1`ere S 11 DST 5 correction 24 janvier 2015 Exercice 1 : Calculs de d´eriv´ees
Pour chaque fonction f, d´eterminer son ensemble de d´erivation puis sa d´eriv´ee.
(1) f0(x) = 6x+ 5 surR (2) f0(x) =6x+ 3
2√
x sur ]0; +∞[
(3) f0(x) = 2x2−20x−5
(x−5)2 sur ]− ∞; 5[∪]5; +∞[
(4) f0(x) =− 6x+ 2
(3x2+ 2x+ 5)2 surR Exercice 2 : D´emonstration de cours
Voir le cours
Exercice 3 : ´Etude graphique d’une fonction
(1) Il y a 2 solutions. Une comprise dans [0; 0,5] et l’autre dans [2,5; 3].
(2) f0(x) = 0 lorsque la tangente est parall`ele `a l’axe des abscisses. C’est le cas pour la tangente en A. La solution est donc 1.
(3) La droite passe par B etD, son coefficient directeur est donc yD−yB
xD−xB = −2
3. Elle passe par B donc, l’´equation r´eduite est : y=−23(x−2) + 2 =−23x+103
(4) On en d´eduit quef0(2) =−23.
(5) x f0(x)
−0,5 1 4
+ 0 −
Exercice 4 : Probabilit´e
(1) X donne le nombre d’heures ´ecoul´ees pendant un mois. X
24 donne donc le nombre de jours pendant ce mois. Les valeurs sont donc 28,30 et 31 (selon l’´enonc´e).Y prend donc les valeurs−2,0 et 1.
(2) xi −2 0 1
P(X=xi) 121 13 127
(3) E(Y) =−2×121 + 0×13+ 127 ×1 = 125.
V(Y) =121(−2−125 )2+13(0−125 )2+127 (1−125)2= 107144. Doncσ(Y) =
√ 107 12
(4) E(Y) = 241E(X)−30 donc E(X) = (E(Y) + 30)×24 = 730.
V(X) = V(Y)
a2 = 428.
σ(X) = 2√ 107
Dans une ann´ee non bissextile un mois pris au hasard dans l’ann´ee a en moyenne 730 heures.
Exercice 5 : Question ouverte Fait en cours.
