que, pour1≤p <+∞, l’application suivante d´efinie sur Rⁿ est une norme sur Rⁿ,

x7→ kxk_p = n

X

i=1

|x_i|^p

1 p.

x7→ kxk_p = n

X

i=1

|x_i|^p

1

p est une norme sur Rⁿ

Le cas p = 1 ´etant ´evident et trait´e dans la question pr´ec´edente, on s’int´eresse aux cas 1< p <+∞.

•Positivit´e

Soitx=^t(x₁, ..., x_n) ∈Rⁿ. On a |x_i|^p ≥0 ∀i∈ {1, ... , n}, donckxk_p≥0.

Si x = ^t(x₁, ..., x_n) ∈ Rⁿ est tel que kxk_p = 0, alors ∀i ∈ {1, ... , n},|x_i|^p = 0 , i.e.

∀i∈ {1, ... , n}, x_i= 0, qui prouve quex= 0.

•Homog´en´eit´e

Soientx=^t(x₁, ..., x_n) ∈Rⁿ etλ∈R. On a

kλ xk_p = n

X

i=1

|λ x_i|^p

1 p =

|λ|^p

n

X

i=1

|x_i|^p

1

p =|λ| kxk_p.

•In´egalit´e triangulaire

On montre deux in´egalit´es qui serviront dans la suite de cette question.

– Premi`ere in´egalit´e

Pour tous p >1 et p⁰ >0 tels que 1/p+ 1/p⁰ = 1 et pour tousa , b >0 on a ab≤ 1

pa^p+ 1

p⁰b^p0. (1.4)

En effet, en posant α = ln(a^p) et β = ln(b^p0) et en utilisant le fait que la fonction exponentielle x7→e^x est convexe, on obtient

e^α/p+β/p0 ≤ 1

pe^α+ 1

p⁰e^β. (1.5)

En reportant les valeurs de α et β en fonction de a et b dans l’in´egalit´e (1.5) , on obtient la relation (1.4).

– Deuxi`eme in´egalit´e

Soient x=^t(x₁, ..., x_n) ety=^t(y₁, ..., y_n) ∈Rⁿ.

Si x 6= 0 et y 6= 0 alors on a la chaˆıne d’in´egalit´es suivante par application de la relation (1.4) :

n

X

i=1

|xi| kxk_p

|y_i| kyk_p0

≤

n

X

i=1

1 p

|xi| kxk_p

p

+ 1 p⁰

|y_i| kyk_p0

p

= 1

p Pn

i=1|xi|^p kxk^p_p + 1

p⁰ Pn

i=1|yi|^p0 kyk^p_p⁰0

= 1

p⁰ kxk^p_p kxk^p_p + 1

p⁰ kyk^p_p⁰0

kyk^p_p⁰0

= 1

p + 1 p⁰

= 1, donc on a

n

X

i=1

|xi| |y_i| ≤ kxk_pkyk_p0. (1.6) L’in´egalit´e (1.6) est encore vraie pourx= 0 ou y= 0. Elle est dite de H¨older.

Soientx=^t(x₁, ..., x_n) ety=^t(y₁, ..., y_n) ∈Rⁿ. On a

n

X

i=1

|x_i+yi|^p =

n

X

i=1

|x_i+yi||x_i+yi|^p−1 ≤

n

X

i=1

|x_i| |x_i+yi|^p−1+

n

X

i=1

|y_i| |x_i+yi|^p−1 (1.7) En appliquant l’in´egalit´e de H¨older (1.6) `a chacun des termes du second membre de l’in´egalit´e ci-dessus on a :

n

X

i=1

|x_i| |x_i+y_i|^p−1≤ kxk_p n

X

i=1

|x_i+y_i|^p0(p−1)

1 p⁰

n

X

i=1

|y_i| |x_i+y_i|^p−1 ≤ kyk_p n

X

i=1

|x_i+y_i|^p0(p−1)

1 p⁰

.

(1.8)

Six+y6= 0, l’in´egalit´e (1.7) devient P_n

i=1|x_i+y_i|^p

P_n

i=1|x_i+y_i|^p0(p−1)

1 p⁰

≤ kxk_p+kyk_p,

De 1/p⁰ = 1−1/p⇐⇒p =p⁰(p−1) et 1/p= 1−1/p⁰, on d´eduit de l’in´egalit´e ci-dessus la relation

n

X

i=1

|x_i+y_i|^p

1

p ≤ kxk_p +kyk_p,

ou encore

kx+yk_p≤ kxk_p +kyk_p. (1.9) Six+y6= 0, l’in´egalit´e (1.9) est encore vraie. Elle est dite deMinkowski.

