Analyse Num´ erique

Universit´e de Nice Sophia-Antipolis

Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

Analyse Num´ erique

TD 7

EXERCICE 1 Normes vectorielles

1.1 D´efinitions Soit un entiern >0.

a. Montrer que les applications suivantes d´efinies surRⁿ sont des normes surRⁿ, x7→ kxk₁ =

n

X

i=1

|x_i|,

x7→ kxk₂ = n

X

i=1

|x_i|²

1 2 , x7→ kxk_∞= max

i=1,...,n

|x_i|.

b. Montrer que, pour 1 ≤ p < +∞, l’application suivante d´efinie sur Rⁿ est une norme surRⁿ,

x7→ kxk_p = n

X

i=1

|x_i|^p

1 p.

1.2 Equivalence de normes´

Montrer les relations suivantes sur Rⁿ,

kxk_∞≤ kxk₁≤nkxk_∞, kxk_∞≤ kxk₂≤√

nkxk_∞, kxk₂≤ kxk₁ ≤√

nkxk₂. 1.3 Relation entre la norme p et la norme +∞

Pour x∈Rⁿ, montrer que

p→+∞lim kxk_p =kxk_∞.

EXERCICE 2 Normes matricielles

Soit Aune matrice carr´ee d’ordren >0,A= (aij)i,j=1,...,n. 1

Universit´e de Nice Sophia-Antipolis

Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

Pour 1 ≤p ≤ +∞, on note par k k_p la norme matricielle calcul´ee `a partir de la norme vectoriellek k_p i.e.

kAk_p = sup

kxk_p=1

kAxk_p= sup

kxk_p≤1

kAxk_p = sup

x6=0

kAxk_p kxk_p . a. Montrer que

kAk₁ = max

j=1,...,n n

X

i=1

|a_ij|,

kAk_∞= max

i=1,...,n n

X

j=1

|a_ij|. b.SoitB une matrice r´eelle et sym´etrique. Montrer que pour

λmin(B)≤ (Bx, x)

kxk²₂ ≤λmax(B),

o`uλmin(B) etλmax(B) sont respectivement les plus petite et grande valeurs propres deB.

En d´eduire que kAk₂= s

ρ

tAA

, o`u ρ est le rayon spectral.

EXERCICE 3 Une application

Soit (θ_n)n≥0 une suite d´efinie par

θ_n+1 ≤θn−1+ 2βθ_n+α_n, pour tout n≥1, avec θ_n, α_n, β ∈R+.

a. Montrer qu’il existe une matriceA et un vecteurBn tels que θ_n

θ_n+1

≤ A

θn−1

θ_n

+ B_n pour tout n≥1. b.En d´eduire que

θ_n≤e^(n−1)β q

θ²₀+θ₁²+

n−1

X

i=1

α_i e^{(n−1−i)β}, pour tout n≥2.

EXERCICE 4

Conditionnement d’une matrice

Soit A une matrice carr´ee d’ordre n >0. Pour 1≤p≤+∞, on note par cond_p(A) le nombre de conditionnement deA calcul´e avec la norme matricielle k k_p.

2

Universit´e de Nice Sophia-Antipolis

Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

4.1 Quelques propri´et´es du conditionnement Montrer les propri´et´es suivantes :

a. cond_p(A)≥1 ;

b.condp(αA) = condp(A), ∀α6= 0 ; c.cond2(A) =

s

max_i|λ_i(A^?A)|

min_i|λ_i(A^?A)|, o`u les nombresλi(A^?A) sont les valeurs propres deA^?A etA^? est l’adjoint de A;

d.siAest sym´etrique et r´eelle alors cond2(A) = max_i|λ_i(A)|

min_i|λ_i(A)|, o`u les nombresλi(A) sont les valeurs propres deA;

e. si U est une matrice orthogonale alors cond2(U) = 1 et cond2(AU) = cond2(U A) = cond2(A).

4.2 Analyse perturbative

Soient xet x+δx les solutions des syst`emes lin´eaires

Ax = b ,

(A+δA)(x+δx) = b . a. Montrer que kδxk_p

kx+δxk_p ≤cond_p(A)kδAk_p kAk_p . b.En d´eduire que sikA⁻¹δAk_p <1 alors kδxk_p

kxk_p ≤condp(A)kδAk_p kAk_p

1

1− kA⁻¹δAk_p. 4.3 Applications

Calculer le conditionnement par rapport `a la norme k k₂ de la matrice suivante

T_α=



































α −1

−1 α −1

−1 α −1

0

−1 α −1 . .. ... ...

−1 α −1

0

−1 α −1

−1 α

































 .

o`u α est un param`etre r´eel.

3