1.2 Equivalence de normes´

Montrer les relations suivantes sur Rⁿ,

kxk_∞≤ kxk₁≤nkxk_∞, kxk_∞≤ kxk₂≤√

nkxk_∞, kxk₂≤ kxk₁ ≤√

nkxk₂.

Equivalence de normes´ k k₁ etk k_∞

Soientx=^t(x1, ..., xn) ∈Rⁿ, etio tel que|x_i0|= max

i=1,...,n

|x_i|.

On a

|x_i0| ≤ |x_i0|+

n

X

i6=ii=10

|x_i| ⇐⇒ kxk_∞≤ kxk₁.

On a

∀i∈ {1, ... , n},|x_i| ≤ |x_i0|=⇒

n

X

i=1

|x_i| ≤n|x_i0| ⇐⇒ kxk₁ ≤nkxk_∞. D’o`u

kxk_∞≤ kxk₁ ≤nkxk_∞. Equivalence de normes´ k k₂ etk k_∞

Soientx=^t(x1, ..., xn) ∈Rⁿ, etio tel que|x_i0|= max

i=1,...,n

|x_i|.

On a

|x_i0|² ≤ |x_i0|²+

n

X

i6=ii=1₀

|x_i|² ⇐⇒

q

|x_i0|² ≤ v u u u t

|x_i0|²+

n

X

i6=ii=1₀

|x_i|² ⇐⇒ kxk_∞≤ kxk₂.

On a

∀i∈ {1, ... , n},|x_i|² ≤ |x_i0|²=⇒

n

X

i=1

|x_i|² ≤n|x_i0|² =⇒ v u u t

n

X

i=1

|x_i|² ≤ q

n|x_i0|²

⇐⇒ kxk₁≤√

nkxk_∞. D’o`u

kxk_∞≤ kxk₂ ≤√

nkxk_∞.

Equivalence de normes´ k k₁ etk k₂ Soitx=^t(x₁, ..., x_n) ∈Rⁿ.

On a n

X

i=1

|x_i|² ≤

n

X

i=1

|x_i|²+ 2

n

X

1≤i<j≤n

|x_i| |x_j| ⇐⇒

n

X

i=1

|x_i|² ≤

n

X

i=1

|x_i| ×

n

X

i=1

|x_i|

⇐⇒

n

X

i=1

|x_i|² ≤

n

X

i=1

|x_i| ²

⇐⇒

n

X

i=1

|x_i|²

1 2 ≤

n

X

i=1

|x_i|

⇐⇒ kxk₂ ≤ kxk₁. En appliquant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz on obtient

n

X

i=1

|x_i|=

n

X

i=1

1× |x_i| ≤ n

X

i=1

1²

1 2 n

X

i=1

|x_i|²

1 2 ⇐⇒

n

X

i=1

|x_i| ≤√ n

n

X

i=1

|x_i|²

1 2

⇐⇒ kxk₁≤√ nkxk₂. D’o`u

kxk₂≤ kxk₁ ≤√

nkxk₂. 1.3 Relation entre la norme p et la norme +∞

Pour x∈Rⁿ, montrer que

p→+∞lim kxk_p =kxk_∞.

Soit 1≤p <+∞. Soient x=^t(x1, ..., xn) ∈Rⁿ, et io tel que |x_i0|= max

i=1,...,n

|x_i|.

On a

|x_i0|^p ≤ |x_i0|^p+

n

X

i6=ii=10

|x_i|^p ⇐⇒

q

|x_i0|^p ≤ v u u u t

|x_i0|^p+

n

X

i6=ii=10

|x_i|^p ⇐⇒ kxk_∞≤ kxk_p.

On a

∀i∈ {1, ... , n},|x_i|^p ≤ |x_i0|^p =⇒

n

X

i=1

|x_i|^p ≤n|x_i0|^p=⇒ n

X

i=1

|x_i|^p

1 p ≤

n|x_i0|^p

1 p

⇐⇒ kxk₁≤n^1/pkxk_∞.

D’o`u

kxk_∞≤ kxk_p ≤n^1/pkxk_∞. (1.10)

On fait p→+∞ dans (1.10), et on utilise le fait que lim

p→+∞n^1/p= 0, pour obtenir

p→+∞lim kxk_p =kxk_∞. EXERCICE 2 Normes matricielles

Soit A une matrice carr´ee d’ordre n >0, A= (aij)i,j=1,...,n.

Pour 1≤p≤+∞, on note par k k_p la norme matricielle calcul´ee `a partir de la norme vectorielle k k_p i.e.

kAk_p = sup

kxk_p=1

kAxk_p= sup

kxk_p≤1

kAxk_p = sup

x6=0

kAxk_p kxk_p . a. Montrer que

kAk₁ = max

j=1,...,n n

X

i=1

|a_ij|,

kAk_∞= max

i=1,...,n n

X

j=1

|a_ij|.

Cas de la norme matriciellek k₁ Soitx=^t(x₁, ..., x_n) ∈Rⁿ. On a

kAxk₁ =

n

X

i=1

|(Ax)_i|=

n

X

i=1

|

n

X

j=1

aijxj| ≤

n

X

i=1 n

X

j=1

|a_ij||x_j|=

n

X

j=1 n

X

i=1

|a_ij||x_j|=

n

X

j=1

|x_j|

n

X

i=1

|a_ij|

≤ n

X

j=1

|x_j|

max

j=1,...,n n

X

i=1

|a_ij|=kxk₁ max

j=1,...,n n

X

i=1

|a_ij|.

Donc on obtient

kAk₁= sup

kxk₁=1

kAxk₁≤ sup

kxk₁=1

kxk₁ max

j=1,...,n n

X

i=1

|a_ij|, (2.1) ou encore

kAk₁ ≤ max

j=1,...,n n

X

i=1

|a_ij|.

Soitjo tel que

n

X

i=1

|a_ij0|= max

j=1,...,n n

X

i=1

|a_ij|. On d´efinit le vecteurx⁰ =^t(x⁰₁, ..., x⁰_j, .., x⁰_n) ∈ Rⁿtel que

x⁰_j =

1 si j=j0, 0 si j6=j₀. Alors on obtient

kAx⁰k₁=

n

X

i=1

|(Ax⁰)_i|=

n

X

i=1

|

n

X

j=1

a_ijx⁰_j|=

n

X

i=1

|a_ij0x⁰_j0|=

n

X

i=1

|a_ij0|=kAk₁. (2.2) En regroupant les ´equations (2.1) et (2.2), on obtient

kAk₁ = max

j=1,...,n n

X

i=1

|a_ij|. D’o`u le r´esultat.

Cas de la norme matriciellek k_∞ Soitx=^t(x1, ..., xn) ∈Rⁿ. On a

kAxk_∞= max

i=1,...,n

|(Ax)_i|= max

i=1,...,n

|

n

X

j=1

aijxj| ≤ max

i=1,...,n n

X

j=1

|a_ij||x_j|

≤ max

i=1,...,n n

X

j=1

|a_ij| max

j=1,...,n

|x_j|

=

max

i=1,...,n n

X

j=1

|a_ij|

max

j=1,...,n

|x_j|

=

max

i=1,...,n n

X

j=1

|a_ij|

kxk_∞. Donc on a

kAk_∞= sup

kxk_∞=1

kAxk_∞≤ sup

kxk_∞=1

kxk_∞ max

i=1,...,n n

X

j=1

|a_ij|, ou encore

kAk_∞≤ max

i=1,...,n n

X

j=1

|a_ij|. (2.3)

Soiti_o tel que max

i=1,...,n n

X

j=1

|a_ij|=

n

X

j=1

|a_i0j|. On d´efinit le vecteurx⁰ =^t(x⁰₁, ..., x⁰_j, .., x⁰_n) ∈ Rⁿtel que

x⁰_j =





 ai0j

|a_i0j| si ai0j 6= 0, 0 si a_i0j = 0.

Si ∀j ∈ {1, ... , n}, a_ij = 0 i.e. si la matrice A est nulle alors kAk_∞ = 0. Sinon on a kx⁰k_∞= 1 et

kAx⁰k_∞= max

i=1,...,n

|

n

X

j=1 j , ai0j6=0

a_i0jx⁰_j|= max

i=1,...,n

|

n

X

j=1 j , ai0j6=0

|a_i0j| |= max

i=1,...,n n

X

j=1 j , ai0j6=0

|a_i0j|

= max

i=1,...,n n

X

j=1

|a_i0j|.

(2.4)

Commekx⁰k_∞= 1, x⁰ est l’un des vecteurs de la boule unit´e pour la normek k_∞ et, de l’´equation (2.4), on d´eduit que

kAk_∞≥ kAx⁰k_∞= max

i=1,...,n n

X

j=1

|a_i0j|. (2.5)

Finalement des ´equations (2.3) et (2.5), on a kAk_∞= max

i=1,...,n n

X

j=1

|a_ij|.

b. Soit B une matrice r´eelle et sym´etrique. Montrer que pour x6= 0 λ_min(B)≤ (Bx, x)

kxk²₂ ≤λ_max(B),

o`u λ_min(B) et λ_max(B) sont respectivement les plus petite et grande valeurs propres de B.

CommeB est une matrice r´eelle et sym´etrique, il existe une matrice diagonale D et une matrice orthogonale U telles que B = ^tU DU. De plus les valeurs propres de B sont r´eelles. Par suite pour x6= 0, on a

(Bx, x) = (^tU DU x, x) = (DU x, U x) = (Dy, y) o`u y=U x . Or, d’une part

λ_min(D)kyk²₂ ≤(Dy, y)≤λ_max(D)kyk²₂, ou encore

λmin(B)kyk²₂ ≤(Dy, y)≤λmax(B)kyk²₂. D’autre part

kyk²₂ =kU xk²₂= (U x, U x) = (x,^tU U x) = (x, x) =kxk²₂

Il vient

λ_min(B)kxk²₂≤(Bx, x)≤λ_max(B)kxk²₂, et finalement pourx6= 0

λmin(B)≤ (Bx, x)

kxk²₂ ≤λmax(B).

En d´eduire que kAk₂ = s

ρ

tAA

, o`u A est une matrice r´eelle, ρ est le rayon spectral.

La matrice^tAAest r´eelle et sym´etrique car^t(^tAA) =^tA^t(^tA) =^tAA.

On peut donc faire B=^tAAdans la question pr´ec´edente et on trouve λ_min(^tAA)≤ (^tAAx, x)

kxk²₂ ≤λ_max(^tAA), (2.6) pourx6= 0.

Comme (^tAAx, x) = (Ax, Ax) =kAxk²₂, on d´eduit de (2.6) d’une part que λ_min(^tAA) et λ_max(^tAA) sont positives, donc toutes les valeurs propres de la matrice ^tAA sont positives. D’o`u

kAxk₂ kxk₂

2

≤λmax(^tAA) = max|λ(^tAA)|=ρ

tAA

. En prenant la racine carr´ee on trouve

kAxk₂ kxk₂ ≤

s ρ

tAA

.

Maintenant on prend la borne sup´erieure surRⁿ\{0} de l’in´egalit´e ci-dessus, sup

x∈Rⁿ, x6=0

kAxk₂ kxk₂ ≤

s ρ

tAA

. Par suite

kAk₂ ≤ s

ρ

tAA

. (2.7)

Consid´erons `a pr´esent un vecteur proprex<sup>0</sup> de la matrice <sup>t</sup>AAassoci´e `a la valeur propre la plus grande en moduleλmax(^tAA) =|λ_max(^tAA)|=ρ

tAA

. On a

kAx⁰k²₂ = (Ax⁰, Ax⁰) = (^tAAx⁰, x⁰) = (λmax(^tAA)x⁰, x⁰) =λmax(^tAA) (x⁰, x⁰)

=λ_max(^tAA)kx⁰k²₂,

ce qui implique

kAx⁰k₂ =p

λ_max(^tAA)kx⁰k₂. Ce qui entraˆıne `a son tour

kAx⁰k₂ =p

λ_max(^tAA)kx⁰k₂. Il vient

sup

x∈Rⁿ, x6=0

kAxk₂

kxk₂ ≥ kAx⁰k₂ kx⁰k₂ =p

λmax(^tAA), puis

kAk₂≥p

λ_max(^tAA) = s

ρ

tAA

. (2.8)

Des relations (2.7) et (2.8), on tire

kAk₂ = s

ρ

tAA

. D’o`u le r´esultat.

EXERCICE 3 Une application

Soit (θn)n≥0 une suite d´efinie par

θn+1 ≤θn−1+ 2βθn+αn, pour tout n≥1, avec θ_n, α_n, β ∈R+.

a. Montrer qu’il existe une matrice A et un vecteur B_n tels que θ_n

θ_n+1

≤ A

θn−1

θ_n

+ B_n pour tout n≥1.

Pour (θ_n)n≥1 on peut ´ecrire

θ_n ≤ θ_n ,

θn+1 ≤ θn−1 + 2βθn + αn, pour tout n≥1, ou encore

θn

θ_n+1

≤

0 1 1 2β

θn−1

θ_n

+ 0

α_n

(3.1) On trouve donc

A=

0 1 1 2β

et B_n= 0

α_n

. (3.2)

RemarqueDans la relation (3.1) le symbole “≤”est compris comme in´egalit´e entre com- posantes de chaque vecteur correspondant de part et d’autre de ce symbole.

b. En d´eduire que

θ_n≤e^(n−1)β q

θ²₀+θ₁²+

n−1

X

i=1

α_i e^{(n−1−i)β}, pour tout n≥2.

Le polynˆome carat´eristique deA est :

P(λ) =λ²−2β λ−1 = (λ−β)²− β²+ 1

=

λ−β−p

β²+ 1 λ−β+p β²+ 1

Les valeurs propres sont donc β+p

β²+ 1 et β−p

β²+ 1 , d’o`u le rayon spectral de la matriceA estρ(A) =β+p

β²+ 1 .

Comme la matriceA est r´eelle et sym´etrique, ses valeurs propres sont r´eelles et sa norme euclidienne n’est que la plus grande valeur absolue de ses valeurs propresi.e.

kAk₂ =ρ(A) =β+p

β²+ 1.

On prend maintenant la normek k₂ de l’in´egalit´e (3.1), pour obtenir

θ_n θ_n+1

2

≤

0 1 1 2β

2

θn−1

θ_n

2

+

0 α_n

2

. (3.3)

Ce que l’on peut encore ´ecrire q

θ²_n+1+θ_n² ≤ ρ(A) q

θ²_n+θ²_n−1 + αn. (3.4) On pose Θ_n=

q

θ²_n+θ_n−1² pour n≥1. Alors on obtient la r´ecurrence suivante

Θ_n+1 ≤ ρ(A) Θ_n + α_n. (3.5)

Par r´ecurrence sur n, avec une d´emonstration analogue `a celle du lemme de Gronwall discret, on obtient

Θ_n ≤

ρ(A) n−1

Θ₁ +

n−1

X

i=1

ρ(A)

(n−i−1)

α_i. (3.6)

On a les majorations suivantes :

θ_n≤q

θ_n²+θ_n−1² = Θ_n, (3.7)

et

ρ(A) =β+p

β²+ 1≤β+ r

β²+ 1 +β⁴

4 =β+ s

1 +β²

2 2

= 1 +β+β²

2 ≤e^β. (3.8) En utilisant les majorations (3.7) et (3.8) dans la r´ecurrence (3.6) et avec Θ1 =

q

θ²₁+θ₀² , on trouve finalement

θ_n≤e^(n−1)β q

θ²₀+θ₁²+

n−1

X

i=1

α_i e^{(n−1−i)β}, pour tout n≥2.

EXERCICE 4

Conditionnement d’une matrice

Soit A une matrice carr´ee d’ordre n > 0. Pour 1 ≤ p ≤ +∞, on note par condp(A) le nombre de conditionnement de A calcul´e avec la norme matricielle k k_p.

4.1 Quelques propri´et´es du conditionnement Montrer les propri´et´es suivantes :

a. condp(A)≥1; On a

I =A A⁻¹ =⇒1 =kIk_p =kA A⁻¹k_p ≤ kAk_pkA⁻¹k_p = condp(A)⇐⇒condp(A)≥1.

b.condp(αA) = condp(A), ∀α6= 0; Commeα6= 0, on trouve

cond_p(αA) =kαAk_pkα⁻¹A⁻¹k_p =|α| |α⁻¹| kAk_pkA⁻¹k_p =kAk_pkA⁻¹k_p = cond_p(A).

c.cond₂(A) =

smax_i|λ_i(A^?A)|

min_i|λ_i(A^?A)|, o`u les nombres λ_i(A^?A) sont les valeurs propres de A^?A et A^? est l’adjoint de A;

On a

cond₂(A) =kAk₂kA⁻¹k₂.

La matrice A^?A est hermitienne, donc diagonalisable et ses valeurs propres sont r´eelles.

On obtient une g´en´eralisation des r´esultats de la question b.de l’exercice 2 dans laquelle on prendA^? en lieu et place de^tA. On trouve

qmax

i |λ_i(A^?A)|= s

ρ

A^?A

=kAk₂ =kA^?k₂. On a aussi

kA⁻¹k₂ =k(A⁻¹)^?k₂ =q

maxi |λ_i((A⁻¹)^?A⁻¹)|=q

maxi |λ_i((A^?)⁻¹A⁻¹)|

=q

maxi |λ_i((AA^?)⁻¹)|=q

maxi |λ_i((A^?A)⁻¹)|

= s

maxi

1

|λ_i(A^?A)| = s

1

min_i|λ_i(A^?A)|. Par suite

cond2(A) = s

maxi|λ_i(A^?A)|

mini|λ_i(A^?A)| .

d. si A est sym´etrique et r´eelle alors cond2(A) = max_i|λ_i(A)|

min_i|λ_i(A)|, o`u les nombres λi(A) sont les valeurs propres de A;

Lorsque A est sym´etrique et r´eelle, ses valeurs propres sont r´eelles et, A^? = ^tA = A λ_i(A^?A) =λ_i(^tAA) =λ_i(AA) =

λ_i(A)

2

, doncp

λ_i(A^?A) =|λ_i(A)|.

On applique la question pr´ec´edente et on trouve

cond₂(A) = max_i|λ_i(A)|

mini|λ_i(A)| .

e. siU est une matrice orthogonale alorscond₂(U) = 1etcond₂(AU) = cond₂(U A) = cond2(A).

On a kUk₂=

s ρ

U^?U

=p

ρ(I) = 1,

kU⁻¹k₂= s

ρ

(U⁻¹)^?U⁻¹

= s

ρ

(U^?)⁻¹U⁻¹

= s

ρ

(U U^?)⁻¹

=p

ρ(I) = 1, puis

cond₂(U) =kUk₂kU⁻¹k₂ = 1.

Pour le deuxi`eme conditionnement on ´ecrit : kAUk₂=

s ρ

(AU)^?AU

= s

ρ

U^?A^?AU

= s

ρ

A^?A

=kAk₂, k(AU)⁻¹k₂ =

q

((AU)⁻¹)^?(AU)⁻¹= s

ρ

(U⁻¹A⁻¹)^?U⁻¹A⁻¹

= s

ρ

(A⁻¹)^?(U⁻¹)^?U⁻¹A⁻¹

= s

ρ

(A⁻¹)^?(U^?)⁻¹U⁻¹A⁻¹

= s

ρ

(A⁻¹)^?(U U^?)⁻¹A⁻¹

= s

ρ

(A⁻¹)^?A⁻¹

=kA⁻¹k₂. D’o`u

cond₂(AU) =kAUk₂k(AU)⁻¹k₂=kAk₂kA⁻¹k₂= cond₂(A). Pour calculer le troisi`eme conditionnement on proc`ede comme ci-dessus :

kU Ak₂= s

ρ

(U A)^?U A

= s

ρ

A^?U^?U A

= s

ρ

A^?A

=kAk₂, k(U A)⁻¹k₂=

r

(U A)⁻¹ ?

(U A)⁻¹ = s

ρ

(A⁻¹U⁻¹)^?A⁻¹U⁻¹

= s

ρ

(U⁻¹)^?(A⁻¹)^?A⁻¹U⁻¹

= s

ρ

(U⁻¹)^?(A^?)⁻¹A⁻¹U⁻¹

= s

ρ

(U⁻¹)^?(AA^?)⁻¹U⁻¹

= s

ρ

(AA^?)⁻¹

= s

ρ

(A^?)⁻¹A⁻¹

= s

ρ

(A⁻¹)^?A⁻¹

=kA⁻¹k₂. D’o`u

cond2(U A) =kU Ak₂k(U A)⁻¹k₂=kAk₂kA⁻¹k₂= cond2(A). 4.2 Analyse perturbative

Soient x et x+δx les solutions des syst`emes lin´eaires

Ax = b ,

(A+δA)(x+δx) = b . a. Montrer que kδxk_p

kx+δxk_p ≤cond_p(A)kδAk_p kAk_p .

Des syst`emes lin´eaires propos´es on peut ´ecrire

Ax=b= (A+δA)(x+δx)⇐⇒Aδx=−δA(x+δx)

⇐⇒δx=−A⁻¹ δA(x+δx). On en d´eduit

kδxk_p=kA⁻¹δA(x+δx)k_p, puis

kδxk_p ≤ kA⁻¹ δAk_p kx+δxk_p ≤ kA⁻¹k_p kδAk_pkx+δxk_p

=kAk_p kA⁻¹k_p kδAk_p

kAk_p kx+δxk_p, (4.1) ou encore

kδxk_p

kx+δxk_p ≤condp(A) kδAk_p kAk_p .

b. En d´eduire que si kA⁻¹δAk_p<1 alors kδxk_p

kxk_p ≤condp(A)kδAk_p kAk_p

1

1− kA⁻¹δAk_p. On part de la premi`ere in´egalit´e de la majoration (4.1),

kδxk_p ≤ kA⁻¹δAk_pkx+δxk_p. On en d´eduit

kδxk_p ≤ kA⁻¹δAk_p

kxk_p+kδxk_p

. De l’in´egalit´e ci-dessus on peut ´ecrire

1− kA⁻¹ δAk_p

kδxk_p≤ kA⁻¹ δAk_p kxk_p, qui implique

1− kA⁻¹δAk_p

kδxk_p≤ kA⁻¹k_p kδAk_p kxk_p≤condp(A) kδAk_p kAk_p kxk_p.

Comme kA⁻¹δAk_p < 1, on peut diviser l’in´egalit´e ci-dessus par le nombre non nul 1− kA⁻¹δAk_p. On trouve

kδxk_p

kxk_p ≤condp(A)kδAk_p kAk_p

1

1− kA⁻¹δAk_p .

4.3 Applications

Calculer le conditionnement par rapport `a la norme k k₂ de la matrice suivante

Tα=



































α −1

−1 α −1

−1 α −1

0

−1 α −1

. .. ... ...

−1 α −1

0

−1 α −1

−1 α

































 .

o`u α est un param`etre r´eel.

Comme la matrice T_α est sym´etrique et r´eelle, ses valeurs propres sont r´eelles, et son nombre de conditionnement est donn´e par

cond₂(T_α) = max_i|λ_i(T_α)|

min_i|λ_i(Tα)|. On commence alors par chercher les valeurs propres deT_α.

Soient q = ^t(q0, q1, ... , qn, qn+1) ∈ Rⁿ⁺² tel que q0 = qn+1 = 0 et n l’ordre de Tα. Si^t(q1, ... , qn) est vecteur propre de Tα associ´e `a la valeur propreλalors on a

Tαq=λ q , ou encore

ql−1+ (λ−α)q_l+q_l+1 = 0, l= 1, ..., n ,

avec q₀ =q_n+1 = 0. (4.2)

Le polynˆome caract´eristique associ´e `a la r´ecurrence lin´eaire (4.2) est p(r) =r²+ (λ−α)r+ 1,

dont les racines sont

r−=

−(λ−α)− q

(λ−α)²−4

2 ,

r+=

−(λ−α) + q

(λ−α)²−4

2 .

(4.3)

Ici, le symbole “√

” est la racine carr´ee au sens g´en´eral c’est-`a-dire qu’il peut conduire `a des nombres complexes.

La solution de la r´ecurrence lin´eaire (4.2) est alors q_l=c−r₋^l +c₊r^l₊. Les conditionsq0=qn+1= 0 donnent respectivement

0 = c−+c+

0 = c−rⁿ⁺¹₋ +c+r₊ⁿ⁺¹ ⇐⇒ c+ = −c₋, rⁿ⁺¹₊ = rⁿ⁺¹₋ . La r´esolution de l’´equation complexe rⁿ⁺¹₊ =r₋ⁿ⁺¹ou encorezⁿ⁺¹ =

r+

r−

n+1

= 1, donne n+ 1 solutions

r^(k)₊ =r^(k)₋ exp

ι2k π n+ 1

, k= 0, ... , n , o`u ι² =−1.

(4.4) Cependant le cask = 0 doit ˆetre omis car il correspond `a r₊ = r− et donc q_l = 0, l = 1, ..., n, donc au vecteurq= 0, suppos´e ˆetre un vecteur propre.

En multipliant l’´equation (4.4) par exp

−ι k π n+ 1

et substituant les valeurs der±fournies par l’´equation (4.3), on obtient

λ−α+ q

(λ−α)²−4

exp

−ι k π n+ 1

=

λ−α− q

(λ−α)²−4

exp ι k π

n+ 1

.

(4.5)

Ce qui donne q

(λ−α)²−4 cos k π

n+ 1

= (λ−α)ιsin k π

n+ 1

. D’o`u en prenant le carr´e, on trouve

(λ−α)²

cos² k π

n+ 1

+ sin² k π

n+ 1

−4 cos² k π

n+ 1

= 0, ou bien encore

(λ−α)²−

2 cos k π

n+ 1 2

= 0. (4.6)

La r´esolution de l’´equation (4.6) d’inconnueλdonne λ=α±2 cos

k π n+ 1

. (4.7)

On en retient que le signe -, car le signe + engendre le mˆeme ensemble des valeurs λ, puisque

λ⁻_k

0 =α−2 cos k0π

n+ 1

=α+2 cos

π+ k0π n+ 1

=α+2 cos

(k0+n+ 1)π n+ 1

=λ⁺_k

0+n+1.

Par suite les valeurs propres de T_α sont λ_k=α−2 cos

k π n+ 1

, k= 1, ... , n . (4.8) On fait λ_k de (4.8) dans l’´equation (4.3), on trouve

r− = cos k π

n+ 1

−ιsin k π

n+ 1

, r₊ = cos

k π n+ 1

+ιsin k π

n+ 1

. Par cons´equent

q^(k)_l =c₊(r₊^l −r₋^l ) = 2c₊ιsin k l π

n+ 1

.

On cherche le coefficientc₊ pour quekq^(k)k₂ = 1. Pour cela on calculekq^(k)k₂ : kq_lk²₂ =

n

X

k=1

|q_l^(k)|² = (2|c₊|)²

n

X

k=1

sin

k l π n+ 1

2

= (2|c₊|)²

n

X

k=1

exp

ι k l π n+ 1

−exp

−ι k l π n+ 1

2ι

2

= (2|c₊|)² (2ι)²

n

X

k=1

exp

2ι k l π n+ 1

+ exp

−2ι k l π n+ 1

−2

= (2|c₊|)² (2ι)²

n

X

k=1

exp

2ι k l π n+ 1

+

n

X

k=1

exp

−2ι k l π n+ 1

−

n

X

k=1

2

= (2|c₊|)² (2ι)²

−1 +

n

X

k=0

exp

2ι k l π n+ 1

+

−1 +

n

X

k=0

exp

−2ι k l π n+ 1

−

n

X

k=1

2

= (2|c₊|)² (2ι)²

−2 +

1−exp

2ι k l π(n+ 1) n+ 1

1−exp

2ι k l π n+ 1

+

1−exp

−2ι k l π(n+ 1) n+ 1

exp

−2ι k l π n+ 1

−2n

= (2|c₊|)² (2ι)²

−2 + 0 + 0−2n

= (2|c₊|)² (2ι)²

−2(n+ 1)

.

De la conditionkq^(k)k₂= 1, on peut prendre c+=−ι

s 1

2(n+ 1) =−ι 2

r 2 n+ 1.

Conclusion Les valeurs propres de la matriceT_α sont λ_k=α−2 cos

k π n+ 1

, k= 1, ... , n . (4.9) avec les vecteurs propres correspondants q^(k)=^t(q₁^(k), ... , q_l^(k), ... , q^(k)n ) o`u

q_l^(k) = r 2

n+ 1 sin k l π

n+ 1

, l= 1, ... , n . (4.10)

Les valeurs maximale et minimale de valeurs absolues des valeurs propres de T_α sont maxi

λi(Tα)

=

α−2 cos n π

n+ 1

,

mini

λi(Tα)

=

α−2 cos π

n+ 1

. D’o`u

cond2(Tα) = max_i|λ_i(Tα)|

min_i|λ_i(Tα)| =

α−2 cos n π

n+ 1

α−2 cos π

n+ 1

.